[Einstine]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
كنت قد قلت ان ميكانيكا الكم تحتاج الى عقل مفكر بحق ومعرفة رياضية كبيرة ، حتى يتم فهمها على اكمل وجه ، لذا فى هذا الموضوع سوف نذهب معا ً فى رحلة الى اعماق معادلة شرودنجر ، هذه المعادلة التى قلبت الموازين ، وغيرت صورتنا عن العالم الفيزيائي تماما .ً
فى البداية ، كان لايزال بالإمكان إفتراض ان للجسيم موضعا ً وكمية تحرك محددين فى اية لحظة ، لكن الفكرة الجديدة تقضى بأن حركنه تكون الى حد ما موجهة بواسطة مجال موجى منتشر فى المكان .
فمثلا ً : فى حالة قارب ينساق بموجات البحر تزودنا بصورة ممكنة ، فالقارب موجود فى مكان معين عند اى لحظة ، لكن الإضطراب الموجى الذى يوجه إنسياقه هو الذى ينتشر .
المهم ، نعود الى موضوع شرودنجر .
إجتهد شرودنجر فى طلب علاقات موجية بين ديناميكا الجسيم الكلاسيكية والبصريات الهندسية ، وأوصله هذا الى معادلة لدالة ظنية هى u ( x , y , z ، مرتبطة بجسيم له كتلة m وطاقته المحددة E ومتحرك فى جهد V ( x , y , z :

الدالة u ( x , y , z ليست هى الدالة الموجية بعد ، ولكن لنر ماذا فعل شرودنجر فى المعادلة ( 1 ) .
من الناحية الرياضياتية ، بالنسبة لأى دالة جهد معلومة V يكون لهذه المعادلة حلول ، بصرف النظر عن قيمة البارامتر E . إلا ان الدالة u ( x , y , z بالرغم من هذا ،لم تزود بتعليل فيزيائي سليم ، فقد افترض شرودنجر ان الطبيعة لا تقبل إلا الحلول ذات السلوك الحسن ، ويقصد بها ان تكون u ( x , y , z محددة لجميع قيم z , y , x ومحددة كلما اقتربت هذه المتغيرات من المالانهاية .
وان تكون ايضا ً وحيدة القيمة ، بمعنى ان يكون لها تعريف وحيد عند كل نقطة فى الفضاء . بمثل هذا من السلوك الحسن المطلوب ، كانت النتيجة فى حالة جهد ذرة الهيدروجين انه فى نطاق 0 > E تكون هناك طاقات معينة مسموحة ، وهى نفس الطاقات التى حُصل عليها فى نظرية الكم القديمة لبور والتى تتفق جيدا ً مع التجربة .
اما فى نطاق 0 < E فإن جميع الطاقات مسموحة ، ويكون طيف الطاقة متصلا ً .
نعود الى المعادلة ( 1 ) وما تتطلبه من سلوك حسن كمعادلة ذات قيمة مميزة للطاقة ، حيث يطلق على الحلول ذات السلوك الحسن الدوال المميزة للطاقة ، وتكون الطاقات المناظرة هى القيم المميزة للطاقة . هنا تنشأ على الفور عدة ملاحظات متتابعة .
فالمعادلة تشير الى جسيم ذى طاقة محددة E وليست هناك حاجة لبرهنة ذلك كلاسيكيا ً . انه لأمر بديهى ان يكون للجسيم طاقة محددة ، وتلك الطاقة من الناحية الكلاسيكية موزعة بين طاقة الحركة وطاقة الكهد حسب حركة الجسيم ، وإن كان حاصل جمعهما ثابت مع الزمن .
اما من ناحية ميكانيكا الكم فإن الجسيم لا يحتاج ان تكون له طاقة محددة ، بالرغم ان المعادلة ( 1 ) تشير الى حالة خاصة يحدث فيها ان يكون للجسيم طاقة محددة .
والملاحظة الأخرى التى نشير اليها هى ان الزمن لايدخل فى المعادلة ( 1 ) . مع إن الأشياء تتغير بطبيعتها مع الزمن فى الكم وميكانيكا نيوتن معا ً .
وتؤدى الدالة u ( x , y , z دورا ً مهما ً فى ميكانيكا الكم ، ولكنها عموما ً ليست الدالة الموجية الفعلية للجسيم.
إن تلك الدالة الموجية Ψ ( x , y ,z , t تعتمد على الزمن مع إعتمادها على الفضاء .
وهذه هى المعادلة التى تصف الدالة الموجية الفعلية Ψ ( x , y ,z , t لجسيم متحرك فى جهد V ( x , y , z:

