مصفوفات باولي

خالد3 · #1 15-04-2012, 17:05

من لدية اجابة فاالرجاء ان يجيب مشكورا علي ذلك اريد شرح تفصيلي عن مصفوفات باولي وما فائدتها في ميكانيكا الكم ولماذا اخترعها باولي وشكرا

خالد3 · #2 17-04-2012, 10:15

اين الاساتذة الافاضل المشرفين علي هذا المنتدى واين نشاطهم ليجيبو علي تساؤلات الاعضاء وسؤالي عن مصفوفات باولي لااعتقد انة صعب وحتما لديهم القدرة على الاجابة فلماذا يحجموا عن الاجابة ويحرمونا الاستفادة منهم والرسول(ص)( يقول من كتم علما الجمة اللة بلجام من نار يوم القيامة) وشكرا

محمد ابوزيد · #3 17-04-2012, 15:35

اهلا بك صديقى العزيز خالد ساخبرك ما فهمته مصفوفات باولى هى ثلاثة مصفوفات على النظم $2\times 2$ يرمز لها بالرمز سيجما $\sigma$ فتكون هى : $\sigma_{1} ,\sigma_{2} ,\sigma_{3}$ وهى ثلاثة مصفوفات كل مصقوفة هى مركبات فى اتجاه مكانى معين اى : $\sigma_{x} ,\sigma_{y} ,\sigma_{z}$ وتتسم هذه المصفوفات الثلاثة فى ان قيمة محددها وهو يساوى حاصل ضرب القطر الرئيسى - حاصل صرب القطر اثانوى يساوى $-1$ وعلى ذلك فمصفوفات باولى الثلاثة هى: $\sigma _{x}=\begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& 0 \end{pmatrix}$ $\sigma _{y}=\begin{pmatrix} 0& -i\\ i& 0 \end{pmatrix}$ $\sigma _{z}=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$ ويضرب مصفوفات باولى الثلاثة فى $\frac{\hbar}{2}$ نحصل على مؤثرات اللف المغزلى وهى بالتالى ثلاثة مؤثرات مكانية هى $\hat{\sigma}_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat{\sigma}_y=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix},\qquad \hat{\sigma}_z=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix},$ ويرمز لمؤثرات اللف المغزلى احيانا بالرمز $s$ ويرمز لمصفوفة اللف المغزلى فى اى اتجاه مكانى بالرمز $s_{i}$ وللحديث بقية اخوكم / محمد ابوزيد

محمد ابوزيد · #4 17-04-2012, 16:04

المصفوفات $i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}$ تشكل اساسا لل $su_{2}$ ومربعات اى مصفوفة من مصفوفات باولى هى مصفوفة الوحدة هناك اقواس تسمى اقواس التبادلية وقيمتها صفر فى الميكانيكا الكلاسيكية لوجود خاصية الابدال ام اذا كانت لا تبادلية فيظهر وجود اقواس التبادلية ويرمز لها بالرمز $[B,A]=BA-AB$ وبالتالى يمكن حساب اقواس التبادلية لمؤثرات اللف المغزلى كالاتى: $;\newline [\hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y]=\hat{\sigma}_x\hat{\sigma}_y-\hat{\sigma}_y\hat{\sigma}_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}-\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\newline \newline \newline \newline [\hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y]=\frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}-\frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix} -i & 0\\ 0 & i \end{pmatrix}=\frac{\hbar^2}{2}\begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}=i\hbar\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\newline \newline \newline [\hat{\sigma}_x,\hat{\sigma}_y]=i\hbar\hat{\sigma}_z$

بالطبع يجب معرفة خواص المصفوفات لمتابعة المعادلات السابقة
الضرب والجمع والعامل المشترك

وللحديث بقية

اخوكم / محمد ابوزيد

محمد ابوزيد · #5 17-04-2012, 16:20

تشكل مصفوفات باولى مع مصفوفة الوحدة فضاء هلبرت هناك تعميمات لمصفوفات باولى بعمل مصفوفات على النظم 3×3 و 4×4 ( ان شاء الله ساكتبها ) ومصفوفات باولى هى مصفوفات هرميتية عقدية

للحديث بقية ان شاء الله مع مزيد من التفاصيل

اخوكم / محمد ابوزيد

خالد3 · #6 17-04-2012, 16:32

الاستاذ الفاضل محمد ابوزيد جزاك اللة خير وبارك اللة فيك وزاد الرجال من امثالك وشكرا

محمد ابوزيد · #7 17-04-2012, 18:36

اشتقاق معادلة شرودنجر (المعادلة الاساسية فى ميكانيكا الكم)

معلوم اننا فى ميكانيكا الكم نستبدل الكميات المُقاسة كلاسكياً بمؤثرات مقابلة لها تؤثر على دالة تسمى بالدالة الموجية وهى دالة تتمتع بخصائص رياضية محددة (دالة منتهية , أُحادية القيمة وتؤول الى الصفر عند الاطراف اللانهائية للفضاء )

يعطى مؤثر الطاقة بالشكل التالى:
$\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$
بينما يعطى مؤثر كمية الحركة الخطية بـ

$\hat{\vec{P}}=\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla}$

الان نستخدم تعريف الطاقة الكلية على انها مجموع طاقتى الحركة والجهد وعليه يكون مؤثر الطاقة الكلية يساوى مجموع مؤثرى طاقة الحركة وطاقة الجهد

$\hat{E}=\hat{T}+ \hat{V}$

ولكن طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة ضرب مربع السرعة

$T=\frac{mv^2}{2}$

ولكن من جانب اخر نجد ان كمية الحركة تساوى حاصل ضرب الكتلة فى السرعة وعليه نجد ان السرعة تساوى كمية الحركة مقسومة على الكتلة وهكذا بالتعويض فى طاقة الحركة اعلاه نحصل على

$T=\frac{m(\frac{P}{m})^2}{2}=\frac{P^2}{2m}$

[IMG]وهكذا نستطيع كتابة مؤثر الطاقة الكلية بدلالة مؤثر كمية الحركة[/IMG]

$\hat{E}=\frac{\hat{P}^2}{2m} \hat{V}$

[IMG]وبتعويض قيمة مؤثر الطاقة وكمية الحركة نحصل على[/IMG]

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \hat{V}$

وكما قلنا سابقاً ان المؤثرات الكمية تؤثر على دالة موجية فاننا نستطيع ضرب طرفى المعادلة اعلاه فى دالة موجية ابساى لنحصل على معادلة شرودنجر

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(t,\vec{x}) V\Psi(t,\vec{x})$

خالد3 · #8 24-04-2012, 11:47

الاستاذ الفاضل محمد ابو زيد جزاك اللة خير وبارك اللة فيك وزاد من امثالك كنت اود ان افهم لماذا اخترع باولي هذة المصفوفات

العالم المصري · #9 24-04-2012, 13:54

رائع جدا وشكرا

خالد3 · #10 08-05-2012, 11:42

ارجوا شاكرا لمن لدية اجابةان يجيب لماذا اخترع باولي مصفوفات باولي

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 3 ( الأعضاء 0 والزوار 3)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !