سؤال خفيف

مهند الزهراني · #1 08-05-2011, 16:35

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

سؤال حلو وخفيف أتمنى يعجبكم ، اذا كانت a,b,c أطوال أضلاع مثلث تحقق العلاقتين التاليتين

$a+b-c=2 \ , \ 2ab-c^2=4$

فبرهن أن المثلث متطابق الأضلاع

بالتوفيق

زهرة الأوركيد · #2 08-05-2011, 20:23

$\\a+b-c=2\Rightarrow a+b=2+c\\\\ 2ab-c^2=4\Rightarrow ab=\frac{4+c^2}{2}$

لدينا مجموع عددين وحاصل ضربهم ، فنستطيع تكوين معادلة من الدرجة الثانية يكون جذورها a و b

$x^2-(2+c) x+\frac{4+c^2}{2} =0$

باستخدام القانون العام :

$x=\frac{(2+c)\pm \sqrt{(2+c)^2-2(4+c^2)}}{2}=\frac{(2+c)\pm \sqrt{-(c-2)^2}}{2}$

ليكون للمعادلة حلول حقيقية يجب أن يكون المميز أو ما تحت الجذر أكبر أو يساوي الصفر وبما أن ما تحت الجذر = سالب مقدار مربع فالاحتمال الوحيد أن يكون المقدار المربع = 0 ..

$c-2 = 0 \Rightarrow c=2$

وبما أن المميز = 0 فللمعادلة جذر مكرر أي أن a=b

$a=b=\frac{2+2} {2}=2=c$

الأطوال متساوية ==> المثلث متطابق الأضلاع

رائد زمانه · #3 08-05-2011, 20:50

حلو ..... حليتها قبلي هههههه

مهند الزهراني · #4 08-05-2011, 21:48

يعطيك العافية حل جميل

ولي عودة بفكرة اخرى للحل باذن الله

مهند الزهراني · #5 09-05-2011, 15:19

حلي تقريبا بنفس الفكرة بس بشكل ثاني

يعني نربع اول معادلة ونعوض من الثانية لنصل الى

$a^2+b^2=c^2+4$

الان نعلم أن $a^2+b^2\geq 2ab$

وبالتعويض عن الطرفين مما سبق نصل الى ان

$(c-2)^2\leq 0$

وبالتالي يجب أن يكون c=2

وبالتعويض وحل نظام المعادلات نصل الى ان a=b=c=2

nuha1423 · #6 09-07-2011, 12:16

شكراً لكم جميعاً بارك الله فيكم وجزاكم خيراً

معلمه طموحه · #7 10-07-2011, 00:18

شكراً لكم جميعاً

سبحانك اللهم وبحمدك ، أشهد أن لا إله إلا أنت أستغفرك وأتوب إليك

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !