ملتقى الفيزيائيين العرب - عرض مشاركة واحدة

الصادق · #2 26-12-2009, 22:48

اشتقاق معادلة كلين-غوردون

نسبة لان الطاقة الكلية فى النسبية الخاصة تختلف عن الطاقة الكلية فى ميكانيكا نيوتن فاننا سوف نكتب العلاقة النسبوية لتعريف الطاقة وهى

$E^2=P^2c^2+m_0^2c^4$

حيث m_0 هى كتلة السكون للجسيم المعنى بالدراسة. وهكذا يكون مؤثر الطاقة الكلية يعطى بالعلاقة التالية

$\hat{E}^2=\hat{P}^2c^2+m_0^2c^4$

وبتعويض قيم مؤثرات الطاقة و كمية التحرك المعطاه فى المشاركة السابقة نحصل على معادلة المؤثرية التالية

$-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}=-\hbar^2c^2\nabla^2+m_0^2c^4$

وبعد الترتيب تأخذ المعادلة اعلاه الشكل التالى

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}=0$

وبضرب طرفى المعادلة الاخيرة فى الدالة الموجية نحصل على معادلة كلين-غوردون

$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi(t,\vec{x})=0$

لاحظ ان المقدار

$\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}$

ماهو الا مربع مقلوب طول موجة كمبتون لجسيم وهو يؤكد على ان الجسيم الذى ابعاده فى حدود طول موجة كمبتون لاتنطبق عليه قوانين ميكانيكا الكم بل يخضع لقوانين نظرية الكم النسبوية لانه
يتحرك بسرعة تقترب من سرعة الضوء. اما اذا كان الجسيم يتحرك بسرعة صغيرة مقارنة بسرعة الضوء فان ابعاد الجسيم تكون فى حدود موجة دى بروغلى وعليه نجد ان هذا الجسيم يخضع الى قوانين ميكانيكا الكم اى معادلة شرودنجر

لاحظ ان معادلة كلين-غوردون تحتوى على مشتقتين فى الزمن و الفضاء وهذا الموثر عادة مايسمى رياضياً بمؤثر دلنبيرت ويكتب اختصاراً بمربع اى ان معادلة كلين-غوردون يمكن تكتب بالشكل المختصر التالى

$\left(\Box +\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi(t,\vec{x})=0$