تمارين جبر جميلة ،،،

[مهند الزهراني]

السلام عليكم،،،

اليوم مررت على مجموعة جميلة من المسائل الجبرية للأستاذ احمد سعد الدين فارجو ان تعجبكم وتستفيدوا منها،،،

وحبذا لو وضعتم محاولاتكم للحل هنا لكي تستفيد وتفيد ،،،

ولمن يريد كتابة محاولاته بالمعادلات ولا يعلم فهذا شرح تام لكتابة المعادلات على الموقع:

http://www.phys4arab.net/vb/showthread.php?t=46324

ونبدأ مع التمارين ،

1- اوجد حل المنظومة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+3x+3y=8 & \\xy+4x+4y=2 & \end{matrix}\right.

2- اذا علمت ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi z=x+iy \ , l=a+ib

فأثبت:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \left | z-l \right |^2+\left | z+l \right |^2=2(\left | z \right |^2+\left | l \right |^2)

3- اذا كان الواحد الصحيح جذرا مضاعفا للدالة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi h(x)=x^4-2x^3+4x^2+bx+c

فأوجد قيمة كل من b , c واوجد الجذور الاخرى للدالة،،

تحياتي،،،

[مهند الزهراني]

1- اوجد حل المنظومة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+3x+3y=8 & \\xy+4x+4y=2 & \end{matrix}\right.


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi xy+4x+4y=2\Rightarrow xy=2-4(x+y) \ (1)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi x^2+y^2+3x+3y=8\Rightarrow (x+y)^2+3(x+y)=8+2xy \ (2)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi from \ (1) \ ,(2)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \therefore (x+y)^2+11(x+y)-12=0\Rightarrow (x+y-1)(x+y+12)=0
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\Rightarrow&space;(x+y)=1&space;\&space;or&space;\&space;(x+y) =-12
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;if&space;\&space;(x+y)=1&space;\Rightarrow&space;xy=-2\Rightarrow&space;y=2&space;\&space;\therefore&space;x=-1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;or&space;\&space;y=-1&space;\&space;\therefore&space;x=2
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi after \ that \ if \ (x+y=-12)\Rightarrow xy=50
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \therefore y=-6+i\sqrt{14}\Rightarrow x=7-i\sqrt{14}
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;or&space;\&space;y=-6-i\sqrt{14}\Rightarrow&space;x=7+i\sqrt{14}

[مهند الزهراني]

2- اذا علمت ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi z=x+iy \ , l=a+ib

فأثبت:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \left | z-l \right |^2+\left | z+l \right |^2=2(\left | z \right |^2+\left | l \right |^2)



http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \left | z-l \right |^2=(x-a)^2+(y-b)^2 \ (1)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \left | z+l \right |^2=(x+a)^2+(y+b)^2 \ (2)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi \therefore \left | z+l \right |^2 +\left | z-l \right |^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(x+a)^2+(y+b)^2
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi =2(x^2+y^2)+2(a^2+b^2)=2(\left | z \right |^2+\left | l \right |^2)