ملتقى الفيزيائيين العرب - إلى (لا أعرف شئ) و (طالبة فقط) و ()Weierstrass-Casorati و لمن يريد

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته , سئلت الاخت "طالبة فقط " السؤال التالي وهو"" اريد ان اعرف كيفية استنتاج قانون مساحة القطاع الزاوي
يعني اريد برهان على القانون "" كان هناك أربع إجابات صحيحة و هي لــمهند الزهراني و الأخ لا اعرف شئ و لي (زولديك) و الاخWeierstrass-Casorati و أما إجابتي و إجابة الاخ لا أعرف شئ فكانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?...qrt{r^2-x^2}dx و هي إجابة صحيحة مئة بالمئة , لكن , انا و الأخ لا اعرف شئ أشتركنا في نفس الفكرة الغلط , و هي انه عندما نستبدل الــx بــhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?a cos(\Theta ) يتحول التكامل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية و هده هي الفكرة الغلط , و لهدا كانت إجابتنا خطأ , فكرة في الحل , فكانت الحلقة المفقودة هي "الجاكوبي" , و لكي اوضح معنى الجاكوبي نبدأ في التالي : ليكن لدينا التكامل الثنائي (http://latex.codecogs.com/gif.latex?...^{d}f(x,y)dydx) و لكي نحوله من تكامل ثنائي بإحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية يكون دلك في النظرية التالية (http://latex.codecogs.com/gif.latex?... )Jd\rho d\phi) , حيث الالجاكوبي (J) هو: http://upload.wikimedia.org/math/8/a...4b9e327978.png ) , الآن لكي نحصل على المساحة تكون الدالة مساوية للوحدة اي http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=1 , و هكدا نستنتج ان المساحة بإحداثيات قطبية هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?...ho d\rho d\phi و كحالة خاصة و هي القطاع الدائري نجعل الزاوية مجهول فنحصل على التالي http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rho ^2 \Psi /2 , الآن أصبح واضح ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...rho ^2d\Psi /2 , فإدا ما رجعنا إلى تكاملنا الاول إضافة إلى ما تقدم لنستنتج أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?...\rho ^2\Psi /2. سؤال مهم يطرح نفسه , ما معنى التكامل( http://latex.codecogs.com/gif.latex?...qrt{a^2-x^2}dx ) , لجد هدا التكامل في التالي (http://latex.codecogs.com/gif.latex?...)sin2\varphi )) ,هدا القانون هو قانون القطاع الزاوي لكن بإحداثيات ديكارتية ,لنتأكد من دلك , لاحظ انه عندما بتغير الــdx من 0إلى a و هو نصف القطر يكون التكامل السابق قد غطى الربع الأول من الدائرة , الدي مساحته http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^2\pi /4 , لاحظ أنه عندما (http://latex.codecogs.com/gif.latex?... \phi =0or2\pi) أيضا (http://latex.codecogs.com/gif.latex?...w \phi =\pi /2) لنستنتج انه من 0إلى a يكافئ من http://latex.codecogs.com/gif.latex?\pi /2 إلى 0, و هكدا نستنتج ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?...2))=+a^2\pi /4 و هدا يتوافق مع النتيجة السابقة , و نستطيع اختباره كما نريد , إدا هدا القانون صحيح و لكنه بإحداثيات ديكارتية . صورة اخرى للقانون http://latex.codecogs.com/gif.latex?...n2cos^-1(x/a)) ,[COLOR="Blue"] و هدا هو الأمر الأهم بعد إيجاد قانون القطاع الزاوي بدلالة الزاوية , و هو التعويض عن قيمة الزاوية بما تساويها بدلالة الــx ,[/COLOR] و اخيرا اقول للأخ لا اعرف شي عندما تستخدم التحويل في التكاملات عليك بالنظر إلى الدوال بنظرة تجريدية خالية من أي شي , فانت عندما استخدمت التحويل في التكامل السابق كنت تظن أن التعويض بهدا الشكل سيحول العنصر التفاضلي للتكامل من حركة إنسحابية إلى دورانية , و دلك بسبب الزاوية الموجودة في التحويل , و هدا خطا , فلو أنك نظرة نظرة مجردة , اي لا زاوية ولا أي شي آخر كل ما هنالك رموز و معادلات , لكنت اصبت عين الصواب , اما في حالة التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية أو كروية او اسطوانية أو أي إحداثيات تريد , فمن الضروري أستخدام الجاكوبي . ملاحظة قانون القطاع الزاوي بدلالة إحداثيات ديكارتية هو: http://latex.codecogs.com/gif.latex?...n2cos^-1(x/a)) , عدرا على الإطالة لكن كان لابد من إيضاح الأمور , و الحمد لله رب العالمين