التعريف الدقيق للنهاية - تعريف كوشي

مهند الزهراني · #1 24-03-2011, 14:33

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

سأقدم هنا تمهيدا بسيطا جدا للتعريف الدقيق للنهاية علها تفيدكم ، علما بأنه هناك محاذير ودقة شديدة للتعريف اذا تناولته مثل مقررات التحليل الحقيقي اللي قدمته بصورة متشددة

لكن عل تقديمي هنا يكون جيدا مع بعض التساهل

وأبدأ بتقديم بسيط قبل الدخول بالتعريف

وأعتذر منكم لأني سأغلق الموضوع حتى أنتهي منه ومن ثم أفتحه للتعليقات والمداخلات

.......

التعريف الدقيق للنهاية - تمهيد :-

اذا فرضنا أن لدينا دالة $f :D\rightarrow \mathbb{R}$ حيث $D$ مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية

وافرض أنك قلت لشخص ما التقرير التالي " $f (x )$ قريبة من $L$ "

فهذا يعني وجود مقياس للقرب متفق عليه $\varepsilon > 0$ بحيث أن :

$\left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

الآن بالمثل العبارة " $x$ قريبة من $c$ " تعني أن هناك مقياسا آخر متفق للقرب عليه هو $\delta > 0$

وبالتالي فان التقرير التالي " نهاية $f ( x )$ عندما تقترب $x$ من $c$ هي $L$ " يعني لديه

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

بنفس المناقشة اذا خاطبنا شخصا آخر له مقياسين آخرين للقرب $\delta _1> 0,\varepsilon _1> 0$

سيكون تقرير النهاية له على الشكل التالي

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta _1\Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon _1$

ولا شك أننا نريد أن يكون تقريرنا منفصلا على المخاطب ولذلك يلزم انه أن نجد $\delta > 0$ كلما اخترنا $\varepsilon > 0$ بحيث يكون

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

" مصدر ما سبق : كتاب مبادئ التحليل الحقيقي - الجزء الأول للدكتورين محمد القويز وصالح السنوسي بجامعة الملك سعود بالرياض "

وان شاء الله لنا تتمة حسب ما يتوفر لدي من وقت

والله الموفق ...

مهند الزهراني · #2 24-03-2011, 16:29

التعريف الدقيق للنهاية ( precise meaning of limit ) :

لتكن $f$ دالة معرفة في فترة مفتوحة تشمل $c$ بحيث أن الدالة قد لا تكون معرفة عند $c$ ذاتها

نقول بأن نهاية الدالة $f(x)$ عندما تقترب من $c$ هي $L$ وتكتب رمزيا كالتالي

$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$

إذا كان لكل عدد إختياري موجب $\varepsilon$ عدد آخر موجب $\delta$ بحيث أنه

$\textrm{if} \ \left | x-c \right |< \delta\Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

مهند الزهراني · #3 25-03-2011, 11:31

- ملاحظة :

لإثبات أن $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ يتوجب علينا عمل الآتي :

(أ) - نفرض أن لدينا قيمة صغيرة موجبة $\varepsilon$

(ب)- نوجد قيمة صغيرة موجبة $\delta$ تعتمد على $\varepsilon$

(ج)- نثبت أنه

$if \ \left |x-c \right |< \delta\Rightarrow \left|f(x)-L\right|<\varepsilon$

مثال (1) :-

- أثبت أن $\lim_{x\rightarrow 4}(3x-7)=5$

الحل :-

أولا : التحليل المبدئي :

نفرض أن لدينا قيمة صغيرة موجبة $\varepsilon$ ، المطلوب ايجاد $\delta$ بحيث تحقق أن

$\left|x-4\right|<\delta \Rightarrow \left|(3x-7)-5\right|<\varepsilon$

الآن لايجاد قيمة $\delta$ نعمل على المتباينة اليمنى كالتالي

$\left|(3x-7)-5\right|<\varepsilon\Leftrightarrow \left|3x-12|<\varepsilon \Leftrightarrow |x-4|<\frac{\varepsilon}{3}$

وبالتالي نختار $\delta =\frac{\varepsilon }{3}$

- ثانيا : الإثبات : -

لتكن $\varepsilon$ قيمة عددية صغيرة معطاة وباختيار $\delta =\frac{\varepsilon }{3}$ فاننا نجد أنه عندما تكون

$|x-4|<\delta$

فان

$|(3x-7)-5| =|3x-12|=3|x-4|<3\delta =\varepsilon \Rightarrow|(3x-7)-5|<\varepsilon$

وهو المطلوب اثباته ...

