ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

محمد ابوزيد · #7 17-04-2012, 18:36

اشتقاق معادلة شرودنجر (المعادلة الاساسية فى ميكانيكا الكم)

معلوم اننا فى ميكانيكا الكم نستبدل الكميات المُقاسة كلاسكياً بمؤثرات مقابلة لها تؤثر على دالة تسمى بالدالة الموجية وهى دالة تتمتع بخصائص رياضية محددة (دالة منتهية , أُحادية القيمة وتؤول الى الصفر عند الاطراف اللانهائية للفضاء )

يعطى مؤثر الطاقة بالشكل التالى:
$\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$
بينما يعطى مؤثر كمية الحركة الخطية بـ

$\hat{\vec{P}}=\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla}$

الان نستخدم تعريف الطاقة الكلية على انها مجموع طاقتى الحركة والجهد وعليه يكون مؤثر الطاقة الكلية يساوى مجموع مؤثرى طاقة الحركة وطاقة الجهد

$\hat{E}=\hat{T}+ \hat{V}$

ولكن طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة ضرب مربع السرعة

$T=\frac{mv^2}{2}$

ولكن من جانب اخر نجد ان كمية الحركة تساوى حاصل ضرب الكتلة فى السرعة وعليه نجد ان السرعة تساوى كمية الحركة مقسومة على الكتلة وهكذا بالتعويض فى طاقة الحركة اعلاه نحصل على

$T=\frac{m(\frac{P}{m})^2}{2}=\frac{P^2}{2m}$

[IMG]وهكذا نستطيع كتابة مؤثر الطاقة الكلية بدلالة مؤثر كمية الحركة[/IMG]

$\hat{E}=\frac{\hat{P}^2}{2m} \hat{V}$

[IMG]وبتعويض قيمة مؤثر الطاقة وكمية الحركة نحصل على[/IMG]

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \hat{V}$

وكما قلنا سابقاً ان المؤثرات الكمية تؤثر على دالة موجية فاننا نستطيع ضرب طرفى المعادلة اعلاه فى دالة موجية ابساى لنحصل على معادلة شرودنجر

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(t,\vec{x}) V\Psi(t,\vec{x})$