إثبات

[رمز الوفاء 2010]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
عندي طلب زغنون من أعضاء منتدانا الكرام و أتمنى إنكم تساعدوني بأسرع وقت قبل يوم السبت وهو عبارة عن
اثبات في المثلث قائم الزاويه..
معروف إن مساحة المثلث تساوي نص في القاعدة في الإرتفاع
لكن أنا أبغى أعرف ليه قلنا بالإثبات الرياضي إن
k=(1/2)ab sinC
وكمان قلنا
K=((a^2) sinBsinC)/(2sinA)
وكمان قلنا
K=s(s-a)(s-b)(s-c)
طبعا المقدار اللي في القانون الأخير كله تحت الجذر
عندما
s=((a+b+c))/2
وصورة المثلث في المرفقات

وجزيتم كل خير مقدما...

[مهند الزهراني]

بحط الاثبات اليوم ، بس اصبري علي الان لاني مشغول قليلا ،،

[رمز الوفاء 2010]

لا حرمت الأجر وبارك الله فيك مقدما

[مهند الزهراني]

أولا القوانين الثلاثة المراد برهنتها هي :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi K=\frac{1}{2}ab \ sin\theta \ (1)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi K=\frac{a^2sinBsinC}{2sinA} \ (2)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \ : s=\frac{a+b+c}{2} \ (3)

وذلك في المثلث

http://sub3.rofof.com/img4/05jqxmo26.jpg

لبرهان القانون الاخير راح استخدم المثلث

http://sub5.rofof.com/img3/05rsdwq26.jpg

مع مراعاة أن :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \widehat{ADB}=90^o

البرهان :

بداية نعلم أن مساحة المثلث هي :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi A=\frac{1}{2}ha

ومن نظرية فيثاغورس في المثلث ACD :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi x^2=b^2-h^2 \ (1)

ومن نظرية فيثاغورس في المثلث ABD :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi (a-x)^2=c^2-h^2 \ (2)

من 1 و 2 وبالطرح :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi x^2-(a-x)^2=b^2-c^2 \Rightarrow x^2-a^2+2ax-x^2=b^2-c^2\Rightarrow 2ax=x^2+b^2-c^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi \Rightarrow x=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a} \ (1)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi h^2=b^2-\left [ \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} \right ]^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi =\frac{2a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}=\frac{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}{4a^2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi =\frac{((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)}{4a^2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(c-(a+b))(c+(a-b))}{4a^2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi h^2=\frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4a^2}\Rightarrow h=\frac{2\sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi A=\frac{1}{2}ha=\frac{1}{2}\left ( \frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a} \right )=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

تعبت من هذا الاثبات :(

[مهند الزهراني]

ان شاء الله بكرا بكمل الباقي لاني تعبت مع الاثبات السابق،،،

[رمز الوفاء 2010]

الله يعطيكم العافيه ليتكم تكملون الحل

[رمز الوفاء 2010]

فينكم يا جماعه ليه ما تكملوا والله مره محتااااااااااااااجته عليه 30 درجه

[مهند الزهراني]

بالنسبة لبرهان العلاقة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi K=\frac{1}{2}bc \ sin\theta

في اول مثلث كل الفكرة في القانون
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi K=\frac{1}{2}hc

الفكرة انك تكتشفي الارتفاع وش هو ؟

من المثلث واضح انه اذا كانت ثيتا الزاوية بين b,c فان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi sin\theta =\frac{a}{b}\Rightarrow a=b \ sin\theta
وطبعا a هي نفسها h اي الارتفاع ، وبالنسبة للعلاقة الثالثة اعتذر لاني لم اجد برهانا لها ،،،

وبالمناسبة العلاقة اللي برهنتها سوي نفس الشي مع اي مثلث جيبي ارتفاعه باستخدام حساب المثلثات وبعدها طبقي القانون العادي مباشرة ..

[شتات..~]

سبحاك اللهم وبحمده اشهد ان لا إله الا الله استغفرك واتوب اليك

[تأبط شرًّا]

وبالنسبة للعلاقة الثالثة اعتذر لاني لم اجد برهانا لها ،،،

لا أرتضيها لك أبدا!
مع أنك عقدت إثباتك الأول، ولكنه جميل :)
ولكن الثالث أبسط منه بكثير يا رجل!

إثباتات العلاقات المثلثية غالبا ما تكون في مثلثين:
قائم الزاوية، ومتطابق الأضلاع.

فلم لا تجرب إثبات هذه العلاقة بالمثلث متطابق الأضلاع؟!
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi%20K=\frac{a^2sinBsinC}{2sinA}%20 \%20(2)
أعتذر، أريدها لمهند!

[مهند الزهراني]

لا أرتضيها لك أبدا!
مع أنك عقدت إثباتك الأول، ولكنه جميل :)
ولكن الثالث أبسط منه بكثير يا رجل!

إثباتات العلاقات المثلثية غالبا ما تكون في مثلثين:
قائم الزاوية، ومتطابق الأضلاع.

فلم لا تجرب إثبات هذه العلاقة بالمثلث متطابق الأضلاع؟!
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi%20K=\frac{a^2sinBsinC}{2sinA}%20 \%20(2)
أعتذر، أريدها لمهند!

اهلا بك اخي الكريم ،،،

البرهان الاول نقلته من احد الكتب الهندسية ، والثاني من فهمي للموضوع ، اما الثالث ما وجدته بالكتب وزاد الطين بلة انشغالي هذه الايام ،،

فلذلك لا اجد وقتا للمشاركة هنا والتفكير بالمسائل معكم ، لكن ساحاول اثباتها ، وفقك الله ،،

[مهند الزهراني]

بل وحتى بالمثلث المتطابق الاضلاع هناك علاقة اسهل وابسط :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\200dpi K=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2