تحتاج تفكير ...

مهند الزهراني · #1 01-10-2010, 11:39

السلام عليكم ...

فكروا في اثبات هذي المتباينة بدون استخدام المتباينات المعيارية ( متباينة الوسطين - كوشي - ... )

فقط باستخدام خاصية معروفة في الاعداد الحقيقة ( ضمن مناهج الثانوي ) ...

أثبت المتباينة التالية

$\150dpi \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)(d^2+d+1)}{abcd}\geq 81$

" مربع اي عدد حقيقي أكبر من ..... "

نورة الشريف · #2 01-10-2010, 21:53

والله شكل السؤال حلو وممتع .. بس الله يهديك ما حطيته غير اليوم .. كآن حطيته أمس الخميس فااضين ..

بإذن الله راجعة مع السؤال الجميل هذاا ..

زولديك · #3 01-10-2010, 22:47

بسم الله الرحمن الرحيم

ما ادري وش تقصد بتلميحك على الثانوي (لأني ما درست ثانوي) اكن هده محاولة لعلى و عسى

نكتب المقدار على الصورة $\frac{(a^{2}+a+1)}{a}.\frac{b^{2}+b+1}{b}.\frac{(c^{2}+c+1)}{c}.\frac{(d^{2}+d+1)}{d}$ ,

الآن نعمد إلى دراسة حد من الحدود بعد وضعه على الصورة $\frac{(a^{2}+a+1)}{a}=(a+1+\frac{1}{a})=1+(a+(\frac{1}{a}))$ الىن ندرس اقل قيمة ياخدها الحد الدي بين القوسين "بدون تفصيلات"و دلك بغستخدام التفاضل و دراسة القيم العظمى و الضغرى , لنج أن القيمة الضغرى لهدا الحد هي 2 , و هكدا نستنتج ان

$\frac{(a^{2}+a+1)}{a}=(a+1+\frac{1}{a})=1+(a+(\frac{1}{a}))\geq 1+(2)\geq 3$ , و حيث ان القيمة الضغرى تتحقق عندما يأخد a القيمة (1) نستنتج ان
$\frac{(a^{2}+a+1)}{a}.\frac{b^{2}+b+1}{b}.\frac{(c^{2}+c+1)}{c}.\frac{(d^{2}+d+1)}{d}\geq \frac{3.3.3.3}{1.1.1.1}=81$

زولديك · #4 01-10-2010, 23:21

عدرا على الاخطاء الطباعية "بس مستعجل لاح يسبقني على الإجابة"

نورة الشريف · #5 02-10-2010, 13:59

بسم الله الرحمن الرحيم ... الحل بدون تفصيل لأني شوي مشغولة فاعذرني ..
1- $a+\frac{1}{a}\geq 2$ .. ويمكن اثباتها بالوسطين ..

2- الطرف الأيسر للمتباينة بعد التفكيك يتحول الى : $(a+\frac{1}{a}+1)(b+1+\frac{1}{b})(c+1+\frac{1}{c})(d+1+\frac{1}{d})$

نعوض عن أصغر شي ممكن نعوض فيه اللي هو 2 مأخوذ من الخطوة الأولى ..
ولو عوضنا .. راح تساوي 3×3×3×3 = 81 .. هذا في حالة المساواة .. اذن أي قيمة تطلع أكبر من 2 ونعوض فيها راح يطلع عدد أكبر من 81 ...

بس سؤال .. وين ماخذينها في الثانوي ؟ ومن وين جاء تربيع أي عدد حقيقي ؟؟

شكرا أخي مهند ع المسألة ...

زولديك · #6 02-10-2010, 23:29

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة نورة الشريف

بسم الله الرحمن الرحيم ... الحل بدون تفصيل لأني شوي مشغولة فاعذرني ..
1- $a+\frac{1}{a}\geq 2$ .. ويمكن اثباتها بالوسطين ..

2- الطرف الأيسر للمتباينة بعد التفكيك يتحول الى : $(a+\frac{1}{a}+1)(b+1+\frac{1}{b})(c+1+\frac{1}{c})(d+1+\frac{1}{d})$

نعوض عن أصغر شي ممكن نعوض فيه اللي هو 2 مأخوذ من الخطوة الأولى ..
ولو عوضنا .. راح تساوي 3×3×3×3 = 81 .. هذا في حالة المساواة .. اذن أي قيمة تطلع أكبر من 2 ونعوض فيها راح يطلع عدد أكبر من 81 ...

بس سؤال .. وين ماخذينها في الثانوي ؟ ومن وين جاء تربيع أي عدد حقيقي ؟؟

شكرا أخي مهند ع المسألة ...

السلام عليكم اخيتي نورة :a_plain111:, بس حبيت اسالك في حالة برهانك هدا كيف نستنتج قيمة حاصل الضرب abcd في مقام المتباينة ,

نورة الشريف · #7 02-10-2010, 15:36

أخي مهند ..

فكروا في اثبات هذي المتباينة بدون استخدام المتباينات المعيارية ( متباينة الوسطين - كوشي - ... )

قصدك ما أدخل في الحل متباينة الوسطين نهائيا .. لأني تطرقت لها في الخطوة الأولى ..
اذا كان مثل ما قلت .. راح أثبتها بطريقة ثانية ..

زولديك · #8 05-10-2010, 14:54

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة نورة الشريف

أخي مهند ..

قصدك ما أدخل في الحل متباينة الوسطين نهائيا .. لأني تطرقت لها في الخطوة الأولى ..
اذا كان مثل ما قلت .. راح أثبتها بطريقة ثانية ..

اخيتي نورة , ننتظر برهانك الثاني "لا تعصبي مشان الفائدة بس:s_thumbup:"

زولديك · #9 02-10-2010, 21:00

مهند وينك

زولديك · #10 02-10-2010, 21:34

حلي واضح ولا لأ عزيزي مهند

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !