[عنتر28]

السلام عليكم اليكم اعزائي :
الضوء الهندسي












الضوء الهندسي



















الباب الأول
المقدمة

لفهم طبيعة أي علم من العلوم يتطلب تتبع تطور هذا العلم من مرحلة إلى أخرى، و أن نتعرف على أشهر علمائه الذين أسهموا في تقدمه عبر العصور. و معرفة المراحل المختلفة التي مرت بها نظريات هذا العلم و الوقوف على مواطن القوة و الضعف في كل نظرية من نظرياته يؤدى إلى فهم تام لهذا العلم.
و تاريخ تطور علم البصريات بفروعها المختلفة له صلة قوية بمراحل ازدهار و انحطاط الحضارات الإنسانية منذ عصورها القديمة و حتى عصرنا هذا.
1- طبيعة الضوء
اختلف العلماء في تفسير طبيعة الضوء و وضعت العديد من النظريات لتفسير هذه الطبيعة.
ألضوء و الفلاسفة

كانت آراء فلاسفة الإغريق هي أول ما سجله العلم في محاولة تفسير حاسة الإبصار و فهم طبيعة الضوء و تعليل الظواهر الضوئية، و هو ما عرف في لغتهم باسم " أوبطيقا" Optics ، أي البصريات. لكن إنتاجهم العلمى في هذا المجال لم يكن وافيا و لم يتعمقوا كثيرا في الموضوعات التي درسوها.
- أعتقد أفلاطون أن إبصار الأشياء يتم عن طريق خروج النور من العين على هذه المواد فيحدث الإبصار.
- و لكن تلميذه أرسطو خالفه الرأي، و زعم أن الضوء ليس له وجود في ذاته، و أن الإبصار يتم بانطباع صور الأشياء في العين.
- أما أبيقور فقد تخيل أن للأشياء التي نراها أشباحا أو صورا تنخلع عنها و تنبعث منها بصورة مستمرة و يتم الإبصار بورود هذه الصور إلى العين.
- أما الرواقيون فقد كانت لهم فلسفة مختلفة عن سابقيهم، حيث افترضوا حدوث اتصال بين العين و الأجسام المرئية عن طريق شعاع يخرج من العين على شكل مخروط رأسه عند العين و قاعدته عند الجسم، فإذا لمس هذا الشعاع جسما ما حدث الإبصار. و قد شاع و اشتهر هذا الرأي في وقته حتى أن أصحاب هذا الرأي سموا " بأصحاب الشعاع".
و هكذا تعددت آراء فلاسفة الإغريق في طبيعة الضوء و تفسير الإبصار و ذلك لأن منهج التفكير في عصرهم كان فلسفيا يعتمد على التأمل العقلى الخالص بعيد عن التجربة و التحليل العلمى.

العرب مؤسسى علم البصريات

يعتبر العالم العربي المسلم الحسن بن الهيثم واحدا من أعلام الحضارة الإسلامية الذين حققوا الريادة في وضع المنهج العلمي المبنى على التجربة و الاستقراء. و ينسب لحسن بن الهيثم تأسيس علم البصريات بأكمله، فقد ألف العديد من المراجع العلمية المهمة من بينها كتاب "المناظر" الذي نهل منه كل من أتى بعده وكان واحدا من المصادر الهامة التي اعتمدت عليها معظم جامعات أوروبا و الغرب الحديثة لعدة قرون. و استطاع بن الهيثم أن يضح حدا للخلافات القديمة حول تعريف الضوء و تفسير حاسة الإبصار، حيث أعزى إحساس الرؤية إلى عامل أو مؤثر خارجي له وجود و أسماه "الضوء".
و استطاع الحسن بن الهيثم من وضع تعريف للضوء بأنه عبارة عن " حرارة نارية تتألف من أشعة لها أطوال و عروض، تنبعث من الأجسام المضيئة كالشمس و الأجسام المتوهجة، و إذا سقطت على جسم كثيف أسخنته، و إذا انعكست من مرآة مقعرة و تجمعت عند نقطة واحدة و كان عندها جسم يقبل الاحتراق أحرقته". و هذا التعريف يتفق مع ما نعرفه الآن عن طبيعة الطاقة الضوئية.
و ناقش ابن الهيثم عملية الإبصار، و بين في ذلك تركيب العين من الناحية التشريحية و وظيفة كل جزء من أجزائها، و أعزى حدوث الإبصار إلى تكون صور للمرئيات علم ما نسميه الآن شبكية العين و انتقال التأثير الحادث إلى المخ عن طريق العصب البصري. و علل ابن الهيثم رؤية الشئ واحدا على الرغم من النظر إليه بعينين اثنتين بوقوع الصورتين على جزئيين متماثلين من الشبكية. و تحدث كذلك عن تكبير المرئيات و ذلك وفقا لزاوية إبصارها و بعدها عن العين.
و بحث الحسن ابن الهيثم ظاهرة انعكاس الضوء و قد استطاع أن يضع أساسا نظريا لقانون الانعكاس و الذي توصل إليه فلاسفة اليونان و الذي ينص على أن " زاوية السقوط تساوى زاوية الانعكاس" و زاد عليه القانون الأخر الذي ينص على أن " زاويتى السقوط و الانعكاس تقعان في مستوى واحد عمودي على السطح العاكس".
كذلك بحث ابن الهيثم في ظاهرة انكسار الضوء عند نفاذه من وسط شفاف إلى وسط شفاف آخر مختلف عنه في الكثافة الضوئية، و أثبت قانوني هذه الظاهرة على أساس سرعة الضوء في الوسط الأقل كثافة ضوئية أكبر منها في حالة الوسط الأعلى كثافة ضوئية، و بين أن الشعاع المنكسر يقترب إلى العمود في الوسط الأعلى كثافة ضوئية، وقاس زاويتي السقوط و الانكسار، و لم يذد العلم الحديث على ذلك إلا إثبات أن النسبة بين جيب زاوية السقوط إلى جيب زاوية الانكسار ثابتة لكل وسطين.
و تجدر الإشارة إلى أن هناك علماء آخرين كتبوا في البصريات مثل ابن سينا و ابن النفيس و الرازى و الكندى و غيرهم من العلماء العرب المسلمين الذين أسهموا في تطور هذا الفرع من العلوم. و لعل أول ما استحدثه الأوربيون في البصريات اختراعهم التلسكوب و الميكروسكوب في القرن السابع عشر الميلادي.
و بالرغم من كل هذه الإنجازات التي تمت في البصريات ألا إن طبيعة الضوء ظلت لفترات طويلة بعد ذلك موضع للاهتمام و الاختلاف بين العلماء و ذلك لتعارض هذه الطبيعة في تفسير ظاهرة ضوئية معينة. و من أهم النظريات التي وضعت لتفسير طبيعة الضوء و منها:

