[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبدالله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام
حياكم الله وبياكم وجعل الفردوس مثواي ومثواكم

هذا أو موضوع أضعه هنا في المنتدى ... وأتمنى من الله أن ينال إعجابكم !!!

لعهد قطعته على نفسي لإحدى الأخوات الفضليات في أحد المنتديات ... هذه في عُجالة ... التصحيح من الدرجة الثانية Second Order Correction في ...

نظرية الإضطراب Perturbation Theory

الغير معتمدة على الزمن Time-Independent ...

ملحوظة ... الشرح مأخوذ من كتاب Introductory Quantum Mechanics – Liboff ... ولكنه طبعاً ليس بهذا التفصيل الممل (الذي أعتبره من حقوق الملكية الخاصة بي !!!) ...


لإيجاد التصحيح من الدرجة الثانية للدالة الموجية والطاقة ()، ينبغي حل المعادلة التالية (والتي هي معامل ):

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\left&space;(&space;\hat{H} _{0}-E_{n}^{(0)}&space;\right&space\phi_{n}^{(2)}=\le ft&space;(&space;E_{n}^{(1)}&space;-\hat{{H}'}\right&space\phi_{n}^{(1)}+E_{n}^ {(2)}\phi_{n}^{(0)}

[/IMG]

بالفك والتوزيع واستخدام صورة الـ ket vectors نجد أن:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\hat{H}_{0}\left&space;|\ph i_{n}^{(2)}\right&space;\rangle-E_{n}^{(0)}\left&space;|\phi_{n}^{(2)}\right&space ;\rangle=E_{n}^{(1)}&space;\left&space;|\phi_{n}^{ (1)}\right&space;\rangle-\hat{{H}'}\left&space;|\phi_{n}^{(1)}\right&space; \rangle+E_{n}^{(2)}\left&space;|\phi_{n}^{(0) }\right&space;\rangle

[/IMG]

وحيث أن الهاملتونيان يعمل فقط على الدالة وبالتالي يمكن أن ننشر أو نوزع expand هذه الدالة في صورة الدوال المميزة للهاميلتونيان السابق، أي أن:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\left&space;|\phi_{n}^{(2)} \right&space;\rangle&space;=&space;\sum_{i}D_{ni}\ left&space;|\phi_{i}^{(0)}\right&space;\rangle

[/IMG]

بالتعويض:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\sum_{i}D_{ni}{H}_{0}\left& space;|\phi_{i}^{(0)}\right&space;\rangle-\sum_{i}D_{ni}E_{n}^{(0)}\left&space;|\phi_{i}^{(0 )}\right&space;\rangle=E_{n}^{(1)}&space;\left&spa ce;|\phi_{n}^{(1)}\right&space;\rangle-\hat{{H}'}\left&space;|\phi_{n}^{(1)}\right&space; \rangle+E_{n}^{(2)}\left&space;|\phi_{n}^{(0) }\right&space;\rangle

[/IMG]

بضرب طرفي المعادلة السابقة بالـ bra vector للدالة المميزة ولكن في حالة أخرى، أي:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\left&space;\langle&space;\ phi_{j}^{(0)}\right&space;|

[/IMG]

نجد أن:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\sum_{i}D_{ni}\left&space;\ langle&space;\phi_{j}^{(0)}\right&space;|{H}_{0}\l eft&space;|\phi_{i}^{(0)}\right&space;\rangle-\sum_{i}D_{ni}\left&space;\langle&space;\phi_{j}^{ (0)}\right&space;|E_{n}^{(0)}\left&space;|\phi_{i} ^{(0)}\right&space;\rangle=E_{n}^{(1)}&space;\left &space;|\phi_{n}^{(1)}\right&space;\rangle-\hat{{H}'}\left&space;|\phi_{n}^{(1)}\right&space; \rangle+E_{n}^{(2)}\left&space;|\phi_{n}^{(0) }\right\right&space;\rangle

[/IMG]

وومنها نحصل على:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{i}D_{ni}E_{i}^{(0)}\left&space;\la ngle&space;\phi_{j}^{(0)}\right&space;\left&space; |\phi_{i}^{(0)}\right&space;\rangle-\sum_{i}D_{ni}E_{n}^{(0)}\left&space;\langle&space ;\phi_{j}^{(0)}\right&space;\left&space;|\phi_{i}^ {(0)}\right&space;\rangle=E_{n}^{(1)}&space;\left& space;\langle&space;\phi_{j}^{(0)}\left&space;|\ph i_{n}^{(1)}\right&space;\rangle-\left&space;\langle&space;\phi_{j}^{(0)}\left&spac e;|\hat{{H}'}\left&space;|\phi_{n}^{(1)}\right&spa ce;\rangle+E_{n}^{(2)}\left&space;\left&space ;\langle&space;\phi_{j}^{(0)}\left&space;|\phi_{n} ^{(0)}\right\right&space;\rangle

[/IMG]

حيث:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left&space;\langle&space;\phi_{j}^{(0)} \right&space;|{H}_{0}\left&space;|\phi_{i}^{(0)}\r ight&space;\rangle=E_{i}^{(0)}\left&space;\langle& space;\phi_{j}^{(0)}\right&space;\left&space;|\phi _{i}^{(0)}\right&space;\rangle

[/IMG]

والآن بفرض أن ، فإن:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{j}D_{nj}E_{j}^{(0)}\left&space;\la ngle&space;\phi_{j}^{(0)}\right&space;\left&space; |\phi_{j}^{(0)}\right&space;\rangle-\sum_{j}D_{nj}E_{n}^{(0)}\left&space;\langle&space ;\phi_{j}^{(0)}\right&space;\left&space;|\phi_{j}^ {(0)}\right&space;\rangle=E_{n}^{(1)}&space;\left& space;\langle&space;\phi_{j}^{(0)}\left&space;|\ph i_{n}^{(1)}\right&space;\rangle-\left&space;\langle&space;\phi_{j}^{(0)}\left&spac e;|\hat{{H}'}\left&space;|\phi_{n}^{(1)}\right&spa ce;\rangle+E_{n}^{(2)}\left&space;\left&space ;\langle&space;\phi_{j}^{(0)}\left&space;|\phi_{n} ^{(0)}\right\right&space;\rangle

[/IMG]

ومنها نحصل على:

[IMG]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{blue}&space;\sum_{j }D_{nj}\left&space;(E_{j}^{(0)}-E_{n}^{(0)}&space;\right&space=E_{n}^{(1)}&space ;\left&space;\langle&space;\phi_{j}^{(0)}|&space;\ phi_{n}^{(1)}\right&space;\rangle-\left&space;\langle&space;\phi_{j}^{(0)}|\hat{{H}' }|\phi_{n}^{(1)}\right&space;\rangle+E_{n}^{( 2)}\delta&space;_{jn}\right&space;\rangle}

[/IMG]

وهذه هي المعادلة المحورية للقادم ...