مجاميع مثلثية! - الصفحة 2

الصادق · #1 27-08-2009, 06:19

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

حسنا هناك بعض التعديلات التي لم يقبلها المنتدى لذا سأعيدها هنا

و في نفس الوقت كل زاوية من 45 إلى 90

$sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)$

فلو زاوجنا كل زاوية من 1إلى 45 مع متممتها إلى 90 سنحصل على كل الزوايا من 1 إلى 89 و لكن ستكون الزاوية 45 مذكورة مرتان لذا نطرحها
و كذلك نضيف الزاوية 90 لأن متتمتها 0 غير موجودة
و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع

$\sum_{i=1}^{90} sin^2x= 1+ \sum_{i=1}^{45} (sin^2x+ sin^2 (90-x))-sin^2 45=1+ \sum_{i=1}^{45}1 -\frac{1}{2} =45-\frac{1}{2}$

و بالتالي يكون المجموع الكلي

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times45.5=182$

اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

حل رائع جداً
ايضاً اريد ان انوه باننا يجب ان نحذف من النتيجة الاخيرة مربع جيوب الزوايا 90 و 270 نسبة لتكرارهما فى المجموع حيث تتكرر 90 فى المجموع فى نهاية الربع الاول و فى بداية الربع الثانى و ال270 فى نهاية الربع الثالث و بداية الربع الرابع

ولذلك تصبح النتيجة النهائية 180

والله اعلم

رابح26 · #2 29-08-2009, 00:49

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أعتقد أن نتيجة الأخ الأستاذ الصادق صحيحة

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

حل رائع جداً
ايضاً اريد ان انوه باننا يجب ان نحذف من النتيجة الاخيرة مربع جيوب الزوايا 90 و 270 نسبة لتكرارهما فى المجموع حيث تتكرر 90 فى المجموع فى نهاية الربع الاول و فى بداية الربع الثانى و ال270 فى نهاية الربع الثالث و بداية الربع الرابع

ولذلك تصبح النتيجة النهائية 180

والله اعلم

$\sum_{k=1}^{360}\sin^{2}k=\sum_{k=1}^{360}\frac{1}{2}\left(1-\cos2k \right)=\sum_{k=1}^{360}\frac{1}{2}-\sum_{k=1}^{360}\frac{sin2k}{2}=\frac{360}{2}-0=180$
وذلك لأن مجموع الدالة cos2k يمتد على دورين كاملين عندما يمتد k على دور واحد (من 1 إلى 360)
وفي كل دور يأخذ قيم موجبة بمقدار ما يأخذ قيم سالبة وبالتالي يكون المجموع صفر ويبقى فقط نصف 360
أي أن النتيجة المطلوبة 180

الصادق · #3 27-08-2009, 06:56

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

أي تصبح الصيغة المطلوب ايجاد مجموعها:

$\sum_{i=1}^{360}sinx$

والصيغة الثانية:

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x$

لو اعتبرت الحد الاعلى فى المجموع للمسألة الاولى يساوى 360 فان المجموع سوف يكون صفراً و هذا واضح جداً من شكل منحنى جيب الزواية لان كل القيم الموجبة التى تاتى من الربعين الاول و الثانى تلقيها تماماً القيم السالبة التى تاتى من الربعين الثالث و الرابع
ولتأكد عوض فى العلاقة التى وضعتها سابقاً مع ملاحظة الاخت تغريد (تغير الزوايا من وحدة الريديان الى وحدة درجة)

يمكن ايضاً ان تبرهن هذه العلاقة عن طريق كتابة الجيب بدلالة جيب التمام و الذى يمكن كتابته بدلالة مربع جيب نصف الزاوية

$\\ \sum_{k=1}^{360}\sin k =\sum_{k=1}^{360}\cos (90-k)=\sum_{k=1}^{360}\left( 1-2\sin^2(\frac{90-k}{2})\right )\\ \\ \sum_{k=1}^{360}\sin k = 360 -2 \sum_{k=1}^{360}\sin^2(\frac{90-k}{2})$

والحد الاخير يشبة تماماً المسألة الثانية لان مع فرق ان العد سوف يبدا من 89 و ينتهى عند -270 و لذلك يمكنك ان تغير رمز الجمع k برمز اخر j=90-k والنتيجة سوف تكون نفسها 180
$\sum_{k=1}^{360}\sin k =360-2(180)=0$

والله اعلم

الصادق · #4 25-08-2009, 03:07

دعنى اُعطيك تلميح ربما يساعدك فى ايجاد الحل

اكتب جيب الزاوية بدلالة العدد المركب
$\sin k =\frac{e^{ik}-e^{-ik}}{2i}$
وهكذا فان المجموع يمكن كتابته بدلالة الفرق بين متواليتين هندسيتين
سوف تحصل فى الاخر على
$\sum_{k=1}^{n} \sin k =\frac{\sin(n+1)(1-\cos 1)-\sin 1(1-\cos (n+1))}{2\cos1-2}$

الان اختبر ما اذا كان المجموع صحيح لعدد حدود n يساوى 89 ام لا؟ وما هى قيمة n التى تجعل المجموع يساوى صفراً؟
والله اعلم

تغريـد · #5 25-08-2009, 11:56

فكرة رائعة جدا أخي الصادق

و أود أن أنوه أن هذه الصيغة لجيب الزاوية معطاة بالتقدير الدائري
لذا إذا أردنا التعامل مع التقدير الستيني يجب التحويل للتقدير الدائري بضرب k في العدد pi مقسوما على 180

مهند الزهراني · #6 26-08-2009, 16:46

لي خصام منذ فترة مع الأعداد المركبة ، لكنها تبدو فكرة قيمة لم لا نجرب؟ وأكرر أني لا أريد جواب السؤااااال وانما أريد أن نطرح جميعا أفكارنا حتى نستفيد جميعا وليس من أجل واجب أو الزام وانما من حب هذا العمل ومشكورين على كل حال....

رابح26 · #7 26-08-2009, 23:10

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

نعلم جميعا وجود صيغ لمجاميع خاصة مثل:

$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

صيغة السؤال:

نريد أن نستحث أفكار لصيغة خاصة لمجموع نسبة مثلثية معينة أو مربعها ولنقل للتسهيل أنها دالة sin (جا) أي أننا نريد ايجاد صيغة عامة لمجاميع مثل:

$\sum_{k=1}^{n}sink$

$\sum_{k=1}^{n}sin^2k$

يمكننا القول بأن هذا السؤال عبارة عن مشروع "بحثي" أتمنا أن نجد فيه المتعة والفائدة (لم أستطع ايجاد صيغة حتى الآن لكني سأحاول ) بالتوفيق:a_plain111:

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
باستعمال الشكل الأسي للعدد المركب وصيغة جمع المتتالية الهندسية يمكن الحصول على صيغة
لمجموع cosk و sink من 1 إلى n

مهند الزهراني · #8 27-08-2009, 02:22

حل جميل جدا أخت تغريد:s_thumbup: ومبروك على كل حال الفكرة في رأسي ولم أستطع صياغتها جيدا في قالب رياضي

، وبالنسبة لأخي رابح أيضا حل جميل لكني كما قلت

مع الأعداد المركبة وأعاني بعض الصعوبات فيها ولو أنها جميلة بارك الله فيكم جميعا ومع أفكار جديدة قادمة ان شاء الله...:a_plain111:

تغريـد · #9 28-08-2009, 00:33

صدقت أخي الكريم الصادق
فرغم أن الدورة الأولى بدأت من الزاوية1 إلى 90
الدورة الثانية ستبدأ من 179إلى 90
و الثالثة ستبدأ من 181 إلى 270
و الرابعة من 359 إلى 270
شكرا لك و بارك الله فيك
و لك خالص الشكر أخي مهند

رابح26 · #10 28-08-2009, 15:24

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الصيغة التي سبق لي ذكرها
$\sum_{k=1}^{360}sink=((sin1+sinn-sin(n+1))/(2(1-cos1)))$
تعطي نفس النتيجة عندما يكون ن = 360
$\sum_{k=1}^{360}sin k=\frac{(sin1+sin 360-sin(360+1))}{2(1-cos1)}$
أي تساوي صفر.
والواجب استعمال الراديان بدلا من الدرجات وذلك بضرب كل الزوايا بالمقدار
$\frac{2\pi }{360}$

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !