المجموعات (الفئات The Sets)
 

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
الاخوة الكرام
سنخصص بإذن الله هذا الموضوعللحديث عن المجموعات و سأعرض لكم في البداية ما كتب في هذا الإطار تحت نفس العنوان تقريبا
هنا
للتأكيد على فكرة التكامل بين المنتديات العربية
و في نفس الوقت
سأحاول خلال ذلك إضافة ما أراه مناسبا () و من ثم نترك المجال للأسئلة و الاستفسارات

المجموعات (الفئات The Sets)
 

[OVERLINE]""""""""""""""""""""""""[/OVERLINE]

المجموعات (الفئات ) The Sets

لا يخلو فرع من فروع الرياضيات من استخدام مفهوم المجموعات,
فهي الأداة الأولى في التعبير عن محتويات وبنى هذا الفرع.

إن وجه النظر البديهية المجموعة عبارة عن أي تجمع من الأشياء المعرفة جيدا
نستخدم للرمز إلى المجموعة أحرف كبيرة مثل X,Y, M, A.
الأشياء المكونة لمجموعة ما تسمى عناصر المجموعة وعادة نستخدم لها رموز صغيرة مثل a,b,c,x,u,r وغيرها.

إذا كان a عنصر من ضمن عناصر مجموعة X قلنا أن a ينتمى إلى المجموعة X
أو قلنا اختصارا a ينتمي إلى X
أو قلنا a عنصر من X
وكل هذه العبارات نعبر عنها رمزيا بالشكل

http://latex.codecogs.com/gif.latex?a&space;\in&space;X

أما إذا كان a ليس من عناصر X قلنا أن a لا ينتمي إلى X ونكتبhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?...\notin&space;X.

للتعبير عن المجموعة وعناصرها لنا في ذلك طريقتين,
الأولى عبارة عن سرد لعناصر المجموعة بين قوسين {}
فمثلا المجموعة التي عناصرها 1,3,88 نكتبها على الشكل

{1, 2, 88}

واضعين فواصل بين كل عنصر وآخر. إذا أسمينا هذه المجموعة Y مثلا فيمكن أن نكتب

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;2,&space;88\}

لاحظ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?2&space;\in&space;Y


بينما

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\notin&space;Y.

الطريقة الثانية هي كتابة مميزة أو مميزات العناصر بين القوسين {}
عوضا عن كتابة العناصر نفسها,
مثلا إذا كانت A هي مجموعة الأعداد
1, 10, 100, 1000, 10000, 100000
فيمكن أن نكتب

A={ http://latex.codecogs.com/gif.latex?10^n :حيث n عدد طبيعي اقل من 6 }

أو

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ce;\}&space;=A حيث x من قوى العشرة التي اقل من مليون }

وكلا الكتابتين هما بطريقة مميزة عناصر المجموعة مع اختلاف الميزة المستخدمة,
إذا المجموعة بشكل عام يمكن أن تكتب بميزة عناصرها بأشكال مختلفة
طالما كانت الميزة كافيه لتحديد العناصر بشكل دقيق.

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

جزاكم الله خيراً استاذة تغريد
موضوع هام للغاية
متشوقون لباقي الموضوع

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

المجموعة الخالية


5- بغض النظر عن التعريف الذي تصاغ فيه المجموعة الخالية فإن كل المجموعات الخالية متساوية لعدم وجود عنصر في أي منها غير موجود في الأخر
و عليه فإن
مجموعة الأعداد الصحيحة التي بين العددين 0,1 تساوي مجموعة أسماء الأسماك التي تتحدث اللغة العربية بالتأكيد.


أنواع المجموعات من حيث الحجم

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

[OVERLINE]المجموعات الجزئية[/OVERLINE]

تعريف : يقال لمجموعة B أنها مجموعة جزئية من مجموعة A
إذا كان كل عنصر ينتمي للمجموعة B فإنه ينتمي أبضا إلى ِA
و نرمز لذلك ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...subset&space;A

ملاحظة: 1-من الواضح أنه حسب التعريف السابق فإن إي مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها .
2- إذا كانت B مجموعة جزئية من A و لكنها لا تساويها نقول أن Bمجموعة جزئية فعلية من A

ملاحظة:
أـ هناك بعض الكتب تستخدم التعبير
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...subset&space;A
لتعني أن كل عناصر B محتواه في A بغض النظر عن إمكانية A=B (إمكانية محتملة)
وعندما تريد أن تقول أن B مجموع جزئية من A و في نفس الوقت تنفي التساوي فإنها ترمز لذلك ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...setneq&space;A


بـ بينما هناك كتب أخرى تستخدم الصيغة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...subset&space;A
لتعني هنا أن B محتواه في A و لكنها لا تساويها

و تستخدم الصيغة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...bseteq&space;A
لتشمل إمكانية التساوي



مثال: إذا كانت A هي مجموعة الاعداد الزوجية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;\in&space;Z\}
و كانت B مجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ace;N&space;\}

و كانت C مجموعة الأرقام الزوجية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0,2,4,6,8,10\}
فإن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...subset&space;A

و كذلك
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...subset&space;A

و لكن المجوعة C ليست مجموعة جزئية من B. لماذا؟

و نرمز لذلك ب
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...bseteq&space;B

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

المجموعات (الفئات The Sets)
 

الاخوة الكرام هناك بعض الأمور التي يجب أن ننتبه لها إذا أردنا أن نتعمق قليلا بهذا الخصوص

قد يتساءل البعض
ما الذي يميز المجموعة كمفهموم رياضي عن معناها اللغوي؟
و الإجابة يجب أن تعرف المجموعة بدقة


2- ما معنى أن تعرف المجموعة بدقة ؟
هذا يعني بالضبط أننا نستطيع من خلال التعريف الحكم على أي عنصر هل ينتمي للمجموعة أو لا ينتمي لها ،
فمثلا عندما نقول أن فلانا ذكيا فإن هذه الصفة قد يختلف عليها إثنان ما لم تعرف بطريقة أفضل
و هكذا لن نستطيع تصنيف جميع الناس وفق هذه الصفة بهذا الشكل بدون أن يختلف معنا أحد.


ملاحظة :
يجب أن نراعي عند كتابة المجموعة بطريقة السرد أن
أ- ترتيب العناصر ليس له أي أهمية
ب- يجب عدم تكرار العناصر

ملاحظة:
و يجب عند كتابة أي مجموعة غير منتهية بطريقة السرد يجب أن نرتب العناصر بصورة يتضح للقارئ أن لها تتابع معين يمكنه استنتاجه ببساطة و من ثم يستطيع تحديد ترتيب أي عنصر داخل المجموعة
فمثلا عندما نقول
مجموعة الأعداد الصحيحة Z
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...3,&space;...\}

يمكن للقارئ أن يستنتج مباشرة كيف يمضي يعملية السرد و بستطيع كذلك أن يستنتج ترتيب العدد -23
بأنه 1+2×23=47
و هكذا؟

ملاحظة:
بناءا على ما سبق يمكن القول أنه ليس بالإمكان كتابة أي مجموعة بطريقة السرد
لأن هناك مجموعات منتهية لا يمكن ترتيب عناصرها بنمط معين يمكن من خلاله
حصر كل عناصرها لو استمررنا بنفس النمط إلى ما لا نهاية

من المجموعات التي يمكن كتابتهابطريقة السرد مثلا
أ- مجموعة الأعداد النسبية و كل مجموعاتها الجزئية
ب- مجموعة الأعداد
http://latex.codecogs.com/gif.latex?...;\in&space;Z\}

فهل بإمكانك إيجاد نمط معين يمكن من خلاله كتابة هذه المجموعة بطريقة السرد؟؟


من المجموعات التي لا يمكن مطلقا كتابتها بطريقة السرد
أ- مجموعة الاعداد الحقيقية
ب- مجموعة الاعداد الحقيقية بين الصفر و الواحد
ج- مجموعة الأعداد المركبة



و السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

أشكرك أختي الكريمة باحثة صغيرة وفقك الله و رعاك

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

أشكرك جزيل الشكر أخي الكريم أحمد
ها هي أجزاء الموضوع بين أيديكم
أرجو ان تجدوا فيها الفائدة
بارك الله فيك

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

و جزاك كل خير أختي الكريمة البيلسان

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

و عليكم السلام و رحمة الله وبركاته
أشكرك أخي الكريم الصادق
و جزاك الله كل خير و أنار دروبك بنور الإيمان و اليقين

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

أرجو أن تعذروني للأخطاء المطبعية و كذلك
أريد أن أنوه لتصحيح المجموعة C لأنها لا تحوي العدد 10 في المشاركة رقم 7 لأن العدد 10 ليس رقما

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

الله يعطيك الف عاآفية...:)

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

السلام عليكم...

بداية أشكرك على البداية القوية للموضوع آملا لك التوفيق..

قرأت الكثير عن موضوع المجموعات وكان ضمن احد الكتب التي قراتها ذكر لمحيرة تعود للرياضي

برتراند راسل ( Bertrand Russel ) ونتجت عن تعريف كانتور للمجموعة .

لكني لم أعرفها بعد فهل لديك معلومات عن محيرته ؟؟ فقد حيرتني لكي اعلم ما هي !!!

وجاء بعد ذلك في نفس السياق للكتاب ( بالنص) :

" من الجدير بالذكر أن تناقض او محيرة راسل لا يعتبر التناقض الوحيد الذي يظهر في نظرية المجموعات لانه ظهر بعد ذلك الكثير من التناقضات التي قدمت من قبل علماء في الرياضيات والمنطق ، وكنتيجة طبيعية لتلك التناقضات ساهم الكثير في وضع انظمة مسلمات للمجموعات مثل نظام زيرمالو ونظام زيرمالوا - فرانكل وغيرها من الانظمة للخروج من التناقضات لكن احدا لم ينجح "

فهل لك استاذتي الكريمة أن تقومي بشرح الكلام السابق لانه أحسست بغموضة شديدة فيه ...

والكتاب هو كتاب ( الرياضيات المتقطعة ) للمؤلفين:

معروف سمحان و أحمد شراري

وشكرا ...

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

أشكرك أخي الكريم مهند بارك الله فيك
أخي الكريم لقد كنت أريد أن أضيف خلال حول الموضوع بعض الشرح السريع
و لكني فضلت عدم الخوض في ذلك، ربما لانه متعلق بفلسفة الرياضيات بشكل أكبر
و هذه الامور أعتبرها اقرب للفلسفة
و أنا ممن يؤمنون بعدم وجوب الخوض بها كثيرا
لأني ارى لا فائدة من وراء ذلك و الله تعالى أعلم
و أيضا خاصة أن هذا المنتدى يهتم أكثر بالرياضبات التطبيقية

أخي الكريم
بالنسبة للمفاهيم الأولية للرياضيات
(و كل علوم الرياضيات تستند أساسا على علم المجموعات set theory )
فالمسألة بالنسبة لها قريبة الشبه بالفيزياء فالمفاهيم الاساسية كالزمن و المادة
من المستحيل تقريبا وضع تعريف متفق عليه لها

و علم الرياضيات كما تفضلت يحوي كمية لا بأس بها من المتناقضات و كذلك
و التعميمات التي لم يتم التوصل لبرهان لها أو نفيها و تستخدم كمسلمات
و خاصة نظرية المجموعات أعتقد أن فيها على الأقل ست مسلمات على الاقل حسبما أذكر

على كل حال من المهم عند تعريف المجموعة
_و هنا جوهر المعضلة أو المحيرة _ بالإضافة لما ذكرناه
يجب الانتباه لأن تكون الجملة غير متناقضة في حد ذاتها حتى لو بدت منطقية
و ذات معنى


لعلك تذكر عندما تحدثنا في موضوع المنطق عن القضية و قلنا أن العبارة
(هذه الجملة خاطئة)
ليست قضية لانها متناقضة مع ذاتها فهي في نفس الوقت ليست صحيحة و ليست خاطئة


و كذلك الامر هنا
من ذلك لو سألتك
1- لو قلنا http://latex.codecogs.com/gif.latex?...,&space;\{\}\}
فهل A مجموعة ؟


2- حسنا لو عرفنا B على أنها مجموعة الحروف فهي مجموعة معرفة بدقة
أليس كذلك

و على ذلك فإن المجموعة C التي عناصرها ليست حروف أليست أيضا معرفة بدقة
هل توافقني على ذلك؟

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

لعلك تتفق معي أننا لو اعتمدنا على أن المجموعة تحدد فقط بالصفة التي نستطيع من خلالها الحكم على عنصر ما بأنه ينتمي أو لا ينتمي للمجموعة كما ذكرنا من قبل
فإن
كل من المجموعات السابقة تشكل مجموعة لأننا نستطيع أن نحكم على أي شيء هل ينتمي لأي مجموعة منها أم لا


و لكن هذا يقود إلى تناقض!!!!!!!!!1
لماذا؟

لنري ذلك
لو عرفنا المجموعة
D على أنها مجموعة المجموعات التي هي لا تنتمي لنفسها
فهل هذه مجموعة
وفقا لكل ما سبق
نعم D مجموعة

و لكن هل D تنتمي إلى نفسها
إذا كانت الإجابة نعم
فإن D لا تنتمي إلى D
نظرا لأن هذه الصفة المميزة ل D
و هذا تناقض لأن هذا يعني وجود D و عدم انتماء D لنفسها في نفس الوقت
إذن لا يمكن أن تكون الإجابة نعم
إذن لا بد أن الإجابة هي لا

حسنا لنحاول في حالة أن الإجابة :لا تنتمي D إلى نفسها
إذن فهي تحقق الصفة المميزة لD
و بالتالي D تنتمي إلى D

و هذا أيضا تناقض


و هذه هي المعضلة

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

الحل لهذه المعضلة كان بطريقتين
الأولى:و أعتقد أنها التي يتحدث عنها الكتاب في الفقرة المقتطفة من الكتاب المذكور
أن نعتبر أنه يفترض في أي مجموعة أن لا تنتمي إلى نفسها
و أن هذه من المسلمات التي يجب افتراضها عند تعريف المجموعة

الثانية و اقترحها راسل نفسه و الله أعلم
هو تصنيف المجموعات إلى أنواع
النوع الأول يحوي عناصر فقط و أي عنصر في المجموعة ليس مجموعة في حد ذاته
النوع الثاني مجموعات عناصرها مجموعات من النوع الأول فقط
النوع الثالث مجموعات عناصرها مجموعات من النوع الثاني

.
.

هذه حدود معرفتي بالموضوع
و لا أحبذ الخوض فيه أكثر لمستوى أعمق
أرجو أن يكون في ذلك إجابة على سؤالك


و يمكنك الرجوع بالطبع

http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory

http://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox

http://en.wikipedia.org/wiki/Naive_set_theory

و أشكر لك اهتمامك أخي الكريم
وفقك الله

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

بداية شكرا جزيلا على توضيحك للامر،،،

ثانيا ما دام يوجد ذلك التناقض فكيف ونحن الآن نستخدم نظرية المجموعات كبنية أساسية لتعريف الدوال ومجالاتها وكبنية رئيسي لنظرية الزمر والحلقات والحقول ومن ثم كيف نضمن عدم الوقوع في تناقض في البراهين ؟؟؟؟

والحقيقة أغرب ما ذكرته في الرد الأول هو ان علم الرياضيات يحوي الكثير من المتناقضات !!!

استغربت كثيرا لهذه الجملة وظللت أفكر بها طويلا !!!

كيف لهذه البنية القوية التي أصبحت اساسا لكثير من لمعارف ان تكون متناقضة ؟؟؟

تساؤلات كثيرة خطرت في ذهني لدى قرائتي لاجابتك !!!

شكرا لك ...

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

أضفت ردي الاخير قبل ان ارى الرد الثالث ،،،

لكن كما قلتي فلتكن فلسفة الرياضيات بعيدة قليلا ولنفكر بما هو ضمن نطاق الرياضيات التطبيقية فهو اجدى وأنفع...

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

نعم أخي الكريم
إن التناقضات هذه لم تظهر تؤثر حتى الأن على تطور العلوم و ظلت حبيسة نفسها

و قد طوقها الرياضيون بوضع نظام البنى الرياضية
و وضع المسلمات لكل بنية رياضية

و لكن برأيي لا يمكن الوصول بالعلم يوما إلى حد الكمال
حتى في الرياضيات!!
العلم الذي يفترض أنه الأكثر صرامة و موضوعية

و برأيي أنا لا أستبعد أن نجد يوما ما متناقضات حتى في إطار الرياضيات التطبيقية
لأن عمل الإنسان لا بد أن يعتريه النقص الذي تكشفه الأيام على مر الأزمان
و لكن ما حباه الله للإنسان من قدرات تجعله لا يشعر بالعجز أبدا
و هذا من أخلاق الإسلام
فكل مشكلة لا بد أن يعمل فيها عقله و يخرج منها بطريقة ما
فيما أسميه تكامل المسيرة الإنسانية

على كل حال لي في إطار الرياضيات و الفيزياء موضوعين ربما تجد أن من الجيد الإطلاع عليهما

(2)الرياضيات و الفيزياء الحديثة


(3)الرياضيات الحديثة و الفيزياء الحديثة

وفقك الله

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

السلام عليكم و رجمة الله و بركاته
شكرا لك أختي الفاضلة تغريد على هذا الموضوع القيّم
أرجو من الله أن يجعله في ميزان حسناتك
عبد الله التونسي

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

أشكر أخي الكريم عبد الله تواجدك معنا فهو حقا من دواعي سروري
وفقك الله و سدد خطاك و بارك فيك

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

شكرا لك جزيلا على توضيح ما كان مبهما علي ،،،

جزاك الله خيرا وان شاء الله نعود بقوة للموضوع ...

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

حياك الله أخي الكريم ، نرجو من الله التوفيق و السداد
بارك الله فيك أخي الكريم و جزاك كل خير

رد: المجموعات (الفئات The Sets)
 

السلام عليكم ممكن تساعدوني عندي بحث عن نظرية المجموعات ومحتاجه كتب وباسرع وقت واول مره ادخل هنا ومجاي اعرف شي