ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #20 17-03-2010, 03:28

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

أرجو أن تعذرني أخي الكريم الصادق جزاك الله كل خير
أعتقد أني قد فهمت أين الخطأ في فهمي للعبارة
فمن توضيحك في المشاركة 13
بالإضافة إلى قول الباحثين في في معرض حديثهما ص 3341
the probability measure concentrated, with equal weights
وجدت أن
الخطأ أني ترجمت حالة عدم الاستقطاب على أن حالة تركيبة خطية من متجهات الحالة في اتجاه كل من x,y,z

و لكنه كان يقصد أنها تركيبة خطية من
الاحتمالات المقابلة لاتخاذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه أي متجه r.

و الله تعالى أعلم

حياك الله اختي الكريمة تغريد
سوف احاول هنا ان اتحدث بـأختصار عن مؤثر الكثافة لان هذا المؤثر سوف يعطينا صورة اكثر وضوحاً

فى الحالة المثالية تكون لدينا منظومة لها دالة حالة مُعينة تماماً و لكن فى الوقع العملي كثيراً ما تكون دالة الحالة غير مُعينة فمثلاً الفوتونات المشعة من مصدر طبيعي لا تكون مستقطبة فى اتجاه محدد . اذن المشكلة التى توجهنا هي: كيف يمكن لنا ان نستفيد من معلومات غير مكتملة عن حالة المنظومة, لنحصل على اقصى قدرة للوصف من خلال ما توفر لنا من معلومات غير كاملة؟ وللاجابة على هذا السؤال سوف نتحدث عن وسيلة رياضية مهمة جداً هي مؤثر الكثافة الذي يسهل علينا (فى نفس الوقت) تطبيق فرضيات ميكانيكا الكم و نتائج الحسابات الاحتمالية

مفهوم الخليط الإحصائي للحالات الكمية
The concept of a statistical mixture of states
عند ما تكون لدينا معلومات غير كاملة عن اى نظام فاننا عادة ما نلجاء لمفهوم الاحتمال. و على سبيل المثال ، نحن نعرف أن الفوتون المنبعث من مصدر الضوء الطبيعي يمكن أن يتخذ اي حالة استقطاب وباحتمالات متساوية اي احتمال استقطابه فى اتجاه محدد يساوي احتمال استقطابه فى بقية الاتجاهات .
و بشكل عام ، فإن المعلومات غير مكتملة التى تتوفر لنا حول نظام عادة ما تطرح نفسها في ميكانيكا الكم ، على النحو التالي : قد تكون المنظومة فى حالة كمية $|\psi_1\rangle$ بحتمال $P_1$ او قد تكون المنظومة فى حالة كمية $|\psi_2\rangle$ بحتمال $P_2$ . مما يجعلنا نقول ان المنظومة فى حالة خليط احصائي بين الحالات $|\psi_1\rangle$ و $|\psi_2\rangle$ باحتمالات مقابلة $P_1$ و $P_2$ .

ملاحظات:
1- ليس بالضرورة ان تكون الحالات $|\psi_1\rangle$ و $|\psi_2\rangle$ متعامدة ولكن نستطيع دائماً ان نجعلها دوال مطبعة
2-ايضاً: يجب ملاحظة ان الاحتمالات تظهر على مستويين
اولاً فى المعلومات الابتدائية عن النظام (نحن لا نعرف على وجهة الدقة دالة الحالة التى تصف المنظومة)
ثانياً: عند اجراء عملية القياس (من فرضيات ميكانيكا الكم ) فان هناك عدم يقين فى نتائج القياس
اذن فان الاحتمالات فى المستوى الاول هى ناجمة فى الاساس من المعلومات غير المكتملة عن المنظومة (لدينا بعض الخبرة من الميكانيكا الاحصائية التقليدية عن هذه الحالة )
اما الاحتمالات التى تظهر فى المستوى الثاني فهي ناجمة عن عدم اليقين فى القياسات الكمية و هذه الحالة تخص ميكانيكا الكم فقط
3- يجب عدم الخلط بين المنظومة التى فى حالة خليط احصائي و بين كتابة متجه الحالة كتوفيقة خطية من متجهات الاساس المطبعة المتعامدة لان الاخيرة هي اسس نحن نختارها لوصف المنظومة بينما ان الاولى هي حالة ناجمة عن عدم توفر معلومات كاملة عن الحالة الابتدائية للمنظومة

خصائص مؤثر الكثافة فى حالة الحالات النقية The pure case

اعتبر المنظومة التى لها متجه الحالة
$|\psi(t) \rangle =\sum_{n}c_n(t)|u_n\rangle \qquad (1)$

حيث $\{|u_n\rangle\}$ هي متجهات الاساس (المطبعة المتعامدة) فى فضاء الحالة, والمعاملات $\{c_n(t)\}$ تحقق العلاقة التالية
$\sum_{n}|c_n(t)|^2=1 \qquad (2)$
التى تعبر عن حقيقة ان متجه الحالة $|\psi(t)\rangle$ عبارة عن متجه مطبع
نُعرف مؤثر الكثافة بـ
$\hat{\rho}(t)=|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)| \qquad (3)$
ومركباته هي
$\rho_{mn}(t)=\langle u_m|\hat{\rho}(t)|u_n\rangle =\langle u_m|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)|u_n\rangle =c_{m}^{\ast}(t)c_n(t)\qquad (4)$

الان نجد ان مجموع عناصر القطر الرئيسي لمؤثر الكثافة يُعطى بـ
$\sum_{n}\rho_{nn}(t)=\sum_{n}c_{n}^{\ast}(t)c_n(t)=\sum_{n}|c_n(t)|^2=1$
حيث استخدمنا الخاصية (3) . لما كان مجموع عناصر القطر الرئيسي هي trace مصفوفة المؤثر فان مؤثر الكثافة يمتاز بالخاصية :
$\rm Tr \hat{\rho}(t)=1\qquad (5)$

اما اذا قمنا بتربيع مؤثر الكثافة فسوف نجد ان
$\hat{\rho}(t)^2=|\psi(t)\rangle\underbrace{\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle}_{=1}\langle \psi(t)|=|\psi(t)\rangle\langle \psi(t)|=\hat{\rho}(t)$
اي مربع مؤثر الكثافة يساوي نفسه و هذه الخاصية لا تتحقق الا فى حالة الحالات النقية
من الخاصيتين السابقتين يمكن ان نكتب الخاصية التالية
$\rm Tr \hat{\rho}(t)^2=1\qquad (6)$

خصائص مؤثر الكثافة فى حالة الخليط الاحصائي (الحالات غير النقية non-pure case)
قلنا ان الحالة الابتدائية (اى دالة الحالة ) غير مُعينة و بالتالي قد يكون النظام فى حالة $|\psi_1\rangle$ بحتمال $P_1$ او قد قد يكون النظام فى حالة $|\psi_2\rangle$ بحتمال $P_2$ او عموما قد يكون النظام فى حالة $|\psi_j\rangle$ بحتمال $P_j$
و كل واحدة من هذه الحالات تُعرف مؤثر كثافة
$\hat{\rho}_j=|\psi_j\rangle\langle \psi_j| \qquad (7)$
و هكذا فان مؤثر الكثافة لحالة الخليط الاحصائي هي
$\hat{\rho}=\sum_{j}P_j \hat{\rho}_j\qquad (8)$
الان اذا حسبنا الـ Trace لطرفي المعادلة الاخيرة فسوف نجد ان
$\rm Tr\hat{\rho}=\sum_{j}P_j \rm Tr\hat{\rho}_j$
و لما كان
$\rm Tr \hat{\rho}_j=1$
فان
$\rm Tr \hat{\rho}=\sum_{j}P_j =1$

اما اذا ربعنا مؤثر الكثافة فاننا نلاحظ من المعادلة (8) ان مربع مؤثر الكثافة لا يساوي نفسه
$\hat{\rho}^2\neq \hat{\rho}\qquad(9)$

و بدمج الخاصيتين السابقتين نجد ان
$\rm Tr\hat{\rho}^2\leq 1\qquad(10)$