القطاع الزاوي

[طالبه فقط]

السلام عليكم

اريد ان اعرف كيفية استنتاج قانون مساحة القطاع الزاوي
يعني اريد برهان على القانون

[مهند الزهراني]

اختي ان شاء الله الليلة أحطه ، ونعتذر عن التأخير ...

[peaceful]

انا كمان احتاجها

و شكراً

[طالبه فقط]

اشكرك مهند بس ياريت تستعجل مر يوم او اكتر

[مهند الزهراني]

آسف جدا الغلط علي ، وهذا البرهان ..

أول شي هل تعرفي الراديان ؟ راح أعتبر انك تعرفي الراديان وعلى اساسه نبني البرهان ..

الآن مساحة الدائرة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;A=\pi&space;r^2

طيب لما نبغى ناخذ مساحة جزء من الدائرة ممكن ناخذ نسبة زاوية القطاع بالراديان الى http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;2\pi وبالتالي عرفنا مساحة الجزء من الدائرة اللي هو القطاع الدائري زي كذا

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;K=r^2\pi\frac{\theta&space;}{2\pi}=\fr ac{1}{2}r^2\theta

وهذي هي فكرة البرهان ، هل عندك استفسار ؟

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم

انا حاولت ان ابرهن القانون عن طريق التكامل ولكني وصلت الى العلاقة التي موضحة بالصورة
الاخ مهند ارجو ان كان لديك اجابه ان توضح لي مكمن الخطأ

[لا اعرف شيئ]

انا مازلت بالانتظار يا اخواني ارجو من من لديه فكرة
ان يسعفني بالأجابة

انا منتظر منتظر :emot30_astonishe::emot30_astonishe:

[زولديك]

السلام عليكم عزيزي(لا اعرف شي) القانون الدي أستنتجه مهند صحيح و يمكن برهنته بطريقتان الاولى بإستخدام التكاملات الثنائية و قد برهنت دلك لنفسي و الطريقة الثانية هي كما استنتجت انت بالتكامل الاحادي و قد برهنت دلك ايضا لنفسي . و النتيجة صحيحة كما قال مهند ستقول لي أي الخطأ خطأك هو في حدود التكامل بالإحداثيات القطبية . فعندما تكامل بالإحداثيات الخيامية يكون تغير dx من ((-a) إلى (a) , و بعد تغيره إلى الإحداثيات القطبية يكون تغير الزاوية ثيتا من (pi) إلى (2pi) أي من باي إلى ضعف الباي , و يمكن برهنت دلك من حلول المعادلات القطبية بعد التعويض عن dx بالقيم الأبتدائية و النهائية . دلك مما علمني ربي

[لا اعرف شيئ]

بصراحة ما فهمت عليك شو بتقصد بالإحداثيات الخيامية
يعني حدود التكامل في هذه الحاله ماذا ستكون ارجو الاجابه بوضوح

[زولديك]

خيامية يعني ديكارتية

[لا اعرف شيئ]

طيب حدود التكامل شو راح تصير

[زولديك]

يتغير الdxمن -a إلى a هدا بالغحداثيات الديكارتية او الخيامية يعني , و بعد تحويل التكامل إلى الغحداثيات القطبية يكون حدود التكامل بمعنى العنصر التفاضلي للزاوية يتغير من pi إلى صعف الpi , وضحت ولا لأ

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم

ارجو ان توضح لي اخي كيف انه يتغير ال dx من -a إلى a هذا اولا

ثانيا ان سلمت معك ان حدود التكامل بمعنى العنصر التفاضلي للزاوية يتغير من pi إلى ضعف الpi
عندها سنحصل على قانون نصف مساحة الدائرة وليس مساحة قطاع زاوي كقانون

اخي زولديك ارجو في ردك ان تعطيني اجابات واضحة وان لا تعود وتكرر في كل مرة نفس الذي قلته سابقا

[زولديك]