النظرية الجسيمية لنيوتن:- اعتقد نيوتن أن الضوء عبارة عن جسيمات دقيقة متناهية في الصغر تنتشر في الفراغ بسرعات عالية و قد نجحت هذه النظرية في تفسير ظاهرة الانتشار و الانعكاس و لكنها فشلت في تفسير ظاهرة الانكسار حيث افترضت أن سرعة الضوء في الوسط الأكبر كثافة ضوئية كالماء اكبر منها في حالة الوسط الأقل كثافة ضوئية كالهواء.
النظرية الموجية لهايجنز:- افترضت هذه النظرية أن الضوء عبارة عن موجات و أن كل نقطة على صدر الموجة تعتبر مصدر إطراب ثانوى. وأنه لابد من وجود وسط مادي لكي تنتشر من خلاله هذه الموجات و قد أعطى هيجنز مواصفات خاصة لهذا الوسط و سماه الأثير. هذا و قد استطاعت هذه النظرية في تفسير ظاهرة الانكسار حيث اعتبرت أن سرعة الضوء في الوسط الأكبر كثافة ضوئية كالماء اقل منها في حالة الوسط الأقل كثافة ضوئية كالهواء. و لكنها فشلت في إيجاد هذا الأثير كما أنها فشلت في تفسير ظاهرة الاستقطاب …………….!
النظرية الكهرومغناطيسية لماكسول:- حيث اعتبرت هذه النظرية ان الضوء عبارة عن موجات كهرومغناطيسية تنتشر في الفراغ. و من المعروف أن الموجة الكهرومغناطيسية تتكون من مجالين متعامدين أحدهما المجال الكهربي و الأخر هو المجال المغناطيسي و كلاهما متعامد على اتجاه انتشار الموجة، و من المعروف أيضا أن مثل هذه الموجات هي موجات مستعرضة. و من ثم استطاعت هذه النظرية من تفسير ظاهرة الاستقطاب و أهملت وجود الوسط ( حيث أن هذه الموجات تنتشر في الفراغ). و لكن ظهرت حينئذ ظاهرة فيزيائية مهمة لم تستطع هذه النظرية من تفسيرها و هي الظاهرة الكهروضوئية.
النظرية الكمية لبلانك:- قد تنجح أي نظرية من النظريات السابقة في تفسير الظواهر الضوئية المعتمدة على تفاعل الضوء مع الضوء (الحيود و التداخل والاستقطاب و ………….), لكن عند دراسة تفاعل الضوء مع المادة ( انبعاث و امتصاص و الظاهرة الكهروضوئية) فانه لا يمكن تفسير مثل هذه الظواهر إلا من خلال الطبيعة الكمية للضوء.
حيث افترضت هذه النظرية أن الضوء عبارة عن سيل من الفوتونات (الكمات) و أن طاقة كل فوتون تعطى من العلاقة
E = h ν (1)
حيث أن h ثابت بلانك و ν هو التردد لموجة الضوء ( له علاقة بالطول الموجى و سرعة الضوء). و قد استطاعت هذه النظرية من تفسير ظاهرة انبعاث الإلكترونات من أسطح بعض الفلذات عند سقوط الضوء عليها و التي تسمى الطاهرة الكهروضوئية.
2- خواص الضوء
للضوء خواص متعددة حيث يمكن تجميعها سويا" في مجموعات و تصنيفها تحت واحد من ثلاث عناوين: البصريات الهندسية و البصريات الموجية و البصريات الكمية، وكل منها يمكن تقسيمه ثانية كما يلي:

البصريات الهندسية
الانتشار في خطوط مستقيمة
السرعة المحدودة
الانعكاس
الانكسار
التشتت