الآن أفتح الموضوع وأترك المجالات لاستفساراتكم أو ايضاح نقطة معينة او اضافة مثرية كما اعتدنا منكم

وان شاء الله حسب وقتي هذا الاسبوع بضيف تمارين وأمثلة حسب وقتي .

وأتمنى اقتراحاتكم وتصحيحكم ان أخطأت فلا زلت أعتبر نفسي من المتعلمين الجدد في هذا المجال

دايدرا فن · #4 07-04-2011, 23:39

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

سأقدم هنا تمهيدا بسيطا جدا للتعريف الدقيق للنهاية علها تفيدكم ، علما بأنه هناك محاذير ودقة شديدة للتعريف اذا تناولته مثل مقررات التحليل الحقيقي اللي قدمته بصورة متشددة

لكن عل تقديمي هنا يكون جيدا مع بعض التساهل

وأبدأ بتقديم بسيط قبل الدخول بالتعريف

وأعتذر منكم لأني سأغلق الموضوع حتى أنتهي منه ومن ثم أفتحه للتعليقات والمداخلات

.......

التعريف الدقيق للنهاية - تمهيد :-

اذا فرضنا أن لدينا دالة $f :D\rightarrow \mathbb{R}$ حيث $D$ مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية

وافرض أنك قلت لشخص ما التقرير التالي " $f (x )$ قريبة من $L$ "

فهذا يعني وجود مقياس للقرب متفق عليه $\varepsilon > 0$ بحيث أن :

$\left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

الآن بالمثل العبارة " $x$ قريبة من $c$ " تعني أن هناك مقياسا آخر متفق للقرب عليه هو $\delta > 0$

وبالتالي فان التقرير التالي " نهاية $f ( x )$ عندما تقترب $x$ من $c$ هي $L$ " يعني لديه

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

بنفس المناقشة اذا خاطبنا شخصا آخر له مقياسين آخرين للقرب $\delta _1> 0,\varepsilon _1> 0$

سيكون تقرير النهاية له على الشكل التالي

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta _1\Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon _1$

ولا شك أننا نريد أن يكون تقريرنا منفصلا على المخاطب ولذلك يلزم انه أن نجد $\delta > 0$ كلما اخترنا $\varepsilon > 0$ بحيث يكون

$x\in D,\left | x-c \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon$

" مصدر ما سبق : كتاب مبادئ التحليل الحقيقي - الجزء الأول للدكتورين محمد القويز وصالح السنوسي بجامعة الملك سعود بالرياض "

وان شاء الله لنا تتمة حسب ما يتوفر لدي من وقت

والله الموفق ...

الله يعطيك العافية اخوي

بقولك ايش فهمت وابيك تقول لي هل فهمي صحيح ولا لا

طبعا مسائلها ما في خوف منها الحل سهل وذوبني مختبر الفرست وجاني سؤال عليها وحليتو الحمدالله

بس انا ابغا افهم بغض النظر عن الاختبار

الحين الابسلون والدلتا الهدف منهم انك تجيب العلاقة بينهم يعني على سبيل المثال

لو اعطيك دالة وقال لك الاكس تقترب من 2

تجيب الابسلون والدلتا ونفترض ان الدلتا تساوي نصف الابسلون

لو اعطاك الابسلون تساوي 0.01

الدلتا راح تساوي 0.0005

سألت الدكتور عن الهدف من هذا الدرس قال لي احنا كرياضيين مانرتاح الا لمن نطمن

من مجاور النقطة الي بحثنا النهاية عندها

بس الي مافهمتو على اي اساس قلنا الدلتا اكبر من الصفر ولا هذي فرضناها من عندنا ؟؟

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !