[أحمد سعد الدين]

نفرض أن طول ضلع المربع = 2 ل

نرسم محورين متعامدين من منتصفات أضلاع المربع يتقاطعان فى مركز المربع و ، ويقسم المربع الى 4 مربعات صغيرة متطابقة - محورى التماثل

الجزء المحصور للنجمة فى كل ربع متماثلة

تم تكبير ربع المربع وبداخله الجزء المحصور من النجمة

العمل :

نصل ب ج
نقيم من نقطة م عمودين : م ى على و ب ، م ف على و ج

خطوات الاثبات :

ج د ، ب هـ متوسطان فى المثلث ج ب و ويتقاطعان فى نقطة م التى تقسم كل متوسط بنسبة 2 : 1 من جهة رأس المثلث

إذن :

ب م / ب هـ = ج م / ج د = 2/3

المثلثان القائمان الزاوية و : ب هـ و ، ج د و متطابقان ،

وينتج أن :

ب هـ = ج د ، زاوية و ب هـ = زاوية و ج د

ب م= 2/3 ب هـ ، ج م = 2/3 ج د ـــــــــ> ب م = ج م

المثلثان القائمان الزاوية ب م ى ، ج م ف متطابقان
حيث ب م = ج م ، زاويتى ى ، ف قائمتين ، زاوية م ب ى = زاوية م ج ف

وينتج أن : م ى = م ف ــــــــــ> الشكل م ى و ف مربع

فى المثلث ب و هـ : م ى توازى القاعدة هـ و ، ب م / ب هـ = 2/3

إذن

م ى / هـ و = 2/3 ــــــــــــ> م ى = 2/3*ل/2 = ل/3

الجزء من النجمة المحصور داخل ربع المربع يتكون من :

المربع م ى و ف + المثلث ب م ى + المثلث ج م ف

مساحة المربع م ى و ف = (ل/3)^2 = ل^2 / 9

مساحة المثلث ب م ى = مساحة المثلث ج م ف = 1/2*2ل/3*ل/3 = ل^2 / 9

مساحة الجزء المحصور للنجمة = ل^2 /9 + 2*ل^2 /9 = ل^2 /3

مساحة النجمة = 4*ل^2 /3

مساحة الربع للمربع = ل^2

مساحة المربع = 4*ل^2

مساحة النجمة الى مساحة المربع = 1/3