كانت هذه المعادلة قفزة مذهلة ، لأن معادلة شرودنجر قد تم تسجيلهل ونشرها قبل ان يمتسب موضوع الدالة الموجية اى شئ من الإيضاح لتفسيرها المبهم . ولم تكن القفزة الكبرى فى مجرد استبدال قانون نيوتن بمعادلة شرودنجر . وإنما كانت قفزة الى مفهوم جديد للعالم الفيزيائي الكامن فى الوصف التفسيري للمعادلة ( 2 ) .
دعنا نضع بعض الملاحظات على المعادلة ، لنفهم التغير الذى احدثته المعادلة فى التصور الكلاسيكي المعروف عن العالم الفيزيائي :
( a ) يظهر فى المعادلة ( 2 ) العدد التخيلى i وهو 0.5 ^ 1- ، وهذا يعنى انه يجب ان نستعد للتعامل مع دوال موجية مركبة ، وهنا نذكر بأن اى كمية مركبة z سواء كانت دالة او عدد ثابت ، يمكن فكها الى حاصل جمع جزئين احدهما حقيقى والأخر تخيلى :
حيث الحد الأول هو الحقيقيى والحد الثانى هو التخيلى . ونذكّر ايضا بالن الكمية المركبة المرافقة للكمية z ويرمز لها بـ وهى : ، والمربع المطلق للكمية z هو :
( b ) المعادلة ( 2 ) خطية بالمعنى الأتى : إذا كان Ψ حلا ً فإنAΨ حلاً ايضا ً حيث A ثابت مركب إختيارى ، وبصورى اعم إذا كان Ψ1 و Ψ2 حلين للمعادلة فأن
Ψ2A2 +Ψ1A1 = Ψ يعتبر حلا ً ايضا ً . حيث 1A و 2A ثابتان مركبان إختيارين.
( c ) بما ان المعادلة ( 2 ) تشتمل على مشتقة من الدرجة الأولى بالنسبة الى الزمن ، فإن Ψ إذا كانت معلومة كدالة فى المتغيرات الفراغية الثلاثة z , y , x عند اى لحظة معينة ، فإنها تكون محددة بطريقة وحيدة لجميع اللحظات الزمنية الأخرى . وبهذا تكون ميكانيكا الكم حتمية تماما ً .
( d ) لم يظهر بارمتر طاقة فى المعادلة ( 2 ) ، لكن بإمكاننا ملاحظة الأتى : لتكن الدالة غير المعتمدة على الزمن u ( x , y , z هى حل ما لمسألة االقيمة المميزة للطاقة فى المعادلة ( 1 )
حيث E الطاقة المناظرة . عندئذ يمكن التحقق من ان :

هو حل خاص للمعادلة ( 2 ) مثلما انه فى الوقت نفسه حل للمعادلة ( 1 ) . وهكذا إذا كان الجسم فى حالة طاقة محددة ، فإن دالته الموجية Ψ تساوى الدلة المميزة للطاقة u مضروبة فى المعامل الأسى المتغير مع الزمن فى المعادلة ( 3 ) .
يمكننا ان لاحظ بصورة اعم انه إذا كان u1 و2 u حلين لمسألة القيمة المميزة للطاقة للطاقتين المناظرتين E1 و E2 فإن حاصل الجمع :

يكون حلاً ايضا ً للمعادلة ( 2 ) طبقا ً لما جاء فى الملاحظة ( b ) حيث A1 و A2 ثابتان إختياريان . لكن الحل يشتمل على طاقتين مختلفتين ، فأيهما تكون طاقة الجسيم ؟
الجواب هو انه ليس بالضرورة ان يكون للجسيم طاقة محددة ، او موضع محدد ، او كمية تحرك محددة ! فبالنسبة لجسيم له هذه الدالة الموجية الخاصة . يمكن ان يعطى قياس الطاقة نتيجتين .
مع ملاحطة ان الحل السابق ما هو إلا تجميع بمعاملات إختيارية لحلول من النوع الظاهر فى المعادلة ( 3 ) .وهذا يعد تعميم واضح . وإن تجميع اى عدد من حلول النوع الأخير يعتبر فى حد ذاته حلا ً للمعادلة ( 2 ) .
( e ) لأى Ψ حلاً للمعادلة ( 2 ) يمكن إيضاح الأتى : بالرغم ان المربع المطلق لهذا الحل سيكون بالطبع معتمدا ً على الزمن مع الفضاء ، فإن تكامل هذه الكمية على كل الفراغ لا يعتمد على الزمن او ثابت مع الزمن :

