[Weierstrass-Casorati]

بلى واضح جدا شكراً لك اختي الكريمة تغريد على الشرح والتوضيح الرائع
وبارك الله فيك وجزاك كل خير

[تغريـد]

شكرا لك أخي الكريم Weierstrass-Casorati
جزاك الله كل خير و وفقك لما يحب و يرضى

أخي الكريم لا أعلم شيء أرجو أن يكون جواب سؤالك هنا قد وصلك الآن
و أن لديك الآن فكرة جيدة عن معنى النهاية
فذلك السبيل الوحيد لتخطي العقبات التي يمكن أن تطرأ

لنعيد ما قلناه لصورة أخرى
لنفهم ما يعنيه التعريف الرياضي

يقال أن نهاية الدالة عند النقطة a هي b
إذا كان لكل جوار حول النقطة b بنصف قطر r نستطيع أن نجد جوار حول النقطة a نصف قطره sبحيث تكون

كل صور عناصر الجوار للنقطة a (فيما عدا a نفسها) واقعة ضمن
الجوار حول b بنصف القطر r

أرجو أن يكون هذا واضحا
و النقطة المهمة هنا أننا نبدأ بالجوار حول b و هذا الجواريتم اختياره عشوائيا بدون شروط أما الجوار حول a فيكفي أن نجد جوار واحد يحقق الشرط لتحقق التعريف

يجب ان يكون مفهوم النهاية واضحا قبل الخوض في أي تفاصيل أخرى


و لنرجع إلى السؤال في الصفحة الأخرى هناك
و لنتذكر يجب أن نفهم النهايات حول النقاط بشكل جيد قبل الحديث عن النهايات عند المالانهاية
لأن الفكرة لن تختلف و لكن نحن بحاجة لعدة تعديلات

فهل الأمور واضحة

[لا اعرف شيئ]

اسف اخت تغريد يبدو اني ضعت قليلا فأرجو ان توضحي انتي قلتي

((( النقطة المهمة هنا أننا نبدأ بالجوار حول b و هذا الجواريتم اختياره عشوائيا بدون شروط))))لا اعتقد انه بالامكان ان نأخذ الجوار حول b بدون شروط تعرفي انه يجب ان نأخذ الجوار حول b محققاً
للشرط |x – b| < r

وقلتي ايضاً

((((أما الجوار حول a فيكفي أن نجد جوار واحد يحقق الشرط لتحقق التعريف))))
ان كنتي تقصدين انه يكفي ان نجد جوارا واحد حول a بالنسبه لكل جوار حول b فهذا مفهوم

طيب هنا انا لا اعتقد انه يمكن ان تجدي اكثر من جوار واحد لان نصف القطر s ونصف القطر b مرتبطين معا أي مقترنين معاً فمقابل كل جوار b اكيد سيتواجد جوار واحد s لا اكثر

[لا اعرف شيئ]

عفوا اقصد بالشرط |x – b| < r

الشرط

[تغريـد]

اسف اخت تغريد يبدو اني ضعت قليلا فأرجو ان توضحي انتي قلتي

((( النقطة المهمة هنا أننا نبدأ بالجوار حول b و هذا الجواريتم اختياره عشوائيا بدون شروط))))لا اعتقد انه بالامكان ان نأخذ الجوار حول b بدون شروط تعرفي انه يجب ان نأخذ الجوار حول b محققاً
للشرط |x – b| < r


حسنا أخي هذا ليس شرطا و إنما هذا تعريف الجوار نفسه أقصد بدون شروط أي أن نصف قطر الجوار ليس عليه شروط بمعني أن التعريف يجب أن ينطبق لكل نصف قطر جوار ممكن مهما كبر أو صغر
(و طبعا يزداد الأمر صعوبة كلما صغر نصف القطر)


وقلتي ايضاً

((((أما الجوار حول a فيكفي أن نجد جوار واحد يحقق الشرط لتحقق التعريف))))
ان كنتي تقصدين انه يكفي ان نجد جوارا واحد حول a بالنسبه لكل جوار حول b فهذا مفهوم


هذا جيد


طيب هنا انا لا اعتقد انه يمكن ان تجدي اكثر من جوار واحد لان نصف القطر s ونصف القطر b مرتبطين معا أي مقترنين معاً فمقابل كل جوار b اكيد سيتواجد جوار واحد s لا اكثر


كلام جميل و لكن تذكر أنه إذا كان جوار نصف قطره s حول a صالح فإن أي جوار نصف قطره أقل من s سيكون أيضا صالح

فكر معي لماذا

[لا اعرف شيئ]

السلام عليكم
الاخت تغريد قلتي انه

إذا كان جوار نصف قطره s حول a صالح فإن أي جوار نصف قطره أقل من s سيكون أيضا صالح

( هل يا ترى لانه عندما سوف تسعى x الى العدد a سيكون ذلك بشكل متزايد تماما او متناقص تماما او متزايد ومتناقص معا يقابل انه سوف تتزايد الدالة تماما اوتتناقص تماما او تتزايد وتتناقص معا الى العدد b )
بصراحة وصلت حدود استيعابي الى هنا فقط

هل ماقلتيه يا اختي يطبق على هذه الحاله فقط ام جميع الحالات (عندما تسعى x الى اللانهاية الموجبة او السالبه )

[تغريـد]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة لا اعرف شيئ السلام عليكم الاخت تغريد قلتي انه ( هل يا ترى لانه عندما سوف تسعى x الى العدد a سيكون ذلك بشكل متزايد تماما او متناقص تماما او متزايد ومتناقص معا يقابل انه سوف تتزايد الدالة تماما اوتتناقص تماما او تتزايد وتتناقص معا الى العدد b ) بصراحة وصلت حدود استيعابي الى هنا فقط هل ماقلتيه يا اختي يطبق على هذه الحاله فقط ام جميع الحالات (عندما تسعى x الى اللانهاية الموجبة او السالبه )

جواب السؤال الأول لا ليس هذا هو السبب فليس هناك ما يدعو إلى هذا الارتباط التام بين قيم x و y
لمجرد أن الدالة لها نهاية

إن السبب يكمن في التعريف

طالما أنك تدرك أننا نبدأ بأي جوار حول النهاية b و ليكن نصف قطره r
ثم نبحث على جوار حول a
بحيث كل صور الجوار حول a يجب أن تكون داخل الجوار حولb

النقطة المهمة هنا في كلمة كل السابقة
تخيل أن كل قيم x داخل الجوار عبارة عن أسهم
و أن الدالة هي الرامي و وظيفتها هي إلقاء تلك الأسهم نحو الهدف و الذي هو الجوار حول b

و كما تعلم كلما زادت مساحة الهدف كانت المهمة أسهل و تصعب المهمة كلما صغرت مساحة الهدف
و كما تعلم كلما كان الجوار ذا نصف قطر كبير يصيح الجوار كبيرا و يصبح من السهل أن تكون صور كل عناصر الجوار حول a داخله
و لكن المهمة تصعب عندما تكون r صغيرة لذا التعريف يقول مهما صغرت

نقطة أخري تخيل أننا أخذنا حول النهاية b جوار نصف قطره r
و
وجدنا حول a جوار نصف قطره s
(حسب تعريف النهاية )كل صوره داخل الجوار حولb

و تخيل أننا أخذنا جوار آخر حول a ذا نصف قطر أصغر t
ما الذي سيحدث

لاحظ أن الجوار حول a ذا نصف القطر t (الجوار الأول) سيكون محتوى ضمن الجوار ذا نصف القطر s (الجوار الثاني)
و بالتالي كل عناصرالجوار الأول ستكون عناصر في الجوار الثاني

فإذا كانت عناصر الجوار الثاني كلها لها صور في جوار b (حسب تعريف النهاية )
فإن هذا سينطبق على عناصر الجوار الاول لأنها مجموعة جزئية من الثاني

