ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #13 15-03-2010, 21:04

الان نريد ان نحسب قيمة احتمال ان تتخذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور x , ولكن لما كان الاحتمال يساوي مربع سعة الاسقاط, وكان اسقاط المتجه ابساي فى اتجاه المحور x يُعطى بـ حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور
$_x\langle \pm|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \pm 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
فان مربع سعة الاسقاط يساوي
$\\w(\sigma_x=\pm 1)=|_x\langle \pm|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\pm cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}+\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\cos\phi}{2}$

اما احتمال ان تتخذ الحالة ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور y يُعطى بمربع سعة الاسقاط فى اتجاه y :
$_y\langle \pm i|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \mp i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin \frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
اى ان الوزن المقابل يساوي
$\\w(\sigma_y=\pm 1)=|_y\langle \pm i|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\mp i \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\mp i cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}-\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\sin\phi}{2}$

اخيراً احتمال ان تتخذ الحالة ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور z يُعطى بمربع سعة الاسقاط فى اتجاه z:
$\\ _z\langle +|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\cos\frac{\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_z=+1)=|_z\langle +|\psi\rangle|^2=\cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\\ \rm \; and \; \\ _z\langle -|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \\\\ w(\sigma_z=-1)=|_z\langle -|\psi\rangle|^2=\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\\ \\ \rm \, therefore\; \\ \\ w(\sigma_z=\pm 1)=\frac{1\pm\cos \theta}{2}$