يا عزيزي لو انا سلمت معك بان القانون الدي استنتجته من التكامل الثنائي غلط يعني بالضرورة القانون الدي استنتجه مهند غلط يعني قبل ما تقول انا غلط تقول مهند غلط لن قانوني توافق مع قانونه . فيا ريت توضح لي هدي النقطة . انا فهمت من الطلب ان نريد إيجاد قانون للمساحة بدلالة الزاوية , و على دلك نستطيع تجزئة المساحة حسب ما نريد و دلك بختيار زاوية معينة , و حسب فهمي هدا يكون القانون كالتالي ((( التكامل التنائي لـــــrdrde))) حيث تتغير الــdrمن (0) إلى (a) و يتغير العنصر التفاضلي للزاوية من (0) إلى (e) و هي الزاوية التي نريدها , أي زاوية نريدها , و بالتالي بعد تطبيق هدا التكامل الثنائي يكون الجواب ((A=1/2r.r.e) , بعدين تقول عليس اعيد نفس الكلام جزاك الله خير و انت سالت سؤال ما هو خطاي في التكامل الدي اعتقدت انه سيكون الجواب الصحيح و سيتوافق مع القانون الدي قاله مهند و لكن أستنتاجك كان مخالف لقانون مهند , بعدين انت قلت يا ريت حد يقول لي اين الخطا و و اعتقد ما حد جاوبك و بعدين انا جاوبتك و قلت لك أت الخطأ في حدود التكامل , ليس من صفر إلى e بل من باي إلى 2باي , و اعتقد ان كلا الطريقتين التي أسشتخدمتها كانت صحيحة و توافقة مع قانون مهند بينما استنتاجك كان خاطئ يا عزيزي , اعتقد أني وضحت الأمر و ما يبغى شرح زايد . كل عام و أنت بخير مقدم . دلك مما علمني ربي

[زولديك]

بعدين على فكرة عوض في القانون e=2pi و شف القانون الدي سينتج و هو pir.r و اعتقد ان هدا القانون هو مساحة الدائرة و إلا إدا هدا كما كان غلط , و ثم عوض باي زاوية تريد ينتج مساحة المقطع المحدود بالزاوية التي نريد وو اعتقد ان هدا المطلوب ,

[Weierstrass-Casorati]

صراحة أنا لم أفهم طريقتك أخي لا أعرف شيئ
ولكن هذه محاولتي وأتمنى أن أرى رأيك

http://dc03.arabsh.com/i/01999/o4k41qsctvbp.jpg

نريد حساب مساحة القطاع OQR (ولتكن A)
مساحته تساوي مساحة المنطقة OPQR (ولتكن A1) – مساحة المثلث OPQ الذي تساوي مساحته مساحة المثلث الأصفر (ولتكن A2)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20A=A_1%20-%20A_2

ومساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الإرتفاع
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20A=A_1%20-%20\frac{1}{2}r^2%20\cos(\theta%20)\sin(\theta%20) \;%20\;%20\;%20\;\;%20\;%20\;%20\;%20(1)

والآن ندع هذه المعادلة جانباً حتى نحسب A1
انت تعرف أننا يمكننا استخدام التكامل المحدود لحساب المساحات المستوية المحدودة بمنحنى ومحور ومستقيمين
في حالتنا هذه المساحة A1 محدودة بالمنحنى http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20x=\sqrt{r^2%20-%20y^2} والمحور http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20y والمستقيمين الأفقيين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20y=0 و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20y=r%20\sin(\theta)

فيمكن حساب مساحته بإجراء التكامل التالي: بالتكامل بالتعويض(ملحوظة سوف أنسى حدود التكامل الآن حتى أنتهي وعند اجراء التكامل المحدود نتخلص من الثابت)
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20y=r%20\sin(u)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20dy=r%20\cos(u)\;%20du

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\sqrt{r^2%20-%20y^2}%20=\sqrt{r^2%20-%20r^2%20\sin^2(u)}=%20r\cos(u)

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20u=\sin^{-1}\left%20(\frac{y}{r}%20\right%20)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\\%20\cos(2u)=-1+2cos^2(u)\Leftrightarrow%20\cos^2(u)=\frac{1}{2} \cos(2u)+\frac{1}{2}\\%20\int\sqrt{r^2%20-%20y^2}\;%20dy=r^2%20\int%20cos^2(u)\;%20du\\%20=r ^2%20\int%20(\frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{2})%20du \\%20=r^2\int%20\frac{1}{2}%20du+\frac{r^2}{2}%20\ int%20\cos(2%20u)%20du


وبتعويض آخر http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20t=2u\Rightarrow%20du= \frac{1}{2}dt

يصبح التكامل كالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\\%20=\frac{r^2}{4}%2 0\int%20\cos(t)%20dt%20+r^2\int%20\frac{1}{2}%20du \\%20=\frac{1}{4}r^2%20\sin(t)+\frac{r^2u}{2}+c\\% 20\\%20=\frac{1}{4}r^2%20\sin(2\sin^{-1}\left%20(%20\frac{y}{r}%20\right%20))+\frac{1}{2 }r^2%20\sin^{-1}\left%20(%20\frac{y}{r}%20\right%20)+c\\%20\\%20 =\frac{1}{2}r\;%20y%20\cos\left%20(%20sin^{-1}\left%20(%20\frac{y}{r}%20\right%20)%20\right%20 )+\frac{1}{2}r^2%20\sin^{-1}\left%20(%20\frac{y}{r}%20\right%20)+c\\%20\\%20 =\frac{1}{2}r\;%20y%20\sqrt{1-\frac{y^2}{r^2}}+\frac{1}{2}r^2%20\sin^{-1}\left%20(%20\frac{y}{r}%20\right%20)+c\\%20\\%20 =\frac{1}{2}\;%20y%20\sqrt{r^2-y^2}+\frac{1}{2}r^2%20\sin^{-1}\left%20(%20\frac{y}{r}%20\right%20)+c\\

ثم نستخدم ما وصلنا إليه في تكاملنا الأصلي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\\%20A_1=\int_{0}^{r% 20\sin(\theta%20)}\sqrt{r^2%20-%20y^2}%20\;%20dy\\%20=\left%20[%20\frac{1}{2}y\sqrt{r^2%20-%20y^2}+\frac{1}{2}r^2%20\sin^{-1}\left%20(%20\frac{y}{r}%20\right%20)%20\right%20]_{0}^{r%20\sin(\theta%20)}\\%20\\%20=\frac{1}{2}r% 20\sin{(\theta)%20}\sqrt{r^2(1-\sin^2(\theta))}+\frac{1}{2}r^2%20\theta\\%20\\%20 =\frac{1}{2}r^2%20\sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1 }{2}r^2%20\theta\\

وبالتعويض في المعادلة (1) نجد أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi%20\large%20\\%20A=\frac{1}{2}r^2 %20\sin(\theta)\cos(\theta)+\frac{1}{2}r^2%20\thet a%20-\frac{1}{2}r^2%20\sin(\theta)\cos(\theta)\\%20\\%2 0=\frac{1}{2}r^2%20\theta

واعتذر على الإطالة

[زولديك]

ما شاء الله تبارك الله طريقتك صح بينما طريقتي و طريقة تفكيري كانت غلط و اعتدر من الاخ (لا اعرف شي ) و اكرر اعتدار لإضاعة وقتك الثمين , أستغفر الله و اتوب إليه

[طالبه فقط]

السلام عليكم

اشكر الاخوة مهند و زولديك و الاخ الفاضل لا اعرف شيئ
ولن انسى ان ابدي اعجابي بطريقة الاخ Weierstrass-Casorati ماشاء الله عليك