هذا كل ما في الأمر

أرجو أن تكون الصورة قد وضحت

إن كان هناك خلل فأرجو أن تعطيني انطباعك حول معنى الجوار عمليا في مخيلتك

دعنا نترك حالات الملانهاية جانبا الآن حتى تثبت الفكرة العامة للنهايات

[لا اعرف شيئ]

الاخت تغريد المشكلة عندي ليست في فهم معنى الجوار اتمنى ان تفهميها من سياق الكلام
سأبدأ الحديث من هنا وهذا الفرض الذي كنت اعتمد عليه في مناقشتي لك ( نحن اخذنا جوار واحد حول النهاية b
ذي نصف قطر وليكن عدد ثابت r وليس لنا علاقة بأي جوار لا قبله ولا بعده وحقق هذا الجوار المراد بحيث كانت جميع صور المتحول x الموجودة في الجوار ذي النصف قطر a واقعة في الجوار ذي النصف قطر r (
انتي قلتي

الجوار حول a ذا نصف القطر t (الجوار الأول) سيكون محتوى ضمن الجوار ذا نصف القطر s (الجوار الثاني) و بالتالي كل عناصرالجوار الأول ستكون عناصر في الجوار الثاني فإذا كانت عناصر الجوار الثاني كلها لها صور في جوار b (حسب تعريف النهاية ) فإن هذا سينطبق على عناصر الجوار الاول لأنها مجموعة جزئية من الثاني

هل تعتقدين ان كلامك هذا صحيح ان لم يكن التابع متزايد تماما او متناقص تماما بدأ من نقطة معينة
ارجو ان تتمعني عندما قلتي ((هذا سينطبق على عناصر الجوار الاول لأنها مجموعة جزئية من الثاني))
لا تنسي هنا ان الجوار ينقص نصف قطره بالتالي هنالك احتمالية ( ان لم يكن التابع متزايد تماما او متناقص تماما )
ان تكون هنالك بعض نقط التابع خارج هذا الجوار مثلا ان كان التابع متزايد وبعدها يتناقص وبالمقابل سيكون نصف القطر يصغر وسوف تكون هذه النقاط المتناقصة خارج الجوار
اتمنى ان يكون الالتباس عندي في الموضوع قد وضح لك
(هل يا ترى عندما تسعى x الى a وتكون النهاية هي b لن نصادف مثل هذه التوابع )
اترك الجواب لك

[لا اعرف شيئ]

بحيث كانت جميع صور المتحول x الموجودة في الجوار ذي النصف قطر a

اقصد ان صور المتحول x الموجود في الجوار

هل يا ترى عندما تسعى x الى a وتكون النهاية هي b لن نصادف مثل هذه التوابع

اقصد مثل هذه المنحنيات

[الصادق]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة لا اعرف شيئ طيب كيف تسخر هذا التعريف في خدمة ايجاد هذه النهاية

اخي الكريم "لا اعرف شيئ" دعنا نأخذ مثال عملي لتطبق عليه المفاهيم التي جاءت في المشاركات القيمة لأختي الكريمة تغريد

إذا كان لديك الدالة التالية:


وطرح عليك السؤال: ماذا يحدث لهذه الدالة عندما تقترب x من الصفر؟
سوف نحاول هنا ان نجيب على هذا السؤال من خلال ثلاثة طرق

1- المدخل العددي. املء الجدول التالي




الان استناداً على البيانات في الجدول اعلاه مامعنى كل من

و


2- المدخل الجبري.
استخدم


لتعبر عن الدالة في صورة مشابهة . اي لكي تتخلص من علامة القيمة المطلقة



أ-ماهو السطر في العلاقة السابقة الذي سوف تستخدمه عند ؟ ثم أوجد قيمة

من العلاقة (3)

بـ - ماهو السطر في العلاقة السابقة الذي سوف تستخدمه عند ؟ ثم أوجد قيمة

من العلاقة (3)

3-المدخل البياني.
ارسم رسم بياني لـ .لتسهيل هذه المهمة استخدم العلاقة (3) .
من خلال النظر الى الرسم البياني ماهي

و ماهي