البصريات الموجية
التداخل
الحيود
الصفة الكهرومغناطيسية
الاستقطاب
الانكسار المزدوج

البصريات الكمية
المدارات الذرية
كثافة الاحتمالات
مستويات الطاقة
الكمات
الليزر
و سوف نهتم بدراستنا في هذا المقرر بالقسم الأول (البصريات الهندسية)، و هي توصف بواسطة الخطوط المستقيمة و الهندسة المستوية و من هنا جاءت هذه التسمية.
3- انتشار الضوء في خطوط مستقيمة

انتشار الضوء في خطوط مستقيمة يعنى انتقال الأشعة الضوئية في خطوط مستقيمة. و يمكننا التأكد بسهولة من هذه الخاصية من خلال تكون الظلال الحادة للأجسام المختلفة. كذلك فإننا نجد في الكاميرات ذات الثقب إيضاحا آخر لذلك. ففي مثل هذه الكاميرات تتكون صورة الجسم على فيلم أو لوح فوتوغرافي من خلال مرور الضوء من ثقب صغير، انظر الشكل. حيث أن هناك شعاع واحد من الأشعة الضوئية الكثيرة المنبعثة من النقطة a قرب قمة المصباح يمر خلال الثقب الى النقطة a/ قرب قاعدة ستار الصورة بالمثل فان الشعاع المنبعث من النقطة b قرب قاعدة المصباح يمر خلال الثقب ليصل الى النقطة b/ قرب قمة ستار الصورة. و من ثم تتكون صورة مقلوبة للمصباح على الستار.












بهذه الطريقة يمكننا التقاط صورا فوتوغرافية للأجسام. و لكى تكون الصورة الملتقطة جيدة يجب ان يكون الثقب صغيرا جدا لأن حجم الثقب يحدد وضوح الصورة من عدمه.
ماذا يحدث لحجم الصورة عند تحريك الستار قريبا او بعيدا من الثقب؟

4- سرعة الضوء
من المعروف أن الضوء ينتشر من مصدره بسرعة محددة تتوقف على كثافة الوسط الضوئية و لا تتوقف هذه السرعة على تردد الإشعاع نفسه، فهي واحدة لجميع الأمواج الكهرومغناطيسية من الأمواج اللاسلكية إلى أشعة جاما. و هناك العديد من الطرق لقياس سرعة الضوء.
هذا و قد استطاع العالم الفرنسى فوكو من قياس سرعة الضوء في الماء. الشكل الأتى يبين جهاز فوكو المستخدم. و هنا ينعكس الضوء المار خلال الشق S من مرآة مستوية دوارة R إلى مرآتين مقعرتين M1 , M2 تبعدان نفس المسافة عن المرآة المستوية. وعندما تكون R في الوضع 1 ينتقل الضوء إلى M1 ثم يعود على نفس مساره إلى R ثم يمر خلال العدسة L ثم يصل إلى العين E .




و عندما تكون R في الوضع 2 فان الضوء يقطع المسار السفلى بنفس الكيفية السابقة( E1). و عند ملئ الأنبوبة T بالماء و تكرار نفس التجربة سوف تحدث إزاحة للصورة من الوضع E1 الى الوضع E2 . و قد لاحظ فوكو أن الشعاع المار خلال الأنبوبة يعانى إزاحة اكبر من الآخر. هذا يعنى أنه يستغرق في قطع المسار السفلى خلال الماء وقتا" أطول مما يستغرقه في قطع المسار العلوى خلال الهواء.
هل هذه التجربة تحقق النظرية الجسيمية لنيوتن أم النظرية الموجية لهايجنز؟
و بعد اكثر من أربعين عاما قاس الفيزيائى الامريكى مايكلسون سرعة الضوء في الهواء و الماء.
V (water) = 225.000 Km/sec. C (air) = 3.0x1010 m/sec.

5- معامل الانكسار
يعرف معامل انكسار أى وسط ضوئى بأنه النسبة بين سرعة الضوء في الفراغ الى سرعته في الوسط:
معامل الانكسار( n ) = سرعة الضوء في الفراغ ⁄ سرعة الضوء في الوسط.(2)
علل معامل انكسار أى وسط < الواحد.؟
تعتبر الكثافة البصرية (الضوئية) لأى وسط شفاف مقياسا لمعامل انكساره، و يقال أن الكثافة البصرية للوسط عالية إذا كان معامل انكساره كبيرا، كما يقال أن الكثافة البصرية للوسط صغيرة إذا كان معامل انكساره صغيرا.

6-المسير البصرى
يعتبر المسير البصرى أحد أهم المبادئ في البصريات الهندسية. و يعطى مسير شعاع ضوئى في أى وسط بحاصل ضرب السرعة (في الوسط) في الزمن:
d = v t

و حيث أن n = c / v ، فان v = c / n ، وبذلك فان

d = (c / n) x t or n d = c t

و يسمى المقدار n d بالمسير البصرى و يرمز له بالرمز Δ .

 Δ = nd (3)

و بذلك فان المسير البصرى يمثل المسافة التي يقطعها الضوء في الفراغ في نفس الزمن الذي يقطع فيه الضوء المسافة d في الوسط. فإذا كان الشعاع الضوئى يمر خلال سلسلة من الأوساط أسماكها هيd,d/, d//, ……… و معاملات انكسارها هي n, n/, n//, …… فان المسير البصرى الكلى يساوى مجموع المسيرات البصرية المنفردة شكل ( 3 ).

Δ = n d + n/ d/ + n// d// + ……… (4)















7- بعض المفاهيم الأساسية في قياس الضوء
الفيض الضوئى:
يعرف الفيض الضوئى بكمية الضوء المنبعثة من المصدر الضوئى في الثانية الواحدة. و يقاس الفيض الضوئى بوحدة تسمى اللومن و هو الفيض المنبعث في الثانية خلال زاوية مجسمة مقدارها الوحدة من مصدر قوة إضاءته شمعة عيارية.
من هذا نرى أن الشمعة العيارية تبعث في جميع الاتجاهات فيضا مقداره 4π لومن في الثانية الواحدة. فإذا فرضنا مصدرا قوة إضاءته F شمعة عيارية فان كمية الضوء المنبعثة منه في الثانية الواحدة هي 4π F.

شدة الاستضاءة:
تعرف شدة استضاءة سطح بكمية الضوء (الفيض) الذي يسقط عموديا على وحدة المساحات في الثانية الواحدة.
فاذا تصورنا كرة جوفاء مركزها المصدر و نصف قطرها r فان شدة الاستضاءة عند أى نقطة على سطح الكرة تعطى من
lux (5)

و الوحدة العملية لقياس شدة الاستضاءة هي اللاكس وهي الفيض الضوئى لكل متر مربع.

قانون التربيع العكسى:
اذا فرضنا وجود مصدر ضوئى عند مركز كرتين، نصفي قطرهما r1, r2 فان شدة الاستضاءة على سطح الكرة الأول

(6)

و شدة الاستضاءة على سطح الكرة الثانى

(7)

من هنا نرى أن شدة الاستضاءة على سطح مضاء تتناسب عكسيا مع بعد السطح عن المصدر و طرديا مع قوة المصدر، و هذا هو قانون التربيع العكسى.
و عليه تكون النسبة بين شدة استضاءة السطحين هي

(8)

8- الفوتومترات:
الفوتومترات هي أجهزة يمكن استخدام سطحها للمقارنة بين قوتى إضاءة مصدرين، و ذلك بتغير بعدهما حتى تصبح شدة الاستضاءة الناتجة عنهما متساوية.
فوتومتر جولى:
يتركب فوتومتر جولى من لوحين متماثلين A, B من شمع البرافين يفصلهما صفيحة من القصدير.














فإذا وضع المصدران المراد مقارنة قوة إضاءتهما على جانبى الفوتومتر عند النقطتين C, D فان اللوح A يصبح مضاء بالمصدر ذى القوةF1 و اللوح B يصبح مضاء بالمصدر ذى القوة F2 كما بالشكل. وبتغير موضع المصدرين حتى تصبح شدة استضاءة اللوحين واحدة فان:



و عند تحقق الشرط I1 = I2 نحصل على:

(9)

حيث d2, d1 بعدا المصدرين على الترتيب.


















مسائل
1) مصدران قوة إضاءتهما 32 شمعة ، 100 شمعة و المسافة بينهما 63 سم. وضع بينهما فوتومتر جولى بحيث كانت شدة الاستضاءة على أحد وجهيه ضعف شدة الاستضاءة على الوجه الأخر. أوجد المسافة بين كل مصدر و الفوتومتر.

2) علق مصباح على ارتفاع 90 سم من مركز منضدة مستديرة قطرها 240 سم قارن بين شدة الاستضاءة عند مركزها و عند أى نقطة على حافتها.


3) إذا كان بعد القمر عن الأرض 3.84x105 km فما هو الزمن الذي يستغرقه الضوء للانتقال من الأرض إلى القمر و العودة مرة أخرى.

4) شعاع ضوئى يمر مسافة قدرها 285,6 سم خلال الماء ثم مسافة قدرها 15,4 سم خلال الزجاج و أخيرا مسافة قدرها 174,2 سم خلال الزيت. إذا علمت أن معاملات انكسار الماء و الزجاج و الزيت هي 1,33 و 1,636 و 1,387 على الترتيب، أوجد
ا) المسيرات البصرية في الأوساط الثلاثة ب) المسير البصرى الكلى.




الباب الثانى
انعكاس الضوء

عندما يسقط الضوء على الحد الفاصل XY بين وسطين مختلفين في كثافتهما الضوئية، فان جزء من الشعاع الساقط ينعكس عائدا إلى الوسط، أما الجزء الآخر فانه يخترق الوسط الثانى حيث يمتص إذا كان الوسط معتما أو ينفذ من خلاله إذا كان الوسط شفافا. أما إذا كان ما ينفذ من الضوء قليلا بحيث تصعب معه الرؤية فان الوسط يسمى نصف شفاف.

1- الانعكاس عند الأسطح المستوية











ينعكس الضوء من السطح العاكس وفقا للقوانين الآتية:



القانون الأول:

الزاوية التي يصنعها الشعاع الساقط مع العمود المقام من نقطة السقوط تساوى الزاوية التي يصنعها الشعاع المنعكس مع ذلك العمود.

زاوية السقوط = زاوية الانعكاس

القانون الثانى:-

الشعاع الساقط و العمود و الشعاع المنعكس يقعوا جميعا في مستوى واحد عمودى على السطح الفاصل بين الوسطين.
فإذا كان XY يمثل سطح مرآة مستوية كما بالشكل، و أن AO يمثل الشعاع الساقط على هذا السطح، و أن OB يمثل الشعاع المنعكس، فان

(1)

2- تأثير دوران السطح العاكس

إذا افترضنا الشكل السابق مع افتراض دوران السطح العاكس XY بزاوية θ لكى يأخذ الوضع X/ Y/ كما موضح بالشكل التالي، و أن اتجاه الشعاع المنعكس عند هذا الوضع هو OC، و ليكنON/ هو العمود على X/ Y/ و Φ هي زاوية الانحراف بين الشعاع المنعكس على السطح الأول و الشعاع المنعكس على السطح الثانى.














يتضح من الشكل أن:


(2)
كذلك



(3)
من المعادلتين 2,3 يمكننا الحصول على:




(4)


أى أن دوران السطح العاكس بزاويةθ ينتج عنه انحراف الشعاع المنعكس بضعف زاوية الدوران.













3- المرايا الكرية:-

يمكن تعريف المرآة الكرية بأنها السطح الناتج من تقاطع كرة بمستوى. و تكون المرآة مقعرة إذا كان سطحها الداخلى عاكسا و تكون محدبة إذا كان سطحها الخارجى عاكسا.








و يسمى قطر دائرة تقاطع الكرة بالمستوى بالاتساع الخطى للمرآة، أما الاتساع الزاوى فتقدر قيمته بمقدار الزاوية α كما بالشكل. و يسمى المستقيم الواصل بين قطب المرآة B و مركز تكورها M بالمحور الرئيسى للمرآة.

4- مصطلح الإشارات:-

1) جميع المسافات – مقاسة من قطب المرآة - تكون سالبة في اتجاه انتشار الضوء و موجبة في الاتجاه المضاد لانتشار الضوء.

2) يكون البعد البؤرى موجبا للمرآة المقعرة و سالبا للمرآة المحدبة.
فإذا فرضنا أن X نقطة مضيئة على المحور الرئيسى لمرآة مقعرة، فان بعد الجسم BX يكون موجبا و بعد الصورة BY يكون موجبا كذلك (انظر الشكل).





















5- الانعكاس عند السطح الكرى المقعر

يمكن الاستفادة من قوانين الانعكاس للأسطح المستوية باعتبار أن السطح الكرى العاكس يتكون من عدد كبير من المرايا المستوية.
فإذا فرضنا أن ABC يمثل مرآة مقعرة مركزهاM . لنفرض كذلك أن X نقطة مضيئة واقعة على محور المرآة و تبعد عتها مسافةX . فإذا كان AX يمثل شعاع ضوئى ساقط، فانه ينعكس في الاتجاه AY بحيث أن:




يتضح من الشكل الآتي أن:

,

(5)

فإذا فرضنا أن الاتساع الزاوى للمرآة صغير بحيث يكونBY و AY متساويين تقريبا وكذلك BX و AX فان الزوايا α ، β ، γ تكون صغيرة و بذلك يمكن اعتبار الآتي:



بالتعويض في المعادلة (5) ينتج أن:

(6)

حيث أن r هو نصف قطر تكور المرآة.
و هذه هي المعادلة العامة التي تدل على العلاقة بين بعد الجسم عن قطب المرآة المقعرة و بعد الصورة التي تتكون له على محور المرآة.
فإذا كان الجسم في ما لانهاية، فان X تكون كبيرة جدا و بذلك يأل المقدار 1/X إلى الصفر و يكون:



يتضح من هذه النتيجة أنه إذا سقطت حزمة من الأشعة المتوازية على مرآة مقعرة في اتجاه محورها الرئيسى فإنها تنعكس إلى نقطة على المحور عند منتصف المسافة بين القطب و مركز تكور السطح العاكس و تسمى هذه النقطة البؤرة و يسمى بعدها عن القطي البعد البؤري Z .
أى أن

(7)

مثال
إذا وضع جسم على بعد 20 cm من قطب مرآة مقعرة قطرها 10 cm ، أوجد بعد الصورة المتكونة عن قطب المرآة و كذلك البعد البؤرى لهذه المرآة.
الحل


(بعد الصورة)y = 2.86 cm , (البعد البؤرى)z = 2.5 cm









6- الانعكاس عند السطح الكرى المحدب











إذا فرضنا XA شعاع ضوئيا يسقط على سطح مرآة محدبة عند النقطةA فانه ينعكس في الاتجاهAY/ بحيث



و من الملاحظ أن الشعاع المنعكس لا يقطع محور المرآة و لكن امتداده هو الذي يقطع محور المرآة عند النقطة Y خلف المرآة ليكون صورة تقديرية للجسم.
و يتضح من الشكل أن:

,



أى أن

(8)

و إذا تتبعنا قاعدة الإشارات و كان الاتساع الزاوى صغير فان



بالتعويض في المعادلة (8) ينتج أن:



(9)

و هي المعادلة العامة التي تربط العلاقة بين بعد الجسم عن قطب المرآة المحدبة و بعد الصورة التقديرية التي تتكون له على محور المرآة.
و إذا فرضنا أن النقطة X في ما لانهاية فان 1/X يأل إلى الصفر و بذلك يكون.

or (10)

و حيث أن مركز تكور المرآة المحدبة يقع خلفها فانه تبعا لقاعدة الإشارات تكونr سالبة.
ويتضح من هذه النتيجة أنه إذا سقطت حزمة من الأشعة المتوازية على مرآة محدبة في اتجاه محورها فإنها تنعكس عند نقطة تقديرية خلف المرآة عند منتصف المسافة بين القطب و مركز تكور المرآة، و تسمى هذه النقطة البؤرة، و يسمى بعدها عن القطب البعد البؤرى.
















الباب الثالث
انكسار الضوء

1- الانكسار عند الأسطح المستوية

إذا مر شعاع ضوئى من وسط شفاف متجانس إلى آخر فانه ينكسر عند السطح المستوى الفاصل وفقا للقوانين الآتية:

القانون الأول:

النسبة بين جيب زاوية السقوط و جيب زاوية الانكسار تساوى مقدار ثابت و ذلك لجميع زوايا السقوط.











فإذا كان XY يمثل سطحا مستويا يفصل بين وسطين معامل انكسارهما n2, n1 و أن AB يمثل الشعاع الضوئى الساقط و أن BC يمثل الشعاع المنكسر، فان

(1)

هذا القانون يعرف بقانون سنل. وقد بين سنل أن قيمة المقدار الثابت هي النسبة بين معاملى انكسار الوسطين. و من ذلك هذه العلاقة تأخذ الصورة:

(2)

التي يمكن كتابتها على الصورة:

(3)

و إذا كان أحد معاملى الانكسار أو كلاهما مختلف عن الوحدة، فان النسبة بين معاملى الانكسار تسمى معامل الانكسار النسبى و العلاقة ( 2) تأخذ الشكل:

(4)
و إذا كان الوسط الأول هو الفراغ أى n1= 1 ، فان قيمة المعامل النسبى ستكون هي نفس قيمة معامل انكسار الوسط الثانى. و يمكن الحصول على نفس النتيجة تقريبا عندما يكون الوسط الأول هو الهواء وليس الفراغ.
و عندما تكون زوايا السقوط و الانكسار صغيرة جدا، فانه يمكننا وضع جيوب الزوايا مساوية للزوايا ذاتها
أى أن:

and

و بذلك نحصل على

(5)

القانون الثانى

الشعاع الساقط و العمود و الشعاع المنكسر يقعوا جميعا في مستوى واحد عمودى على السطح الفاصل بين الوسطين.






2- الانكسار خلال وسط محدود بسطحين متوازيين

نفرض أن AB شعاع يسقط من الهواء على أحد السطحين المتوازيين لكتلة من الزجاج كما بالشكل.












الشعاع BC ينكسر بزاوية انكسار Φ و من قانون سنل نجد أن:

(6)

و هذا الشعاع يسقط على السطح المستوى الثانى بالزاويةΦ و ينكسر ليخرج إلى الهواء مرة أخرى في الاتجاه CD بزاويةθ/ و بالتالي فان:

(7)

من المعادلتين (6) و (7) نجد أن

(8)




من ذلك نستنتج أن الشعاع CD يخرج موازيا لاتجاهه الأصلي AB و يفصله عن اتجاهه الأصلي المسافة BD/ التي تعطى من العلاقة الآتية

(9)

حيث أن d المسافة بين السطحين المتوازيين (السمك).
المطلوب إثبات هذه العلاقة.






3- الانكسار خلال أوساط متعاقبة محدودة بأسطح متوازية

نفرض أن AB يمثل اتجاه شعاع ساقط من الوسط الأول ذو معامل الانكسارn1 على السطح الفاصل XY بينه و بين الوسط الثانى ذو معامل الانكسار n2 و أن اتجاه الشعاع المنكسر في الوسط الثانى هو BC . و بتكرار عملية السقوط من الوسط الثانى إلى الوسط الثالث ذو معامل الانكسار n3 ، فانه يمكننا الحصول على الشكل الآتي الذي يوضح عملية الانكسار التي تحدث داخل الأوساط المحددة بالأسطح المستوية. و نفرض أن آخر شعاع ضوئى سوف ينكسر في وسط له نفس معامل انكسار الوسط الأول.














من هذا الشكل يتضح أن:

,

,

,



و من هذه المعادلات نجد أن


(10)




أى أن الشعاع EF يخرج موازيا اتجاهه الأصلي AB .
5- السمك الظاهرى

نفرض أن S نقطة مضيئة موجودة في وسط شفاف معامل انكساره n2 ،فان SA يمثل شعاع ساقط من هذه النقطة على السطح المستوى XY الذي يفصل بين هذا الوسط و وسط آخر شفاف معامل انكساره n1 و أقل كثافة ضوئية من الوسط السابق، و أن AB يمثل اتجاه الشعاع المنكسر في هذا الوسط كما بالشكل.











نفرض كذلك أن SN هو اتجاه شعاع خارج من النقطةS في الاتجاه العمودى على السطح XY ، هذا الشعاع ينفذ إلى الوسط الثانى دون أن يعانى أي انكسار. فإذا مد الشعاع BA ليقابل SN في S/ فان:


أيضا من هذا الشكل نجد أن

(11)

(12)

و تدل هذه النتيجة على أن وضع النقطة S/ ليس ثابتا بل يتوقف على زاوية رأس مخروط الأشعة التي ترى بها العين النقطة المضيئةS .
فإذا كانت العين قريبة من الخط العمودى، فان كل منα و β تكون صغيرة و بذلك يمكن اعتبار أن:

(13)

(14)

و بذلك يكون البعد الظاهرى NS/ أقل من البعد الحقيقى NS . لماذا؟؟
و تقدر إزاحة الصورة في الاتجاه العمودى بالمقدار SS/ الذي يعطى من:

(15)

(16)























6- الزاوية الحرجة و الانعكاس الكلى

عندما يمر شعاع من وسط كثيف إلى وسط أقل كثافة ضوئية فانه ينكسر مبتعدا عن العمود على سطح الانفصال، أى أن زاوية الانكسار تكون أكبر من زاوية السقوط كما بالشكل الآتي.












من الشكل نجد أن:


و من الملاحظ أنه كلما ذادت زاوية السقوط ذادت زاوية الانكسار حتى إذا بلغت زاوية السقوط قيمة معينة γ فان الشعاع المنكسر يخرج في الوسط الثانى موازيا للسطح الفاصل و زاوية انكساره قائمة.

(17)

و تسمى زاوية السقوط γ في الوسط الكثيف التي تقابلها زاوية انكسار 90o بالزاوية الحرجة للوسطين 1 و 2 .
و إذا ذادت زاوية السقوط في الوسط الكثيف عن الزاوية الحرجة فان الشعاع لا ينفذ إلى الوسط الأقل كثافة و إنما ينعكس عند سطح الانفصال انعكاسا كليا في الوسط الكثيف وفقا لقانونى الانعكاس. و يسمى انعكاس الضوء عندئذ بالانعكاس الكلى الداخلى حيث انه لا ينفذ تماما إلى الوسط الخفيف.













7- انكسار الضوء خلال المنشور الثلاثى

المنشور الثلاثى هو جزء من وسط شفاف متجانس محدود بسطحين غير متوازيين. فإذا فرضنا أن ABC يمثل المقطع الأساسي لمنشور ثلاثى من الزجاج زاوية رأسه A و أن شعاعا ضوئيا DE يسقط على الوجه AC فانه ينكسر داخل المنشور مقتربا من العمود ( في الاتجاه EF) ثم يخرج من الوجه AB في الاتجاه FG كمل بالشكل.
من هذا الشكل يتضح أن الشعاع DE يعانى انحراف كل من النقطتين E و F و أن الانحراف الكلى في اتجاه DE يقدر بقيمة الزاوية بين امتداد الشعاعينDE و GF .










فإذا كانت الزوايا θ و φ و φ1 وθ1 تمثل زوايا السقوط و الانكسار عند النقطتين E و F فان:

(18)

(19)

و زاوية الانحراف α تعطى من



(20)

في الشكل الرباعى AELF نجد أن



(21)

من المثلث FEL نجد أن


بالتعويض من المعادلة (21) في المعادلة السابقة نحصل على:

(22)

من المعادلتين (20) و (22) نجد أن

(23)


و حيث أن A زاوية رأس المنشور تكون ثابتة لا تتغير إلا بتغير المنشور، فان زاوية الانحراف α تتوقف على زاويتى السقوط و الخروج..

النهاية الصغرى لزاوية الانحراف:-

ذكرنا في المعادلة السابقة أن زاوية الانحراف تتغير تبعا لتغير زاويتى السقوط و الخروج، فإذا رسمت العلاقة بين زاوية الانحراف وزاوية السقوط فسوف يكون لها سلوك كالمماثل بالشكل













و نلاحظ أنه كلما ذادت زاوية السقوط قلت زاوية الانحراف حتى تصل إلى أقل قيمة لها ثم تأخذ بعدها في الزيادة مرة أخرى، و معنى هذا أن هناك قيمة لزاوية السقوط تكون عندها زاوية الانحراف اقل ما يمكن و تسمى النهاية الصغرى لزاوية الانحراف ورياضيا يعنى هذا أن:



بتفاضل المعادلة (23) بالنسبة ل θ

(24)

و عند وضع النهاية الصغرى للانحراف يكون

(25)

و بتفاضل المعادلة (22) نحصل على

(26)

فإذا كان μ معامل انكسار مادة المنشور فان

(*)





(27)

بالمثل يمكننا الحصول على

(28)

بالتعويض من (27) في (26)

(29)

و حيث أن

(30)

بالتعويض من (28) و (29) في (30) نحصل على

(31)

بالتعويض من (25) في (31)

(32)

و من قوانين حساب المثلثات يمكننا كتابة هذه المعادلة على الصورة الآتية

(33)

و بالتعويض من المعادلة (*) في المعادلة السابقة نحصل على

(34)
و هذه المعادلة تأخذ الشكل الاتى

(35)

و حيث أن ،فان

(36)

و بالمثل يمكننا استنتاج أن

(37)


أى أنه عند وضع النهاية الصغرى للانحراف زاوية السقوط = زاوية الخروج.
و بالتالى زاوية راس المنشور( المعادلة 22 ) تأخذ الشكل:

(38)

و المعادلة (23) تأخذ الشكل:



و المعادلة (*) يمكن أن تكتب على الصورة:

(39)

أما إذا كانت زاوية رأس المنشور صغيرة و كانت الأشعة الساقطة على سطح المنشور عمودية تقريبا فان زوايا الانكسار و الانحراف تكون صغيرة كذلك، و من ثم تأخذ المعادلة السابقة الشكل الآتي






(40)















8- تفريق الضوء بالانكسار

تعتبر ظاهرة تفريق الضوء أحدى الظواهر المهمة و التي تفسر من خلال الضوء الهندسى. فإذا فرضنا أن AB يمثل شعاعا ضوئيا يسقط من الهواء على سطح مستوى يقصل بين الهواء و وسط آخر كالزجاج فان الشعاع المنكسر في الزجاج يعانى تفريقا أو تحليلا إلى الأشعة المكونة له. و تسمى هذه الظاهرة التفرق اللونى أو التشتت اللونى، و هي تنتج من اختلاف معامل الانكسار بالنسبة للون الضوء.











و تسمى مجموعة الألوان الناتجة من عملية تشتت الضوء الأبيض – الأحمر، البرتقالى، الأصفر، الأخضر، الأزرق، النيلى، البنفسجى – بالطيف كما يسمى الفرق بين زاويتى انحراف أى لونين بالتفريق الزاوى لهذين اللونين. و تتوقف هذه الزاوية على طبيعة الوسط الذي يحدث فيه الانكسار.
و يزداد التفريق الزاوى في حالة المنشور و ذلك نتيجة انحراف الأشعة عند كلا من سطحى المنشور.

9- قوة التفريق

سبق و أن أشرنا أن زاوية الانحراف للمنشور تعطى من العلاقة الاتية



فإذا كانت زاوية انحراف اللون البنفسجى ، و زاوية انحراف اللون الاحمر هي
فان

حيث و هما معاملا انكسار الأشعة البنفسجية و الحمراء في مادة المنشور. أى أن التفريق الزاوى للونين البنفسجى و الأحمر يعطى من المعادلة الآتية:

(41)

و تعرف قوة تفريق المنشور من المعادلة

(42)

حيث α زاوية الانحراف بالنسبة للون الأوسط في الفيض.
فإذا كانت μ متوسط معامل الانكسار للونين البنفسجى و الأحمر، فان قوة تفريق المنشور للضوء تعطى من العلاقة:

(43)

يتضح من المعادلتين (41) و (43) أنه بينما يتوقف التشتيت الزاوى على زاوية رأس المنشور و على طبيعة المادة المصنوع منها فان قوة التشتيت تتوقف فقط على طبيعة المادة المصنوع منها المنشور.











10- الانكسار عند الأسطح الكرية

نفرض أن X نقطة مضيئة على المحور الأساسي لمرآة مقعرة ABC تفصل بين وسطين معامل انكسار الضوء فيهما μ1 و μ2 و ليكنM مركز تكور السطح الكرى.
فإذا فرضنا أن μ1 < μ2 فان الشعاع الساقط XA ينكسر في الاتجاه AY/ ، و إذا مددنا هذا الشعاع المنكسر فانه سوف يتقاطع مع محور المرآة في النقطةY التي تمثل صورة الجسم، كما هو موضح بالشكل الاتى.












و من هذا الشكل يتضح أن


(44)

أيضا


(45)

و حيث أن


فإذا كانت النقطة A قريبة من قطب المرآة فأن كل من زاويتى السقوط و الانكسار تكونان صغيرتين



(46)

بالتعويض من (44) و (45) في (46) نحصل على

(47)
فإذا كانت المسافة بين الجسم و الصورة و المركز عن قطب المرآة هي r,y, x على الترتيب، فان

(*)

بالتعويض من هذه المعادلة في المعادلة (47)



و وفقا لقاعدة الإشارات التي سبق ذكرها فان:



(48)


و هي المعادلة العامة في حالة السطح الكرى المقعر.





أما في حالة السطح الكرى المحدب (كما بالشكل الآتي) فان














(49)
أيضا
(50)

و من المعادلات (46) و (49) و (50) يمكننا الحصول على

(51)

و بكتابة المعادلة (*) مرة أخر و لكن مع مراعاة قاعدة الإشارات في هذه الحالة



فان المعادلة (51) تأخذ الشكل الآتي

(52)

(53)

و هي نفس النتيجة التي حصلنا عليها في حالة السطح الكرى المقعر.
أما إذا كانت الأشعة الساقطة متوازية كما بالشكل الآتي ( أى أنX في ∞ ) فان المعادلة السابقة تصبح على الصورة الآتية

(54)


و بذلك تتجمع الأشعة المنكسرة في نقطة واحدة Z تسمى البؤرة و يسمى بعدها عن قطب المرآة البعد البؤرى.


تحياتي الى نسرين وقسم الفيزياء




:i_angry_steaming::words_cut::k_crying::s_thumbup: :s_thumbup:





















الباب الرابع
العدسات