[عاهد ابراهيم]

ـ








المؤثرات
Operators

المؤثر عبارة عن قاعدة رياضية تحول دالة ما إلى دالة أخرى
مثلا المؤثر التفاضلي يحول الدالة إلى دالة أخرى
والتكامل والجذر ألتربيعي والإعداد المضروبة بعدد تدل على عمليات تأثير رياضي
فالمؤثر رمز رياضي يجبرنا بأن نقوم بعمل ما ،مع كل ما يتلو أو يعقب ذلك الرمز
مثال



Operators and Quantum Mechanics
المؤثرات وميكانيكا الكم
كافة المشاهدات الفيزيائية (المقادير الفيزيائية،المتحولات الديناميكية)تمثل رياضيا بالمؤثرات، الجدول التالي يعطي أهم المتحولات الديناميكية في فضاء الموضع


Table 1: Physical observables and their corresponding quantum operators (single particle)
اسم المشاهدة رمز المشاهدة رمز المؤثر المؤثر
Positionالموضع Multiply by
Momentumكمية الحركة
Kinetic energy
الطاقة الحركية
Potential energy
الطاقة الكامنة Multiply by
Hamiltonian
الهاملتوني H
Total energy
الطاقة الكلية


Angular momentum
كمية الحركة الزاوية المدارية(الاندفاع الزاوي)
على المحور x



وفي فضاء كمية الحركة (الجدول التالي)
Table 1: Physical observables and their corresponding quantum operators (single particle)
اسم المشاهدة رمز المشاهدة رمز المؤثر المؤثر
Positionالموضع

Momentumكمية الحركة
Total energy
الطاقة الكلية



مربع الموضعX2 X2



الخواص الأساسية للمؤثرات
Basic Properties of Operators
• الجمع والطرح لمؤثرين


• ضرب مؤثرين

• في حال كون المؤثرين متساويين

• مؤثر الوحدة حيادي بالنسبة للضرب

• قانون الخلط(الربط)

• قانون التوزيع



المؤثرات الخطية
Linear Operators
يدرس في ميكانيكا الكم فقط ما يسمى المؤثرات الخطية والتي تتمتع بالخواص التالية:


حيث c ثابت و f و g دوال ، ولنحاول أن نطبق ما سبق على المؤثر d/d x والمؤثر 2() والمؤثر √فنجد:


المؤثر خطي



المؤثرين ليسا خطيين

القيم الخاصة والدوال الخاصة للمؤثر
Eigenfunctions and Eigenvalues
عندما يؤثر مؤثر ما على دالة وينتج بعد تأثير المؤثر عليها نفس الدالة مضروبة بثابت ما k نسمي تلك الدالة بالدالة الخاصة(المسموحة) ونسمي الثابت بالقيمة الخاصة (الذاتية،المسموحة)


القيمة الخاصةkحيث
مثال:
أثبت أن الدالة التالية: حيث A,𝛂 ثوابت ،

هي دالة مميزة للمؤثر التالي:

الحل:

أي أن دالة مميزة و القيمة المميزة
تمرين أوجد الدالة المميزة للمؤثر التالي :

هل الدالة التالية دالة خاصة للهاملتوني؟

الدالة لا تحقق الشرط
طريقة أخرى:حسب نظام المؤثرات

لاحظ أن الدالة تحقق معادلة شرودينجر المستقلة عن الزمن لأن:

وهي عبارة الطاقة الكلية الكلاسيكية

أقواس التبادل والمبادلات
Commutators in Quantum Mechanics
بفرض لدينا مؤثرين , لهما نفس الدالة المميزة(الخاصة) ،فحسب قواعد الدالة المميزة
والقيمة المميزة للمؤثر سيكون لدينا قيمتين مميزتينb,a وذلك وفق العلاقتين التاليتين:

إذا ضربنا العلاقة الأولى بـ والثانية بـ نجد:



وكون ψ الدالة المميزة لكل من المؤثرين , نجد:

بطرح العلاقة الثانية من الأولى نجد:


وكون الدالة الموجية لا تساوي الصفر ، فالقوس يساوي الصفر أي:

ويسمى بقوس التبادل في ميكانيكا الكم
وهذه من أهم العلاقات في ميكانيكا الكم فلكي نلاحظ أو نقيس مقدارين فيزيائيين في آن واحد يكفي أن نثبت أن قوس التبادل للمؤثرين يساوي الصفر أو أن المؤثرين تبادليين ، وإذا كان قوس التبادل لا يساوي الصفر فذلك يعني أننا لا نستطيع قياس المقدارين الفيزيائيين في أن واحد (مبدأ اللاتحديد أو الشك لهايزنبرغ)، وعموما يكتب قوس التبادل على النحو التالي:

وهذه بعض العلاقات المفيدة للمبادلات:












أمثلة





تمرين

تمرين:


بالاستفادة من العلاقتين: يمكن حل ما سبق




نجد

تمارين هامة:

مثال:
إذا كانت الدالة الموجية لجسيم حر طليق تعطى بالعلاقة التالية:

بين أنها دالة خاصة(مسموحة) لكل من مؤثري الهاملتوني وكمية الحركة.
أولا يجب إثبات أن:

ثانيا: إثبات أن:


شرط التنظيم(المعايرة) (normalization) والتعامدorthogonality))
Orthonormalization condition
نتطرق بداية إلى احتمال تواجد الجسيم في مكان ما (dv)من الفضاء المد روس كدالة للدالة الموجية ويعطى بالعلاقة التالية:

حيث dp يعطي احتمال تواجد الإلكترون في الحجم dv ويأخذ دوما قيما حقيقية، هذا وان احتمال تواجد الجسيم في كامل الفضاء المدروس يفرض تكامل العلاقة السابقة فنجد:

تبين العلاقة أن احتمال تواجد الجسيم في الفضاء كله يساوي 100%=1 والعلاقة التي تحقق الشرط السابق تسمى بعلاقة التنظيم(المعايرة).
وفي حال كون الدالة منظمة(معايرة) فان شرطي التنظيم والتعامد يعطيا وفق العلاقة:

وفي حال عدم تحقق شرط المعايرة نضرب التكامل بثابت ما بحيث يتحقق شرط المعايرة أي:

في كثير من الأحيان يكون لدينا مجموعة من الدوال الخاصة لمؤثر ما بحيث تتحقق العلاقة:

وفي مثل هذه الحالة يمكن استعمال منشور دالة ما بحيث تحقق الشرط:

حيث bi معامل النشر ويمكن الحصول علية من ضرب العلاقة السابقة من الطرفين بمرافق الدالة المميزة un ثم المكاملة وفق العلاقة التالية:

إن احتمال الحصول على القيم الخاصة an للمؤثر المدروس تعطى بالعلاقة:

أي مربع معامل النشر يعطينا الاحتمال لكي نحصل على القيمة الخاصة وهي علاقة مهمة جدا في حال حساب القيمة المتوقعة لمقدار فيزيائي يخضع للشروط السابقة.
أمثلة:جسيم داخل بئر جهد لانهائي عرضه a له الدالة التالية المستقلة عن الزمن والغير معايرة:

أوجد ثابت المعايرة A. علما أن:

الحل باستخدام شرط التنظيم(المعايرة) تابع الحل:

وهذه الدالة الأخيرة معايرة جرب بنفسك بتطبيق علاقة المعايرة من جديد
مثال:
جسم محدد بالفضاء (∞<x <-∞)وموصوف بدالة الموجة

-1 ثابت المعايرة( (A
-2 الاحتمالية الكلية لإيجاد جسيم في أي موضع بين (-∞,∞) . إذا علمت أن :

أولا ثابت المعايرةA:شرط المعايرة تكامل مربع الدالة يساوي الواحد ومنه

ثانيا: احتمال تواجد الجسيم في الفاصل x , x+dx)):

ثالثا: الاحتمالية الكلية:


حل المثال التالي:
جسيم موجود في المجال أوجد ثابت التنظيم لدالته الموجية التالية:


في كثير من الحالات نلجأ إلى ما يسمى بكثافة الاحتمال والتي تعطى بالعلاقة التالية:

القيمة المتوقعة
the expectation value
في ميكانيكا الكم كل المعلومات حول الجسيم المدروس تكون محتواة في لدالة الموجية ،ومنها احتمال تواجد الجسيم في مكان ما خلال زمن ما،القيم المتوقعة للمقدار الفيزيائي(المتحول الديناميكي) عنوان هذه الفقرة.
كلاسيكيا لحساب القيمة المتوقعة لمشاهدة ما ولتكن الموضع ،يفترض أن الجملة المدروسة مؤلفة من N جسيم منها Ni جسيم موجود في الموقعXi ،فالقيمة الوسطية لموقع الجسيم تعطى بالعلاقة التالية:

وكميا من أجل جسيم واحد فان تواجد الجسيم في الموضع Xi سيكون باحتمال pi والقيمة المتوقعة لموضع الجسيم هو:

حيث الاحتمال يعطى بالعلاقة التالية:


وفي حال كون الجملة مستمرة يحول المجموع السابق إلى تكامل:


وعندما تكون الدالة الموجية معايرة ودالة خاصة للمؤثر ،عندئذ تكون معادلة القيم الذاتية للمقدار الفيزيائي كما سبق وأعطيت كالتالي :

إن القيمة الخاصة a للمؤثر هي ما نقصد به القيمة المتوقعة لحالة نقية ويمكن استنتاجها بضرب العلاقة السابقة من الطرفين ومن اليسار بمرافق الدالة الموجية ثم المكاملة على كامل الفضاء فنجد:


وهي علاقة القيمة المتوقعة أو القيمة الوسطى للمقدار الفيزيائي المدروس وفي حال كون الدالة الموجية عبارة عن تركيب خطي لعدة دوال خاصة فإننا نكتب العبارة العامة للقيمة المتوقعة لأي مقدار فيزيائي بالشكل التالي:

وإذا كانت الدالة ψ منظمة(معايرة) فان التكامل في مقام العلاقة السابقة يساوي الواحد(شرط التنظيم). وتعود العلاقة إلى معادلة القيم المميزة(الخاصة).

مبدأ تراكب الحالات
combination of eigenstates
نعود إلى مسألة كون الدالة الموجية كتركيب خطي لعدة دوال خاصة لمؤثر ما ولنحاول إيجاد القيمة المتوقعة للمقدار المدروس،تعطى الدالة الموجية في هذه الحالة بالعلاقة:

ولنحسب القيمة المتوقعة لمتحول ديناميكي(مقدار فيزيائي) من علاقة القيم المتوقعة ونعتبر الدالة معايرة فنجد :


لاحظ أن القيمة المتوقعة لكل حالة ترتبط ألان بالاحتمال الذي درسناه سابقا في العلاقة:

أي أن احتمال الحصول على القيمة ai يكون باحتمال مساوي الى ci2 .
مثال:
لديك دالة موجية خاصة لمؤثر ما تعطى بالعلاقة التالية:

أوجد القيمة المتوقعة للمقدار المدروس.
في الحالة العامة تعطى القيمة المتوقعة بالعلاقة التالية:

فلو كان المقدار هو الطاقة سيكون لدينا مستويي طاقة أحدهما a1=E1 والأخر a3=E3
القيمة المتوقعة الأولى ستكون باحتمال c12 والثانية باحتمال c32 وبشكل عام يكون احتمال أي قياس مفرد معطى بالعلاقة:

مثال:جسيم داخل صندوق ذي جدران صلبة ،ندرس الجسيم في حالة البعد الواحد x فيكون عرض الصندوق a ،فإذا كانت الدالة الموجية التي تصف الجسيم عند اللحظة t=0 هي:

بين ما يلي:
1- هل الدالة عياريه؟
2- أوجد قيم الطاقة التي يمكن الحصول عليها وبأي احتمال نجد كل من هذه القيم؟
الحل:
1- الطلب الأول

2- الطلب الثاني

القيم المتوقعة للطاقة:

إن هذا الجسيم لديه احتمالان للتواجد إما في المستوي الطاقي الثاني وباحتمال 9\25 =36%أو في المستوي الطاقي التاسع وباحتمال 16\25=64%، وبمعنى آخر لو كان لدينا 25 صندوق كل منها يحوي جسيم في نفس الشروط السابقة تماما فان 9 جسيمات ستشغل المستوي الطاقي الثاني ،و16 جسيم ستشغل المستوي التاسع.
مثال:
أوجد القيمة المتوقعة لكمية حركة الجسيم على المحور x .


مثال :
أوجد القيمة المتوقعة للطاقة؟


• أوجد القيمة المتوقعة لكل من ؟
يرتبط عدم التعيين (اللاتحديد)في موقع الجسيم x)∆( وكمية حركته ) (∆px بالقيم المتوقعة مباشرة فوفقا لقياسات الخطأ المطلق في التجارب فان الخطأ المرتكب في قياس ما يعطى وفقا للعلاقات التالية:
إن الشك في قياس A و Bيحدد كما يلي:

عندئذ الشك في قياس المقدارين يحدد بالعلاقة التالية:

وهذه هي علاقة مبدأ الشك الشهيرة لهايزنبرغ والتي يمكن اشتقاقها من أجل الموضع وكمية الحركة مثلا (راجع ميكانيكا الكم 1)


مثال:
إذا علمت أن الدالة الموجية لجسيم

بين أن مقدار اللاتحديد في موقع الجسيم يساوي لانهاية(∞)
الحل :لقد وجدنا في تمرين سابق أن :

وكذلك نجد أن :

وبتطبيق علاقة اللاتحديد في قياس كمية الحركة نجد:



المؤثرات الهرميتية
Hermitian Operators
كل المشاهدات الفيزيائية تمثل بواسطة القيم المتوقعة، وقيمة المشاهدة الفيزيائية يجب أن تكون حقيقية (الطاقة ،كمية الحركة, الكثافة،.......) وهذا يعني أن العلاقة التالية يجب أن تكون محققة:

والمؤثر الذي يحقق هذا الشرط يسمى هرميتي والذي يجب علية أن يحقق العلاقة التالية:

وفي حال وجود دالتين لهما المؤثر نفسه فإننا نجد حالتين تحققان:
شرط التعامد: أولا

وهو شرط التعامد من شرط الهرميتية
ثانيا شرط التنظيم:

وهو شرط التنظيم من شرط الهرميتية
تمرين: أثبت أن كافة المؤثرات الفيزيائية هرميتية







اصطلاح (رموز)ديراك
Dirac notations
تابع المقارنة من خلال العلاقات التالية:




مؤثرات الترافق الهرميتي
Hermitian adjoint operators

ليكن لدينا مؤثر هرميتي ، يوجد مؤثر آخر يسمى المرافق الهرميتي للمؤثر يحقق العلاقة التالية:

ويمكن كتابة ذلك بين المؤثرين بالعلاقة:

يمكن كتابة ما سبق بلغة رموز ديراك كما يلي :



معادلة شرودينجر المعتمدة على الزمن
The time dependent Schroedinger equation and stationary states.
تعطى معادلة شرودينجر المعتمدة على الموضع والزمن بالعلاقة التالية:

والمعادلة الأخيرة هي معادلة شرودينجر المعتمدة على الزمن فقط وهي معادلة تفاضلية من المرتبة الأولى يمكن حلها كما يلي:

العلاقة الأخيرة تعطي الدالة الموجية العامة كدالة للموضع والزمن ،وإذا كانت الدالة التابعة للموضع تركيب خطي لدوال خاصة يمكن كتابة الدالة بالشكل التالي:


وفي مثالنا السابق
فان الدالة الموجية العامة للجسيم تصبح عندئذ:

القيمة المتوقعة للمؤثر
expectation values of operators
في كثير من الحالات نحتاج لتفاضل القيمة المتوقعة بالنسبة للزمن وهذا بالطبع يشمل المؤثر المدروس وذلك لإثبات بعض النتائج المهمة في ميكانيكا الكم ،ويتم ذلك وفق الخطوات التالية:

والعلاقة الأخيرة تبين القيمة المتوقعة للمؤثر إذا كان يتبع الزمن صراحة وإلا فان قيمته تساوي الصفر وتؤول العلاقة الأخيرة إلى العلاقة التالية:

وعندما تكون القيمة المتوقعة غير تابعة للزمن عندها العلاقة السابقة تساوي الصفر وتكون القيمة المتوقعة ثابت من ثوابت الحركة.
مبدأ ايرنفست
ehrenfest's (theorem)principal
تهدف هذه النظرية إلى اختزال معادلات ميكانيكا الكم إلى شكلها التقليدي (الكلاسيكي) إذا استبدلنا القيم المتوقعة التي تخص مؤثر ما في ميكانيكا الكم بما يقابلها في الميكانيكا التقليدي.مثلا لدينا العلاقات الكلاسيكية التالية:

هل يمكن الحصول عليها من القيم المتوقعة في ميكانيكا الكم؟
من العلاقة الأولى نجد:

وهو المطلوب إثباته
من العلاقة الثانية نجد:

وهو المطلوب إثباته





ملحق
تيار الاحتمال
Probability current.

Unitary Operators
A linear operator whose inverse is its adjoint is called unitary. These operators can be thought of as generalizations of complex numbers whose absolue value is 1.
(63)



A unitary operator preserves the ``lengths'' and ``angles'' between vectors, and it can be considered as a type of rotation operator in abstract vector space. Like Hermitian operators, the eigenvectors of a unitary matrix are orthogonal. However, its eigenvalues are not necessarily real.

Postulates of Quantum Mechanics
In this section, we will present six postulates of quantum mechanics. Again, we follow the presentation of McQuarrie [1], with the exception of postulate 6, which McQuarrie does not include. A few of the postulates have already been discussed in section 3.
Postulate 1. The state of a quantum mechanical system is completely specified by a function that depends on the coordinates of the particle(s) and on time. This function, called the wave function or state function, has the important property that is the probability that the particle lies in the volume element located at at time .
The wavefunction must satisfy certain mathematical conditions because of this probabilistic interpretation. For the case of a single particle, the probability of finding it somewhere is 1, so that we have the normalization condition
(110)


It is customary to also normalize many-particle wavefunctions to 1.2 The wavefunction must also be single-valued, continuous, and finite.
Postulate 2. To every observable in classical mechanics there corresponds a linear, Hermitian operator in quantum mechanics.
This postulate comes about because of the considerations raised in section 3.1.5: if we require that the expectation value of an operator is real, then must be a Hermitian operator. Some common operators occuring in quantum mechanics are collected in Table 1.

Table 1: Physical observables and their corresponding quantum operators (single particle)
اسم المشاهدة رمز المشاهدة رمز المؤثر المؤثر
Positionالموضع Multiply by
Momentumكمية الحركة
Kinetic energy
الطاقة الحركية

Potential energy
الطاقة الكامنة Multiply by
Hamiltonian
الهاملتوني H
Total energy
الطاقة الكلية



Angular momentum
كمية الحركة الزاوية المدارية
(الاندفاع الزاوي)



Postulate 3. In any measurement of the observable associated with operator , the only values that will ever be observed are the eigenvalues , which satisfy the eigenvalue equation

(111)


This postulate captures the central point of quantum mechanics--the values of dynamical variables can be quantized (although it is still possible to have a continuum of eigenvalues in the case of unbound states). If the system is in an eigenstate of with eigenvalue , then any measurement of the quantity will yield .
Although measurements must always yield an eigenvalue, the state does not have to be an eigenstate of initially. An arbitrary state can be expanded in the complete set of eigenvectors of ( as
(112)


where may go to infinity. In this case we only know that the measurement of will yield one of the values , but we don't know which one. However, we do know the probability that eigenvalue will occur--it is the absolute value squared of the coefficient, (cf. section 3.1.4), leading to the fourth postulate below.
An important second half of the third postulate is that, after measurement of yields some eigenvalue , the wavefunction immediately ``collapses'' into the corresponding eigenstate (in the case that is degenerate, then becomes the projection of onto the degenerate subspace). Thus, measurement affects the state of the system. This fact is used in many elaborate experimental tests of quantum mechanics.
Postulate 4. If a system is in a state described by a normalized wave function , then the average value of the observable corresponding to is given by

(113)


Postulate 5. The wavefunction or state function of a system evolves in time according to the time-dependent Schr&ouml;dinger equation

(114)


The central equation of quantum mechanics must be accepted as a postulate, as discussed in section 2.2.
Postulate 6. The total wavefunction must be antisymmetric with respect to the interchange of all coordinates of one fermion with those of another. Electronic spin must be included in this set of coordinates.
The Pauli exclusion principle is a direct result of this antisymmetry principle. We will later see that Slater determinants provide a convenient means of enforcing this property on electronic wavefunctions.
انا بأسف لعدم وجود محرر المعادلات
وشكر لكم