متباينة بسيطة

الموهوب66 · #1 11-10-2010, 17:36

أثبت أن

بالتفصيل

زولديك · #2 11-10-2010, 18:45

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الموهوب66

أثبت أن

بالتفصيل

البرهان

بسم الله الرحمن الرحيم

$\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}=\sqrt{1+\frac{a}{b}}+\sqrt{1+\frac{b}{a}}=\sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }}$ , و بدراسة أصغر قيمة ياخدها $\frac{1}{\Psi }$ نجد انها الواحد الصحيح , و هكدا نستنتج ان
$\Psi =1 \Rightarrow \sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }}=\sqrt{1+1}+\sqrt{1+\frac{1}{1}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ حيث هده هي اقل قيمة , بالتالية نجد
${\color{blue} \sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }}=\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})\geq 2\sqrt{2}}$

مهند الزهراني · #3 11-10-2010, 19:08

$\150dpi \sqrt{a+b}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )\geq \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\geq 2\sqrt{\frac{a+b}{\sqrt{ab}}}\geq 2\sqrt{2}$

بعد تطبيق متباينة الوسطين التي تنص على

$\150dpi x,y\in \mathbb{R}^+\Leftrightarrow \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$

زولديك · #4 11-10-2010, 20:04

عفوا برهاني خاطئ

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
العرض العادي الانتقال إلى العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !