" المسابقة الرياضية الكبرى " - الصفحة 17

مهند الزهراني · #1 17-08-2010, 05:52

اذا علمت أن

$\150dpi r_1,r_2,...,r_{1000}$ هي جذور لكثيرة الحدود

$\150dpi x^{1000}-10x+10=0$

فاوجد قيمة

$\150dpi r_1^{1000}+r_2^{1000}+....+r_{1000}^{1000}$

مهند الزهراني · #2 17-08-2010, 05:55

" اخت نورة هذا السؤال انتي عارفة اجابته فياليت تتركي الفرصة للآخرين "

اوجد قيمة

$\150dpi \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\left (-1 \right )^{n+m}}{n!m!}$

نورة الشريف · #3 17-08-2010, 06:20

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

" اخت نورة هذا السؤال انتي عارفة اجابته فياليت تتركي الفرصة للآخرين "

اوجد قيمة

$\150dpi \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\left (-1 \right )^{n+m}}{n!m!}$

تصدق مر علي بس ما أدري وين عالعموم انا عارفة اجابته "" ولو في شي مر علي من قبل مااراح احل
................... =)

نورة الشريف · #4 17-08-2010, 06:32

اييه اييه اللي حله استاذ ابو عمر بالتبديلات المشوشة على ما اعتقد

مهند الزهراني · #5 19-08-2010, 03:06

أخي ما فهمت طريقة حلك للسؤال الاول ؟

السؤال الثاني اجابة صحيحة ضع حلك ...

Weierstrass-Casorati · #6 20-08-2010, 15:11

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

أخي ما فهمت طريقة حلك للسؤال الاول ؟

السؤال الثاني اجابة صحيحة ضع حلك ...

السؤال الأول فقط عوضت عن الجذور في المعادلة
ثم جمعت المعادلات الناتجة ومن صيغة فيتا يكون مجموع الجذور صفر
فيبقى لدينا 1000 حد كل منها عبارة عن (-10) يعني الناتج -10000
والذي يبدو أنه خطأ

أما السؤال الثاني فواضح انه مفكوك تايلور للدالة الأسية

$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+......=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x$

$\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n+m}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n!}\times\frac{(-1)^m}{m!} = e^{-2}=\frac{1}{e^2}$

مهند الزهراني · #7 25-08-2010, 04:02

جميل ورااااائع ...

سؤال جديد وجميل ...

أوجد بالبرهان كل الاعداد الطبيعية التي تجعل العدد التالي مكعبا كاملا

$\150dpi m!+5$

Weierstrass-Casorati · #8 25-08-2010, 09:59

يمكن بسهولة التأكد من أن 1! و 2! و 3! و 4! لا تصلح وأن 5!+5 مكعب كامل
$\\ \forall \,m\geq 5\\ 5|m!+5\\$
فإذا كان $m!+5$ مكعباً كاملاً يقبل القسمة على الخمسة فإنه يقبل القسمة على 125 أيضاً
حيث أن المكعبات الكاملة التي تقبل القسمة على 5 يمكن كتابتها
$n^3\times 125 ,n= 0,1,2,3,...$

ولكن هذا غير صحيح لأنه لكل $m>5$ فإن $125\not{|}m!+5$

فمثلا
$\\ 5!+5=125\\ 6!+5=(6\times125)-5(6+1)\\ 7!+5=(7\times6\times125)-5((7\times6)+1)$
وهكذا ... هناك حد لا يقبل القسمة على 125

أو بصورة أخرى لكل m>15 :
$125|m! \Rightarrow 125\not{|}m!+5$
ويمكن التأكد من المضاريب الباقية بسهولة

سنجد أن m!+5 لكل m>5 لا يقبل القسمة على 125
أي أنه لا يوجد m>5 يجعل m!+5 مكعبا كاملا
وبالتالي فإن هناك حل وحيد وهو m=5

مهند الزهراني · #9 25-08-2010, 20:36

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati

يمكن بسهولة التأكد من أن 1! و 2! و 3! و 4! لا تصلح وأن 5!+5 مكعب كامل
$\\ \forall \,m\geq 5\\ 5|m!+5\\$
فإذا كان $m!+5$ مكعباً كاملاً يقبل القسمة على الخمسة فإنه يقبل القسمة على 125 أيضاً
حيث أن المكعبات الكاملة التي تقبل القسمة على 5 يمكن كتابتها
$n^3\times 125 ,n= 0,1,2,3,...$

ولكن هذا غير صحيح لأنه لكل $m>5$ فإن $125\not{|}m!+5$

فمثلا
$\\ 5!+5=125\\ 6!+5=(6\times125)-5(6+1)\\ 7!+5=(7\times6\times125)-5((7\times6)+1)$
وهكذا ... هناك حد لا يقبل القسمة على 125

أو بصورة أخرى لكل m>15 :
$125|m! \Rightarrow 125\not{|}m!+5$
ويمكن التأكد من المضاريب الباقية بسهولة

سنجد أن m!+5 لكل m>5 لا يقبل القسمة على 125
أي أنه لا يوجد m>5 يجعل m!+5 مكعبا كاملا
وبالتالي فإن هناك حل وحيد وهو m=5

الحقيقة البرهان أحسه غير مقنع ...

اضافة الى الخطوة

ولكن هذا غير صحيح لأنه لكل $m>5$ فإن $125\not{|}m!+5$

تحتاج لبرهان ...

لفكرة أسهل فكر باستخدام التطابقات ، واختر اساس مناسب للتطابق ، راح تصل وبسهولة ...

Weierstrass-Casorati · #10 25-08-2010, 21:46

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

الحقيقة البرهان أحسه غير مقنع ...

اضافة الى الخطوة

تحتاج لبرهان ...

لفكرة أسهل فكر باستخدام التطابقات ، واختر اساس مناسب للتطابق ، راح تصل وبسهولة ...

ولماذا غير مقنع

؟ ما اذا وضعت m!+5 لـ m>5 كمجموع حدين بكون حد فيهم يقبل القسمة على 125 والثاني لا، وبالتالي m!+5 لا يقبل القسمة على 125
ولكن كل مكعب كامل على الصورة m!+5 يقبل القسمة على 125 وبالتالي العدد m!+5 لـ m>5 ليس مكعب كامل

بصراحة أنا ما أفهم منيح في التطابقات لكن طلع معي نفس الحل
بالنسبة لـ m>6
$n!+5\equiv 5(mod \: 7)$
5 ليس باقي تكعيبي معيار 7
وبالتالي m!+5 لكل m>6 ليس مكعب كامل
وبحساب m=1,2,3,4,5,6 نجد أنه الحل الوحيد m=5
نفس الناتج؟

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !