ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #8 15-03-2010, 01:45

حياك الله اختي الكريمة تغريد

ما بالنسبة للنسخة الالكترونية فأنا أبحث عنها و لكني للآن لم أجدها ، سأواصل البحث بإذن الله علني أجدها

لا عليك ان لم تجديها.

الحقيقة أريد في البداية أن أعلم كيف تعرف usual spin observable

و لماذا كانت الدالة الموجية بهذا الشكل

و أرجو أن ذلك يساعد في فهم الأوزان الناشئة ربما تقابل تركيبة خطية ما

الجسيم الذي له لف مغزلي 1/2يوصف فى ميكانيكا الكم فى Hilbert space two-dimensional وبالتالي فان الحالات النقية pure states تُمثل بمتجاهات (اشعة) فى هذا الفضاء و كما هو معلوم ان المتجهات فى فضاء مركب ثنائي الابعاد يمكن ان يُعبر عنها بسطح كرة (نصف قطرها يساوي الوحدة) فى ثلاثة ابعاد
و ذلك لان سطح الكرة فى ثلاثة ابعاد يُحقق
$X_1^2+X_2^2+X_3^2=1$
اما اذا عبرنا عن سطح كرة باحداثيات مركبة فانها تمثل على النحو
$|Z_1|^2+|Z_2|^2=1$
وهكذا اذا اخترنا ان نكتب علاقة تربط بين النظامين بحيث ان
$\\Z_1=X_1+iX_2\\ Z_2=X_3+iX_4$
فاننا بمقارنة معادلة سطح الكرة سوف نجد ان $X_4=0$

و لذلك فاننا اما ان نمثل الكرة بثلاثة احداثيات حقيقية $(X_1,X_2,X_3)$ او نمثلها باحداثيين مركبيين $(Z_1,Z_2)$ بحيث ان
$\\Z_1=X_1+iX_2\\ Z_2=X_3$
الان اذا قمنا بتحويل نظام الاحداثيات من احداثيات كارتيزية الى احداثيات كروية
$\\X_1=\sin \theta \cos \phi\\ X_2=\sin \theta \sin \phi\\ X_3=\cos\theta$
فان الاحداثيات المركبة سوف تأخذ الشكل التالي:
$\\Z_1=X_1+iX_2=\sin\theta \cos\phi+i\sin \theta \sin\phi=\sin \theta \rm e^{i\phi}\\ Z_2=X_3=\cos \theta$

و لما كانت متجهات الحالة فى فضاء هيلبرت (الكرة ثنائة الابعاد فى المستوى المركب) هى عبارة عن نقاط على سطح الكرة فان مؤثر اللف المغزلي يجب ان يُمثل بدوران مركب على سطح الكرة وهكذا يجب ان تكون لدينا مصفوفة دوران هيرميتية
$\\ \hat{S}=\begin{pmatrix} Z_2 &Z_1^{\ast} \\ Z_1 & -Z_2^{\ast} \end{pmatrix}\\ \\ \\ \therefore \hat{S}=\begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\rm e^{-i\phi} \\ \sin\theta\rm e^{i\phi}&-\cos\theta \end{pmatrix}$

و لما كانت الدالة الموجية ما هي الا المتجهات الذاتية المقابلة لمؤثر اللف المغزلي
فان معادلة القيمة الذاتية $\hat{S}|\psi\rangle=s|\psi\rangle$ لها حل عندما تُحقق الشرط $\det(\hat{S}-sI)=0$
وهكذا نتحصل على القيم الذاتية s
$\det(\hat{S}-sI)=\det\begin{pmatrix} \cos\theta-s & \sin\theta \rm e^{-i\phi}\\ \sin\theta \rm e^{-i\phi}& -\cos\theta-s \end{pmatrix}=0\\ \Rightarrow s=\pm1$
فمثلاً لو اخذنا القيمة الذاتية s=1 وعوضنا فى معادلة القيمة الذاتية فسوف نحصل على الدالة الموجية للف مغزلي spin up
$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \rm e^{-i\phi}\\ \sin\theta \rm e^{i\phi}& -\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A\\ B \end{pmatrix}=+1\begin{pmatrix} A\\ B \end{pmatrix}$
اى ان
$\\ A\cos \theta+B\sin\theta \rm e^{-i\phi}=A\\ A\sin\theta\rm e^{i\phi}-B\cos\theta=B$
ومن المعادلة الاولى يمكن ان نحصل على B بدلالة A
$B=A\tan\frac{\theta}{2}\;\rm e^{i\phi}$
وبالتعويض فى متجه الحالة نحصل على
$|\psi\rangle=\begin{pmatrix} A\\ B \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 1\\ \tan\frac{\theta}{2}\;\rm e^{i\phi} \end{pmatrix}\\$

واخيراً سوف نستخدم معلومة ان الدالة موجية لها معيار يساوى الـ 1
$1=\langle\psi|\psi\rangle=A^2(1+\tan^2\frac{\theta}{2})\to A=\cos\frac{\theta}{2}\\$
وبالتعويض فى الدالة الموجية نحصل على
$|\psi\rangle=\begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\\sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{pmatrix}$
يمكن ان نكرر نفس الخطوات السابقة لحساب الدالة الموجية المقابلة للقيمة الذاتية -1 spin down

هذا والله اعلم