[Einstine]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
2 - الإحتمال و الإحتمال الشرطى
إحتمال . كلمة نرددها كثيرا ً ولا ندرك انها مفهوم رياضى عميق .
الإحتمال عملية رياضية نستطيع ان نحدد بها مدى إمكانية حدوث حدث ما بإستخدام بعض البيانات عن هذا الحدث .
تخيل اننا نرمى الزهر مرة واحدة ( التجربة ) بديهياً يمكن ان نصنع مجموعة لنضع فيها جميع المنتائج الممكنة لهذه الرمية والتى هى الأرقام على الزهر ( تسمى هذه المجموعة رياضيا ً فضاء العينة ) .وتكون :
S = { 1 , 2 , 3 , 4 ,5 , 6 }...1
عدد عناصر هذه المجموعة يساوى 6 عناصر ( نرمز لهذا بـ card (S) = 6 ) . دعنا نشتق من فضاء العينة مجموعات جزئية تمثل كل نتيجة من النتائج اى {1} = 1 , {2} = 2 وهكذا ...................................
كل مجموعة من المجموعات السابقة النتائج الممكنة لكل حدث من الأحداث الممكنة . وبالعقل نستطيع ان نقول ان إحتمال حدوث اى حدث من هذه الأحداث يساوى النتائج الممكنة للحدث على فضاء العينة كله . اى :
P (x) = card (x) / card (S) .....2
ومن فضاء العينة 1 و القانون 2 نستطيع حساب إحتمال حدوث اى حدث من الأحداث الممكنة ( ظهور 1 او 2 او 3 ... الخ ) بـ :
P (1) = P (2) =P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6 = 16.6%
نرى ان جميع الإحتمالات متساوية وحينها لا نستطيع ان نحدد ايها سيكون اقرب الى الواقع . ولكن فى حالة تكون فيها الإحتمالات متباينة يكون اكبر إحتمال هو الأقرب الى الواقع .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
الإحتمال الشرطى :
" سأعطيك النقود بشرط ان تعطينى سيارتك اليوم " . جملة إن ذكرت فى اى مكان لا يعيرها المرء إهتماما ً , ولكنها فى المواقع مدخل الى مفهوم رياضى اعمق من السابق . إنه الإحتمال الشرطى .
دعونا نحلل الجملة السابقة :
1 - " سأعطيك النقود " نرى من هذا الجملة ان امر إعطاء النقود هو حدث مستقبلى يمكن الرمز ان نرمز له بـ B .
2 - " ان تعطينى سيارتك اليوم " يعد هذا الجزء من الجملة حدثا ً ايضا ً ونرمز له بـ A
3 - " بشرط " من موضع هذه الكلمة فى الجملة نستطيع ان نقول ان الحدث B لا يمكن الحدوث إلا بحدوث A ( وطبعا يجب الا يكون حدوث A مستحيلا ً ) . الأن دعنا نرمز لـ " بشرط " بـ | .
من هذا يمكن كتابة الجملة السابقة رياضيا ً على الشكل : B | A وهذا هو رمز الحدث الشرطى ومعناه ان الحدث B لا يحدث إلا بحدوث الحدث A .
وكأى حدث لإن للحدث الشرطى إحتمال يسمى بـ الإحتمال الشرطى وهو : P ( B|A ) . واكن طريقة تحديده تختلف عن الإحتمال العادى .
لدينا تجربة رمى قطعة نقود مرتين ( سنرمز لظهور الصورة بـ H وظهور الكتابة بـ T ) يكون فضاء العينة لهذه التجربة :
S = { HH , HT , TH , TT } ... 3
( HH معناها ظهور الصورة فى الرميتين و HT ظهور الصورة فى الرمية الأولى ثم ظهور الكتابة فى الرمي الثانية وهكذا ................ ) نريد حساب إحتمال ظهور الكتابة فى الرمية الثانية بشرط ظهور الصورة فى الرمية الثانية . سنرمز لظهر الصورة فى الرمية الأولى بـ A وظهور الكتابة فى الرمية الثانية بـ B . الأن سنوجد ما يسمى بفضاء عينة الشرط وهو مجموعة تحتوى العناصر التى تحقق الشرط ويكون S|A = { HH , HT} ....4 ونشتق من هذا الفضاء مجموعة تمثل الحدث الشرطى وهى B|A = { HT } .....5 . ويكون قانون الأحتمال على الشكل :
P (B|A) = card (B|A) / card (S|A) .....6 وإعتمادا ً على 4 و 5 و 6 نحصل على P (B|A) = 1/2 = 50%
كانت هذه مقدمة سريعة للدخول فى موضوع الدوال الإحتمالية الأكثر اهمية فى ميكانيكا الكم . ارجو ان تكونوا قد استفدتم . والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته .