[زولديك]

بسم الله الرحمن الرحيم , طبعا برهنت في مجموعة الأعداد الطبيعية لدلك ننتقل إلى مجموعة الأعداد الالصحيحة , ليكن لدينا x and y إدا كان كلا منهما سالب فإن البرهان يرد للمجموعة الطبيعية و إدا كان كلا منهما موجب كدلك الأمر اما إدا كان احدهما سالب فيكون لدينا التالي

( ) ننتقل للإثبات في الاعداد النسبية , و يكون لدينا التالي () لاحظ في هده المبرهنة لا نحتاج سوى للمعلومات السابقة و كدلك في حالة الاعداد السالبة نطبق ما سبق , اما بالنسبة للاعداد الحقيقية فيكفي برهنت التبديل للاعداد اللانسبية , فيكون لدينا التالي

() , مع ملاحظة انه لا يمكن التعبير عن قيمة الجدور كعدد من الاعداد التي موجودة في المجموعات السابقة , لكن بإستخدام خاصية الجدور من توزيع و تعميم نحصل على المطلوب و عسى ان أكون قد وفقت للمطلوب , و إدا ما نجح يكون لي محاولة إخرى بإدن الله