الملاحظة هنا هى : عندما لا تكون حدود التكامل مبينة صراحة ، فإنه يفهم ضمنا ً ان التكامل مأخوذ على كل الفراغ .
يمكن إفتراض ان التكامل فى إستنتاج النتيجة السابقة يكون محدودا ً . وهذا فى حقيقة الأمر متطلب ضرورى لميكانيكا الكم ، وهو ان يكون التكامل السابق محدودا ً ، اى ممكنا ً لمربع الدالة .فإذا كان تكامل مربع الدالة ممكنا ً فى اى لحظة معينة من الزمن ، فإن المعادلة السابقة تؤكد انه يكون كذلك فى جميع اللحظات الزمنية الأخرى .
ولبعض الشرح نحتاج الى مفهوم حاصل الضرب القياسى لدالتين ، بفرض ان لدينا دالتين مركبتين f ( x و g (x متصلتين على الفترة [ a,b ] فإن حاصل الضرب القياسى لهاتين الدالتين هو :

ومن بعض خواص حاصل الضرب القياسى :

وبحسب التعريف يكون المعيار لمربع الدالة وهو الخاصية الثانية حقيقيى وغير سالب .
نعود الى موضوعنا ، تقترح مجموعة الملاحظات السابقة بداية طريق التفسير للمعادلة (2 ) ، حيث تقترح الملاحظة ( c ) ان الدالة الموجية تمثل كل ما يمكن معرفته عن حالة الجسيم ، اما الملاحظة ( e ) فتقترح تفسيرا ً إحتماليا ً ، نعلم من الملاحظة ( b ) انه إذا كان Ψ حلا ً فإن ΨA يعتبر حلا ً ايضا ً، حيث A ثابت إختيارى ، دعنا نجرى تعديلنا بسيطا ً على الفرض الذلى يقضى بأن الدوال الموجية المختلقى فقط بثابت مضاعف تصف نفس الحالة الفيزيائية ، وإذا كان ذلك كذلك ، فإنه يمكننا ايضا ً إستغلال حرية اختيار الثابت المضاعف لكى تكون الدالة الموجية معيارية ، اى ان: < Ψ | Ψ > .................... المعادلة 5
وهذا ايضا ً يمثل حلا ً للمعادلة ( 2 ) .
الأن ، دعنا نتخل عن فكرة ان الجسيم موجوداً فى اى مكان معين فى اية لحظة ، ونستبدلها بفكرة ان ميكانيكا الكم تتعامل فقط مع الإحتمالات ، ليكن P ( x , y , z , t رمزا ً للتوزيع الإحتمالى الفراغى. ويعرف ان إجراء تكامل P على اى حجم محدد من الفراغ يعطى إحتمال وجود الجسيم فى ذلك الحجم وطبقا ًلنتائج ماكس بورن ، فإن المنظومة فى الحالة Ψ يكون التوزيع الإحتمالى هو :

وهذا يعتمد على كل من الفراغ والزمن ، لأن الدالة الموجية تعتمد على كليهما ، اما عند إجراء التكامل على الفراغ كله ، فإن النتيجة لا تعتمد على الزمن وتساوى الواحد ، ونحصل على هذا من جمع المعادلات
( 4 ) و ( 5 ) و ( 6 ) .
من هنا نستنتج ان الحل فى المعادلة ( 5 ) هو حل إحتمالى ، وهذا هو مضمون معادلة شرودنجر حيث ان الدالة الموجية إحتمالية ، لذا تم القضاء على الحتمية التى كانت تنادى بها الميكانيكا الكلاسيكية ، وبرهنت ميكانيكا الكم بأسس رياضية سليمة ان العالم الفيزيائي هو عالم إحتمالى بحت ولا شئ به يدعى الحتمية .
والله اعلم .
هذه هى نهاية رحلتنا ، وإن كانت ناقصة او بها شئ خطأ فأعذرونى فإنه لايوجد شئ كامل إلا الله عز وجل وكتابه الكريم .
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته .