ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #10 15-03-2010, 15:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

كخطوة أولى بعد بعض البحث في الشبكة وجدت أن

$\sigma _{x}=\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \sigma _{y}=\begin{pmatrix} 0& -i \\ i& 0 \end{pmatrix} \sigma _{z}=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$

و أن

$S_x = {\hbar \over 2} \sigma_x,\quad S_y = {\hbar \over 2} \sigma_y,\quad S_z = {\hbar \over 2} \sigma_z$

هي المؤثرات المتعلقة ب spin observables في هذه الحالة

و لكن كيف يتم التعامل معها و الاستفادة منها

يمكن الاستفادة من مصفوفات باولي فى الحصول على مؤثر اللف المغزلي فى اي اتجاه اعتباطي
فمثلاً يمكن اعتبار مصفوفات باولي على انها مركبات للمتجه $\vec{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ فى الفضاء الخطي
و هكذا فان اللف المغزلي فى اي اتجاه اعتباطي يُعطى بالضرب القياسي التالي (اسقاط المتجه سيجما فى الاتجاه r)
$\vec{\sigma}.\vec{r}=x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z\\ \sigma_r=x\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z &x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix}$
وفي نظام الاحداثيات الكروية
$\\x=\sin \theta \cos \phi\\ y=\sin \theta \sin \phi\\ z=\cos\theta$
نحصل على
$\sigma_r=\begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta \cos\phi-i\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\cos\phi+i\sin\theta\sin\phi & -\cos\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta \rm e^{-i\phi} \\ \sin\theta\rm e^{i\phi} & -\cos\theta \end{pmatrix}$
و هذه هي نفس النتيجة التى توصلنا اليها سابقاً و هي تمثل مؤثر اللف المغزلي (اذا ضربناها فى نصف hbar) فى اي اتجاه اعتباطي و التى اطلقنا عليه الاسم S فى المشاركة رقم 8

يمكن ايضاً الاستفادة من مصفوفات باولي لحساب المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z

دعنا نبدأ بالف المغزلي فى اتجاه المحور z :
معادلة القيمة الذاتية $\sigma_z|z \;spin\rangle=\lambda|z \;spin\rangle$ حيث لامدا تمثل القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور z .و بالتعويض نحصل على
$\\\sigma_z|z \;spin\rangle=\lambda|z \;spin\rangle\\\\ \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}\qquad(1)\\\\ \therefore \left\{\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\right\}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\\\\ \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$
ويكون لهذه المنظومة الخطية حلاً اذا تحقق الشرط
$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}=0$
,و عليه فان فان القيم الذاتية هي
$\lambda=\pm 1$
(لاحظي انه يمكن ادخال المعامل $\frac{\hbar}{2}$ لنحصل على قيم ذاتية $\lambda=\pm\frac{\hbar}{2}$ و لكن سوف لن نفعل ذلك تفادياً لاعادة كتابة المعامل فى كل معادلة نكتبها)
الان بعدما حصلنا على القيم الذاتية نعوض فى المعادلة (1) بالقيمة $\lambda= 1$ (الف الى اعلي spin up ) لنحصل على
$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=+1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=0$
اي ان
$\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=a\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
و a يمكن ان تأخذ اي قيمة ولكن نسبة لان الدوال الذاتية يجب ان تكون مطبعة فاننا نختار a بحيث يكون للمتجه الذاتي طول يساوي الواحد (وهذا بديهي من الناحية الهندسية لان متجه الحالة هو عبارة عن شعاع فى الكرة التى لها نصف قطر يساوي الوحدة ) و هكذا نجد ان المتجه الذاتي للف مغزلي علوي فى اتجاه المحور z هو
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
اما اذا عوضنا القيمة الذتية $\lambda=- 1$ (الف الى اعلي spin down ) فسوف نحصل على
$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=+1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore a=0$
و شرط التطبيع يقود الى ان b=1 ولذلك فان اللف المغزلي فى الاتجاه السُفلي spin down هو
$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

و بنفس الطريقة يمكننا حساب المتجهات الذاتية فى اتجاه المحاور x و y وسوف نجد ان القيم الذاتية تساوي $\lambda=\pm 1$

و بالتعويض فى معادلة القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور x
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\pm1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=\pm a$
و شرط التطبيع يقود الى ان $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ولذلك فان اللف المغزلي فى الاتجاه اعلى (+)واسفل (-) سوف يُعطى بـ
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

و اخيراًو بالتعويض فى معادلة القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور y
$\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\pm1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=\pm ia$
اذن فان فان المتجه الذاتي للف المغزلي فى محور y فى الاتجاه اعلى (+)واسفل (-) سوف يُعطى بـ
$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$
هذا والله اعلم