ما شاء الله تبارك الله طريقتك صح بينما طريقتي و طريقة تفكيري كانت غلط و اعتدر من الاخ (لا اعرف شي ) و اكرر اعتدار لإضاعة وقتك الثمين , أستغفر الله و اتوب إليه



ههههههه هدئ من روعك اخي زولديك فليس هنالك داعي للغضب
الاخ سأل وانت عليك الاجابة والتوضيح وهذا كرم اخلاق منك ولا داعي للعصبية
اما ان تصل الامور الى هنا .................................... فهذا غير مقبول

[زولديك]

الله يهديك بس كيف عرفتي اني معصف و غضبان . انا اعترفة بخطاي باني اصعة وقت الاخ الكريم (لا اعرف شي ) هدا كل الأمر و ما اعتقد بان في كلامي ما يوحي باني معصب او أي شي , بس مع دلك لو استخدمنا التكامل الثنائي لكانت النتيجة صح و متطابقة مع الجواب الصح و بس بالتكامل الاحادي كان غلط مني و و كل عام وانتي و الأخ (لا اعرف شي ) و كل اعضاء منتدانا الحبيب بخير

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اشكر الاخ الكريم زولديك كفيت ووفيت يا اخي تشكر على صراحتك ( لا احد معصوم عن الخطأ )
اما الاخ Weierstrass فطريقتك رائعة وجميلة ( مع انه هنالك بعض الزيادات ليس لها من داعي ) ولكن وحسب اعتقادي ورأيي المتواضع
انت اثبتت هذا القانون وكان اثباتك في الربع الاول من الدائرة وكان من المستحسن ان تثبت ايضا في بقية
ارباع الدائرة وهذا سهل لكن على كل حال شكرا لك

[Weierstrass-Casorati]

جزاك الله خير أخي لا أعرف شيء، وإن كان هناك زيادات فلأني مبتدأ بالتكامل ولا أستطيع الحل إلا بالتبسيط الزائد الذي لا داعي له، ربما أتحسن فيما بعد بوجودي بين رواد هذا المنتدى الرائع والذين أحرص على التعلم والاستفادة منهم وأشكرك على رأيك وهو في محله
وأشكر الأخ زولديك والأخت طالبة فقط
وكل عام وأنتم جميعا بخير

[الصادق]

طريقة اخرى لحساب مساحة القطاع الذي نصف قطرهr و زاويته سيتا :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;A=\int_0^r\int_0^{\theta}&space;rdrd\t heta=\int_0^{\theta}\frac{1}{2}r^2d\theta=\frac{1} {2}r^2\theta

[زولديك]

مشكور عزيزي الصادق . و انا قلت عن هدي الطريقة لأثبات المطلوب بالتكامل الثنائي

[Weierstrass-Casorati]

طريقة اخرى لحساب مساحة القطاع الذي نصف قطرهr و زاويته سيتا :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi&space;A=\int_0^r\int_0^{\theta}&space;rdrd\t heta=\int_0^{\theta}\frac{1}{2}r^2d\theta=\frac{1} {2}r^2\theta

في سطر واحد بالتكامل الثنائي
والله حلي صار محرج :(:D
شكرا أستاذي ويعطيك ألف عافية

[زولديك]

مو مشكلة المهم الجواب صحيح

[طالبه فقط]

السلام عليكم

هل من الممكن ان تعطوني توضيحا كيف وضع اخي الصادق التكامل الثنائي بذلك الشكل
يعني لماذا اخذ التابع r ارجو التوضيح

[زولديك]

لأننا نريد إيجاد مساحة وبالتالي تكامل ثنائي , و لأن المساحة قطبية نأخد العنصر التفاضلي القطبي و هو http://latex.codecogs.com/gif.latex?rdrd\Theta بدلا من العنصر التفاضلي في الإحداثيات الديكارتية و هو dydx , اما إن كنت تقصدي كيفية وجود الـــr فهو جاكوبي التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية . أي أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?dydx=Jdrd\Theta