منصف الزاوية للمثلث
العمل :
1 - نرسم المستقيم ج هـ يوازى المنصف د أ ويقابل امتداد ضلع المثلث ب أ فى نقطة هـ
2 - نرسم المستقيم ج ى عودى على ج هـ ويقابل امتداد ضلع المثلث أ ب فى نقطة ى
3 - نمد المنصف أ د ليقابل ج ى فى و
الاثبات :
فى المثلث أ ب د :
(ب د)^2 = (أ ب)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ب . أ د . جتاأ/2 ــ (1)
فى المثلث أ د ج :
(د ج)^2 = (أ ج)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ج . أ د . جتاأ/2 ــ (2)
فى المثلث أ ب ج :
(ب ج)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 2 أ ب . أ ج . جتاأ
حيث :
ب ج = ب د + د ج
جتاأ = 2 جتا^2 (أ/2) - 1
(ب ج)^2 = (ب د)^2 + (د ج)^2 + 2 ب د . د ج
فيكون :
(ب د)^2 + (د ج)^2 + 2 ب د . د ج = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 4 أ ب . أ ج . جتا^2 (أ/2) + 2 أ ب . أ ج ـــ (3)
من المعادلات (1) ، (2) ، (3)
أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ب + أ ج ) ] ـــــــــــ (4)
ومن هنا نبدأ فى الاستفادة من العمل المشار إليه فى بداية الحل ، ولننتبه جيدا :
من الرسم عاليه
أ ج = أ هـ = أ ى
أ و = أ ج * جتاأ/2
أ و = 1/2 * ج هـ
(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = 2 * أ ب * أ و = أ ب . ج هـ
أ د (أ ب + أ ج ) = أ د . (أ ب + أ هـ) = أ د . ب هـ
المثلث ب د أ يشابه المثلث ب ج هـ
فيكون : ب أ / ب هـ = أ د / هـ ج
ب أ . هـ ج = أ د . ب هـ
إذن :
(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = أ د (أ ب + أ ج )
وتكون المعادلة (4)
أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ب + أ ج ) ]
= ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * 0
وحيث أن أى زاوية فى المثلث دائما أصغر من 180 درجة
فتكون نصف الزاوية دائما أصغر من 90 درجة
وبالتالى جتا أ/2 لا تساوى 0
إذن :
أ ب . أ ج = ب د . د ج + (أ د)^2
حيث أ د المنصف الداخلى للزاوية أ بالمثلث أ ب ج
نفس العمل السابق
الاثبات بنفس الطريقة السابقة:
فى المثلث أ ب د :
(ب د)^2 = (أ ب)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ب . أ د . جتاأ/2 ــ (1)
فى المثلث أ د ج :
(د ج)^2 = (أ ج)^2 + (أ د)^2 - 2 أ ج . أ د . جتا(180 -أ/2) = (أ ج)^2 + (أ د)^2 + 2 أ ج . أ د . جتاأ/2 ــ (2)
فى المثلث أ ب ج :
(ب ج)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 2 أ ب . أ ج . جتا(180 - أ)
= (أ ب)^2 + (أ ج)^2 + 2 أ ب . أ ج . جتاأ
حيث :
ب ج = د ج - د ب
جتاأ = 2 جتا^2 (أ/2) - 1
(ب ج)^2 = (ب د)^2 + (د ج)^2 - 2 ب د . د ج
فيكون :
(ب د)^2 + (د ج)^2 - 2 ب د . د ج = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 + 4 أ ب . أ ج . جتا^2 (أ/2) - 2 أ ب . أ ج ـــ (3)
من المعادلات (1) ، (2) ، (3)
أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ج - أ ب) ] ـــــــــــ (4)
من الرسم عاليه
أ ج = أ هـ = أ ى
أ و = أ ج * جتاأ/2
أ و = 1/2 * ج هـ
(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = 2 * أ ب * أ و = أ ب . ج هـ
أ د (أ ج - أ ب) = أ د . (أ هـ - أ ب) = أ د . ب هـ
المثلث ب د أ يشابه المثلث ب ج هـ
فيكون : ب أ / ب هـ = أ د / هـ ج
ب أ . هـ ج = أ د . ب هـ
إذن :
(2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) = أ د (أ ج - أ ب)
وتكون المعادلة (4)
أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2 + جتاأ/2 * [ (2أ ب.أ ج جتاأ/2 ) - أ د (أ ج - أ ب) ]
= ب د . د ج + (أ د)^2 + جتاأ/2 * 0
وكما أشرنا فى الاثبات الأول أن : جتا أ/2 لا تساوى 0
إذن :
أ ب . أ ج = ب د . د ج - (أ د)^2
حيث أ د المنصف الخارجى للزاوية أ بالمثلث أ ب ج