فائدة في التكامل

مهند الزهراني · #1 20-03-2011, 16:01

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

كوني في بداية التعلم لعلم التكامل الواسع والجميل ، فمن وقت لآخر تجي أفكار وفوائد ربما تكون مهمة بأحد الأوقات ، من يدري ؟

قرأت في أحد الكتب سؤال والمطلوب كان إيجاد التكامل التالي

$\int \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} \ dx$

كل ما فعلته هو التالي

$lets \ u=x+1\Rightarrow du=dx\Rightarrow \int \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} \ dx=\int \left (\frac{u^2-1}{u^2} \right ) \ du$

$\int \left (\frac{u^2-1}{u^2} \right ) \ du=u+\frac{1}{u}+C=(x+1)+\frac{1}{(x+1)}+C$

وبالطبع $C$ ثابت إختياري

الآن وإذ بي أرى الاجابة في الكتاب هي

$\frac{x^2}{x+1}+k$

و $k$ ثابت إختياري

!!

الان واضح أن الاجابتين غير متساويتين ومع ذلك عندما تشتق أيا من الدالتين تعطيك الدالة الأصلية

كل الفكرة في ثابت التكامل

الآن لنبرهن أن كلا الدالتين تعطي نفس المشتقة فقط خذ الفرق لتكتشف أن الفرق عبارة عن ثابت عددي فقط

$(x+1)+\frac{1}{x+1}-\frac{x^2}{x+1}=2$

ملاحظة : أحببت أن أشير للمسألة كونها تشكل على متعلمي التكامل اضافة الى الأهمية البالغة للثابت في المسائل الفيزيائية والهندسية

وبالتوفيق

boujdour2009 · #2 20-03-2011, 18:58

السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاتــــه

اظن انك وقعت في غلط عند اجراء الفرق...لانه حسب ماكتبته. الفرق=2x+2

اليك الطريقة

$\int \frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}dx=\int 1+\frac{-1}{(x+1)^{^{2}}}dx =x+\frac{1}{x+1}+C$

توحيد المقامات.........وبوضع k=c+1

$x+\frac{1}{x+1}+C=\frac{x^{2}+x+1}{x+1}+C=(x+1)+\frac{-x}{x+1}+C=x+\frac{-x}{x+1}+k=\frac{x^{2}}{x+1}+k$

العدد k ثابت

*******************هنا نتحدث عن الدوال لاصلية***********************:s_thumbup:

هدا ما لي من معلومات
تحية في اطـــــار

مهند الزهراني · #3 20-03-2011, 21:21

ملاحظة : اذا طلعت غلطان فغير مستغرب لأني اليوم لفيت بالسؤال

لكن بعيد بالتفصيل حلي للتكامل

$u=x+1\Rightarrow du=dx$

$\Rightarrow \int \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}dx=\int \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}dx=\int \frac{(u-1)(u+1)}{u^2}du=\int \left (\frac{u^2-1}{u^2} \right )du$

$\int \left (\frac{u^2-1}{u^2} \right )du=\int 1 \ du-\int \frac{1}{u^2}du=u+\frac{1}{u}+C=x+1+\frac{1}{x+1}+C$

وعلى فكرة الفرق بين فكرتينا هو استخدام ثابت فأنت حذفت الواحد ووضعت الثابت 1

وانا من تعويضي استنتجت شيء آخر

ولاحظ أخي أنه لو اشتقينا احد الثلاث دوال سوف تعطينا الدالة الأصلية بالسؤال

boujdour2009 · #4 21-03-2011, 00:38

ولاحظ أخي أنه لو اشتقينا احد الثلاث دوال سوف تعطينا الدالة الأصلية بالسؤال
لان مفترقنا هو دالك الثابت لان اشتقاق التابت منعدم
....ولكن لمادا لم تسند 1 لتابت............الدوااال الاصلية
اما تغييير المتغير الدي قمت به صحيح

مهند الزهراني · #5 21-03-2011, 16:35

جميل أخي أعتقد اننا وصلنا لنقطة إتفاق وهي انه كل الفكرة بالثابت لا أكثر

وهذا كان غرضي غرضي ألفت الإنتباه له

boujdour2009 · #6 21-03-2011, 18:14

اشكــــــــــــــــــرك اخي على وضع الموضوع
تـــ 7 ـــية لك
والسلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته

alzahraa · #7 21-03-2011, 21:36

كلتا الحالتين صحيحة

ولكن الاسهل عن نفسى هو تكملة المربع الكامل فى البسط ثم استخدام الكسور الجزيئية

وجزاكم الله خيرا

ننتظر المزيد

مهند الزهراني · #8 23-03-2011, 15:28

أمس تذكرت الموضوع وانا بالفصل مع أحد الأمثلة وكان المطلوب ايجاد قيمة التكامل

$\int \tan x \sec^2 x \ dx$

طبعا سهل جدا وواضح انه

$\int \tan x \sec^2 x \ dx=\frac{1}{2}\tan^2 x+C$

ونقدر نكتب الاجابة بصورة ثانية

$\int \tan x \sec^2 x \ dx=\frac{1}{2}\sec^2 x+k$

وذلك عن طريق اختيار اختيار الثابت C بحيث

$k=C-\frac{1}{2}$

مهند الزهراني · #9 23-03-2011, 15:57

وهذا طبعا من المتطابقة

$1+\tan^2 x=\sec^2x$

alzahraa · #10 23-03-2011, 16:59

فعلا وجزاكم الله خيرا

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !