مفاهيم اساسية فى الجبر

الصادق · #1 03-12-2010, 20:52

وحدات البناء الاساسية

1- الفئة Set : هى عبارة عن ثُلة collection من الاشياء التى ليس من الضروري ان يربط بينها رابط مشترك او تحقق اى خواص اضافية فمثلاً ثُلة من n شخص تمثل فئة من الاشخاص و كذلك ايضاً ثُلة من n نقطة تمثل فئة من النقاط. و عدد العتاصر n فى الفئة يمكن ان يكون منتهياً او لانهائياً.
.................................................. .................................................. ...........................
2-الزمرة Group :
نقول ان G تمثل زمرة اذا كان لدينا:
a- فئة من العناصر تنتمي للزمرة $g_1,g_2,...,g_n\in G$
b-عملية ثنائية $\otimes$ تسمى بعملية الضرب على الزمرة
وتحققت الشروط :
A1- الاغلاق Closure
$g_i\in G, g_j\in G \Rightarrow g_i\otimes g_j \in G$
A2-العملية التجميعية Associativity
$g_i\otimes (g_j\otimes g_k)=(g_i\otimes g_j) \otimes g_k$
A3-وجود عنصر محايد $g_1$
$g_1\otimes g_i=g_i\otimes g_1=g_i \qquad \forall g_i\in G$
A4- وجود معكوس وحيد
لكل عنصر $g_\ell \in G$ يوجد معكوس وحيد $g_k \in G$ يرمز له بـ $g_k=g_\ell^{-1}$ و بحيث
$g_{\ell}\otimes g_k=g_k\otimes g_{\ell}=g_1$

مثال(1):
فئة كل التبديلات الممكنة للنقاط 1, 2 , 3 تشكل زمرة تسمى بزمرة التباديل $P_3$
لاحظ ان العنصر المحايد هو عملية عدم اجراء التبديل اى ان النقطة 1 تتحول لمكان النقطة 1 والنقطة 2 تتحول الى مكان النقطة 2 و اخيراً النقطة 3 تتحول الى مكان النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كل لدينا الترتيب (123) وبعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (123) و بالطبع فان هذا التأثير يمثل العنصر المحايد ونرمز له بـ
$e:\quad (123)\to (123)$
يمكن تبديل النقطتين 1 و 2 وترك النقطة 3 فى مكانها اى ان النقطة 1 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 3 تتحول الى النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كان لدينا الترتيب (123) و بعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (213) وهذا العنصر يرمز له بـ
$g_{12}:\quad (123)\to (213)$
يمكن تثبيت النقطة 2 و تبديل النقاط 1 و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
$g_{13}:\quad (123)\to (321)$
ويمكن ايضاً تثبيت النقطة 1 و تبديل النقاط 2و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
$g_{23}:\quad (123)\to (132)$
يمكن تبديل جميع النقاط بحيت تتحول اى نقطة الى مكان النقطة التالية فى الترتيب اى تتحول النقطة 1 الى النقطة 2 و تتحول النقطة 2 الى النقطة 3 و تتحول النقطة 3 الى النقطة 1
$g_{123}:\quad (123)\to (312)$
و اخيراً تبديل جميع النقاط بحيث ان اى نقطة تتحول الى مكان النقطة السابقة لها فى الترتيب فمثلاً النقطة 3 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 1 تتحول الى النقطة 3 اى ان
$g_{132}:\quad (123)\to (231)$

هل يمكن اضافة عنصر آخر؟
اوجد حاصل الضرب $g_{12}\otimes g_{12}$ . ما الذى يمكن استنتاجه؟
اوجد حاصل الضرب $g_{123}\otimes g_{132}$ . ماذا تستنتج؟
ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل $P_4$

مثال(2):
فئة الاعداد الحقيقية تشكل زمرة تحت عملية الجمع الاعتيادي +
العنصر المحايد هو الـ0
لكل عدد حقيقي a يوجد عدد وحيد حقيقي a- يمثل معكوسه الجمعي

مثال(3) فئة الاعداد الحقيقة باسثناء الـ 0 تشكل زمرة تحت عملية الضرب الاعتيادي
العنصر المحايد هو الـ 1
لكل عنصر a يوجد عنصر وحيد $\frac{1}{a}$ يمثل المعكوس الضربي

سؤال: لماذا تم استبعاد الـ 0 ؟

مثال(4):
فئة كل المصفوفات الحقيقية المربعة $n \times n$ الغير شاذة $Gl(n)$ تشكل زمرة تحت عملية ضرب المصفوفات
العنصر المحايد هو مصفوفة الوحدة
طالما ان هذه المصفوفات غير شاذة فان لكل مصفوفة يوجد معكوس

فى الزمر التى فى الامثلة 2 و 3 نجد ان الترتيب الذى نجري به العملية الثنائية غير مهم و لذلك نقول انها زمر ابدالية

A5- الخاصية التبادلية commutativity: اذا حققت الزمرة الخاصية $g_i\otimes g_j=g_j\otimes g_i \qquad \forall g_i,g_j\in G$
فاننا نقول ان الزمرة G زمرة ابدالية Abelian
ومن الواضح ان الزمر فى الامثلة 1 و 4 هى زمر غير ابدالية (تأكد منها بنفسك)

]

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 3 ( الأعضاء 0 والزوار 3)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !