spin observable

تغريـد · #1 13-03-2010, 01:04

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
الاخوة الكرام

أنا يحاجة شديدة لفهم المثال القادم فهما جيدا
من ناحية البناء و من ثم استخلاص المعاني الفيزيائية إن أمكن

فهل يمكن أن تساعدوني في فهمه

المثال من ورقة بحث بعنوان
A classical extension of quantum mechanics
يقول الباحثان

عند دراسة وصف الدوران المغزلي للجسيمات التي لها لف مغزلي 0.5 في ميكانيكا الكم
فإن الحالات states التي يأخذها النظام يمكن تمثيلها من خلال محيط كرة الوحدة إن صح التعبير (نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الاصل) في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
حيث أن كل نقطتين متقابلتين (يجمعهما قطر واحد) على محيط الكرة تصفا حالتي الاستقطاب ( أعلى s1 ، أسفلs2)

و في هذه الحالة لأي نقطتين متقابلتين على محيط الدائرة فإن الحالة المركبة الناتجة عن تركيبة خطية بنسب متساوية بين حالتي الاستقطاب المقابلتين
تعبر عن حالة عدم الاستقطاب .

من الواضح هنا أن حالة الاستقطاب يمكن التعبير عنها بعدد غير منتهي من التركيبات الخطية لأن ما سبق صالح لاي نقطتين متقابلتين على محيط الكرة.

تغريـد · #2 13-03-2010, 01:38

يتحدث الكاتبان بعد ذلك بأننا لو اعتبرنا ما عبر عنه ب ( usual spin observable ) و رمز لهما ب $\sigma _{y}, \sigma _{z}$

المعرفان عبر محور y, z
فإنهما يأخذان حالات النظام لدوال احتمالية معرفة على فضاء من عنصرين

و بذلك تكون حالة الدوران لاعلى في الاتجاه $(\theta , \phi )$

(وفقا للاحداثيات الكروية)
و التي لها الدالة الموجية التي تكتب على الشكل
$\binom{\cos \frac{1}{2} \theta }{e^{i\theta } \cos \frac{1}{2} \theta }$

لها الوزن
$w(\sigma _{y}= \pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta sin \phi }{2}$

$w(\sigma _{z}= \pm 1)=\frac{1\pm \cos \theta }{2}$

الحقيقة أريد في البداية أن أعلم كيف تعرف usual spin observable

و لماذا كانت الدالة الموجية بهذا الشكل

و أرجو أن ذلك يساعد في فهم الأوزان الناشئة ربما تقابل تركيبة خطية ما

و لكم جزيل الشكر

تغريـد · #3 13-03-2010, 01:52

عذرا في في آخر سطرين في المشاركة الأولى المقصود حالة عدم الاستقطاب و ليس الاستقطاب هي التي يمكن تمثيلها كتركيبة خطية بعدد كبير جدا من الطرق

أرجو أيضا أن اعلم ما المقصود فيزيائيا هنا بحالة الاستقطاب و عدم الاستقطاب

تغريـد · #4 14-03-2010, 00:38

كخطوة أولى بعد بعض البحث في الشبكة وجدت أن

$\sigma _{x}=\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \sigma _{y}=\begin{pmatrix} 0& -i \\ i& 0 \end{pmatrix} \sigma _{z}=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$

و أن

$S_x = {\hbar \over 2} \sigma_x,\quad S_y = {\hbar \over 2} \sigma_y,\quad S_z = {\hbar \over 2} \sigma_z$

هي المؤثرات المتعلقة ب spin observables في هذه الحالة

و لكن كيف يتم التعامل معها و الاستفادة منها

الصادق · #5 14-03-2010, 00:44

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حياك الله اختي الكريمة تغريد

يبدو ان هناك خطأ ما فى
$\binom{\cos \frac{1}{2} \theta }{e^{i\theta } \cos \frac{1}{2} \theta }$

لستُ متأكداً و لكن من الناحية الفيزيائية اتوقع ان تحتوي على cos و sin و ليس على cos فقط ,كما يجب ايضاً ان تحتوي على زاويتين theta و phi وذلك نسبة لان سطح الكرة يُمثل بزاويتين

والله اعلم

اختي الكريمة هل لديك نسخة من هذا البحث ؟ ان كان فارجو رفعها على المنتدى

تغريـد · #6 14-03-2010, 00:50

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حياك الله اختي الكريمة تغريد

يبدو ان هناك خطأ ما فى
$\binom{\cos \frac{1}{2} \theta }{e^{i\theta } \cos \frac{1}{2} \theta }$

لستُ متأكداً و لكن من الناحية فيزيائية اتوقع ان تحتوي على cos و sin و ليس cos فقط ,كما يجب ايضاً ان تحتوي على زاويتين theta و phi وذلك بالطبع لان سطح الكرة يُمثل بزاويتين

اختي الكريمة هل لديك نسخة من هذا البحث ؟ ان كان فارجو رفعها على المنتدى

أشكرك أخي الكريم الصادق بالفعل ما تفضلت به صحيحا

$\binom{\cos \frac{1}{2} \theta }{e^{i\phi } \sin \frac{1}{2} \theta }$

أنا آسفة للخطأ في النقل

أما بالنسبة للنسخة الالكترونية فأنا أبحث عنها و لكني للآن لم أجدها ، سأواصل البحث بإذن الله علني أجدها

أسأل الله ان يبارك فيك و يوفقك

تغريـد · #7 14-03-2010, 23:48

أخي الكريم الصادق
الحقيقة أني وجدت أني بالفعل لا أملك نسخة الكترونية من ورقة البحث
إذ أذكر أني زوج أختي بعث لي نسخة مصورة من البحث عندما
كان يدرس في بريطانيا منذ زمن طويل (عندما كنت أدرس الماجستير )
و هم استقروا هنا أخيرا بحمد الله.
و هذه الورقة كانت هي إحدى نقاط البداية لما سمي بعد ذلك
operational probability theory
لكني بإذن الله سأحاول أن أرفعها على سكنر ومن ثم رفعها هنا ما استطعت
بارك الله فيك أخي الكريم ويسر لك جميع أمرك

الصادق · #8 15-03-2010, 01:45

حياك الله اختي الكريمة تغريد

ما بالنسبة للنسخة الالكترونية فأنا أبحث عنها و لكني للآن لم أجدها ، سأواصل البحث بإذن الله علني أجدها

لا عليك ان لم تجديها.

الحقيقة أريد في البداية أن أعلم كيف تعرف usual spin observable

و لماذا كانت الدالة الموجية بهذا الشكل

و أرجو أن ذلك يساعد في فهم الأوزان الناشئة ربما تقابل تركيبة خطية ما

الجسيم الذي له لف مغزلي 1/2يوصف فى ميكانيكا الكم فى Hilbert space two-dimensional وبالتالي فان الحالات النقية pure states تُمثل بمتجاهات (اشعة) فى هذا الفضاء و كما هو معلوم ان المتجهات فى فضاء مركب ثنائي الابعاد يمكن ان يُعبر عنها بسطح كرة (نصف قطرها يساوي الوحدة) فى ثلاثة ابعاد
و ذلك لان سطح الكرة فى ثلاثة ابعاد يُحقق
$X_1^2+X_2^2+X_3^2=1$
اما اذا عبرنا عن سطح كرة باحداثيات مركبة فانها تمثل على النحو
$|Z_1|^2+|Z_2|^2=1$
وهكذا اذا اخترنا ان نكتب علاقة تربط بين النظامين بحيث ان
$\\Z_1=X_1+iX_2\\ Z_2=X_3+iX_4$
فاننا بمقارنة معادلة سطح الكرة سوف نجد ان $X_4=0$

و لذلك فاننا اما ان نمثل الكرة بثلاثة احداثيات حقيقية $(X_1,X_2,X_3)$ او نمثلها باحداثيين مركبيين $(Z_1,Z_2)$ بحيث ان
$\\Z_1=X_1+iX_2\\ Z_2=X_3$
الان اذا قمنا بتحويل نظام الاحداثيات من احداثيات كارتيزية الى احداثيات كروية
$\\X_1=\sin \theta \cos \phi\\ X_2=\sin \theta \sin \phi\\ X_3=\cos\theta$
فان الاحداثيات المركبة سوف تأخذ الشكل التالي:
$\\Z_1=X_1+iX_2=\sin\theta \cos\phi+i\sin \theta \sin\phi=\sin \theta \rm e^{i\phi}\\ Z_2=X_3=\cos \theta$

و لما كانت متجهات الحالة فى فضاء هيلبرت (الكرة ثنائة الابعاد فى المستوى المركب) هى عبارة عن نقاط على سطح الكرة فان مؤثر اللف المغزلي يجب ان يُمثل بدوران مركب على سطح الكرة وهكذا يجب ان تكون لدينا مصفوفة دوران هيرميتية
$\\ \hat{S}=\begin{pmatrix} Z_2 &Z_1^{\ast} \\ Z_1 & -Z_2^{\ast} \end{pmatrix}\\ \\ \\ \therefore \hat{S}=\begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\rm e^{-i\phi} \\ \sin\theta\rm e^{i\phi}&-\cos\theta \end{pmatrix}$

و لما كانت الدالة الموجية ما هي الا المتجهات الذاتية المقابلة لمؤثر اللف المغزلي
فان معادلة القيمة الذاتية $\hat{S}|\psi\rangle=s|\psi\rangle$ لها حل عندما تُحقق الشرط $\det(\hat{S}-sI)=0$
وهكذا نتحصل على القيم الذاتية s
$\det(\hat{S}-sI)=\det\begin{pmatrix} \cos\theta-s & \sin\theta \rm e^{-i\phi}\\ \sin\theta \rm e^{-i\phi}& -\cos\theta-s \end{pmatrix}=0\\ \Rightarrow s=\pm1$
فمثلاً لو اخذنا القيمة الذاتية s=1 وعوضنا فى معادلة القيمة الذاتية فسوف نحصل على الدالة الموجية للف مغزلي spin up
$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \rm e^{-i\phi}\\ \sin\theta \rm e^{i\phi}& -\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A\\ B \end{pmatrix}=+1\begin{pmatrix} A\\ B \end{pmatrix}$
اى ان
$\\ A\cos \theta+B\sin\theta \rm e^{-i\phi}=A\\ A\sin\theta\rm e^{i\phi}-B\cos\theta=B$
ومن المعادلة الاولى يمكن ان نحصل على B بدلالة A
$B=A\tan\frac{\theta}{2}\;\rm e^{i\phi}$
وبالتعويض فى متجه الحالة نحصل على
$|\psi\rangle=\begin{pmatrix} A\\ B \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 1\\ \tan\frac{\theta}{2}\;\rm e^{i\phi} \end{pmatrix}\\$

واخيراً سوف نستخدم معلومة ان الدالة موجية لها معيار يساوى الـ 1
$1=\langle\psi|\psi\rangle=A^2(1+\tan^2\frac{\theta}{2})\to A=\cos\frac{\theta}{2}\\$
وبالتعويض فى الدالة الموجية نحصل على
$|\psi\rangle=\begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\\sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{pmatrix}$
يمكن ان نكرر نفس الخطوات السابقة لحساب الدالة الموجية المقابلة للقيمة الذاتية -1 spin down

هذا والله اعلم

الصادق · #9 15-03-2010, 12:14

أخي الكريم الصادق
الحقيقة أني وجدت أني بالفعل لا أملك نسخة الكترونية من ورقة البحث
إذ أذكر أني زوج أختي بعث لي نسخة مصورة من البحث عندما
كان يدرس في بريطانيا منذ زمن طويل (عندما كنت أدرس الماجستير )
و هم استقروا هنا أخيرا بحمد الله.
و هذه الورقة كانت هي إحدى نقاط البداية لما سمي بعد ذلك
operational probability theory
لكني بإذن الله سأحاول أن أرفعها على سكنر ومن ثم رفعها هنا ما استطعت
بارك الله فيك أخي الكريم ويسر لك جميع أمرك

لقد وجدتُ ورقة لـ E G Beltramettit and S Bugajskit

http://www.herosh.com/download/2483490/gh.pdf.html

بارك الله فيك اختي الكريمة و جزاك كل خير

الصادق · #10 15-03-2010, 15:21

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

كخطوة أولى بعد بعض البحث في الشبكة وجدت أن

$\sigma _{x}=\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \sigma _{y}=\begin{pmatrix} 0& -i \\ i& 0 \end{pmatrix} \sigma _{z}=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$

و أن

$S_x = {\hbar \over 2} \sigma_x,\quad S_y = {\hbar \over 2} \sigma_y,\quad S_z = {\hbar \over 2} \sigma_z$

هي المؤثرات المتعلقة ب spin observables في هذه الحالة

و لكن كيف يتم التعامل معها و الاستفادة منها

يمكن الاستفادة من مصفوفات باولي فى الحصول على مؤثر اللف المغزلي فى اي اتجاه اعتباطي
فمثلاً يمكن اعتبار مصفوفات باولي على انها مركبات للمتجه $\vec{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ فى الفضاء الخطي
و هكذا فان اللف المغزلي فى اي اتجاه اعتباطي يُعطى بالضرب القياسي التالي (اسقاط المتجه سيجما فى الاتجاه r)
$\vec{\sigma}.\vec{r}=x\sigma_x+y\sigma_y+z\sigma_z\\ \sigma_r=x\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 0 &-i \\ i & 0 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z &x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix}$
وفي نظام الاحداثيات الكروية
$\\x=\sin \theta \cos \phi\\ y=\sin \theta \sin \phi\\ z=\cos\theta$
نحصل على
$\sigma_r=\begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta \cos\phi-i\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\cos\phi+i\sin\theta\sin\phi & -\cos\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta \rm e^{-i\phi} \\ \sin\theta\rm e^{i\phi} & -\cos\theta \end{pmatrix}$
و هذه هي نفس النتيجة التى توصلنا اليها سابقاً و هي تمثل مؤثر اللف المغزلي (اذا ضربناها فى نصف hbar) فى اي اتجاه اعتباطي و التى اطلقنا عليه الاسم S فى المشاركة رقم 8

يمكن ايضاً الاستفادة من مصفوفات باولي لحساب المتجهات الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحاور x و y و z

دعنا نبدأ بالف المغزلي فى اتجاه المحور z :
معادلة القيمة الذاتية $\sigma_z|z \;spin\rangle=\lambda|z \;spin\rangle$ حيث لامدا تمثل القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور z .و بالتعويض نحصل على
$\\\sigma_z|z \;spin\rangle=\lambda|z \;spin\rangle\\\\ \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}\qquad(1)\\\\ \therefore \left\{\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\right\}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}\\\\ \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$
ويكون لهذه المنظومة الخطية حلاً اذا تحقق الشرط
$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}=0$
,و عليه فان فان القيم الذاتية هي
$\lambda=\pm 1$
(لاحظي انه يمكن ادخال المعامل $\frac{\hbar}{2}$ لنحصل على قيم ذاتية $\lambda=\pm\frac{\hbar}{2}$ و لكن سوف لن نفعل ذلك تفادياً لاعادة كتابة المعامل فى كل معادلة نكتبها)
الان بعدما حصلنا على القيم الذاتية نعوض فى المعادلة (1) بالقيمة $\lambda= 1$ (الف الى اعلي spin up ) لنحصل على
$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=+1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=0$
اي ان
$\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=a\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
و a يمكن ان تأخذ اي قيمة ولكن نسبة لان الدوال الذاتية يجب ان تكون مطبعة فاننا نختار a بحيث يكون للمتجه الذاتي طول يساوي الواحد (وهذا بديهي من الناحية الهندسية لان متجه الحالة هو عبارة عن شعاع فى الكرة التى لها نصف قطر يساوي الوحدة ) و هكذا نجد ان المتجه الذاتي للف مغزلي علوي فى اتجاه المحور z هو
$|+\rangle_z=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$
اما اذا عوضنا القيمة الذتية $\lambda=- 1$ (الف الى اعلي spin down ) فسوف نحصل على
$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=+1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore a=0$
و شرط التطبيع يقود الى ان b=1 ولذلك فان اللف المغزلي فى الاتجاه السُفلي spin down هو
$|-\rangle_z=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

و بنفس الطريقة يمكننا حساب المتجهات الذاتية فى اتجاه المحاور x و y وسوف نجد ان القيم الذاتية تساوي $\lambda=\pm 1$

و بالتعويض فى معادلة القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور x
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\pm1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=\pm a$
و شرط التطبيع يقود الى ان $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ولذلك فان اللف المغزلي فى الاتجاه اعلى (+)واسفل (-) سوف يُعطى بـ
$|\pm\rangle_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm 1 \end{bmatrix}$

و اخيراًو بالتعويض فى معادلة القيمة الذاتية للف المغزلي فى اتجاه المحور y
$\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}=\pm1\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}\\\\ \therefore b=\pm ia$
اذن فان فان المتجه الذاتي للف المغزلي فى محور y فى الاتجاه اعلى (+)واسفل (-) سوف يُعطى بـ
$|\pm\rangle_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\\pm i \end{bmatrix}$
هذا والله اعلم

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !