لغز رياضي روعة (حساب مثلثات). - الصفحة 2

سر الحياة · #11 05-08-2009, 02:48

[rainbow] شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية . [/rainbow]

Einstine · #12 05-08-2009, 04:15

$\begin{gathered}\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \sec x + \csc x = 8 \hfill \\but:\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}},\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}},\sec x = \frac{1}{{\cos x}},\csc x = \frac{1}{{\sin x}} \hfill \\\therefore \sin x + \cos x + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}} = 8 \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}\therefore \sin x + \cos x + \frac{{\sin ^2 x + \cos ^2 x}}{{\sin x\cos x}} + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}} = 8 \hfill \\but:\sin 2x = 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \hfill \\\therefore \sin x + \cos x + \frac{{2\left( {\sin ^2 x + \cos ^2 x} \right)}}{{\sin 2x}} + \frac{{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin 2x}} = 8 \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}\therefore \sin x + \cos x + \frac{2}{{\sin 2x}} + \frac{{2\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\sin 2x}} = 8 \hfill \\\therefore \sin x + \cos x + \frac{2}{{\sin 2x}}\left( {1 + \cos x + \sin x} \right) = 8 \hfill \\\therefore \sin x + \cos x + \frac{2}{{\sin 2x}}\left( {\cos x + \sin x} \right) = 8 - \frac{2}{{\sin 2x}} \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}\therefore \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + \frac{2}{{\sin 2x}}} \right) = 8 - \frac{2}{{\sin 2x}} \hfill \\\therefore 1 + \frac{2}{{\sin 2x}} = \frac{{8 - \frac{2}{{\sin 2x}}}}{{\sin x + \cos x}} \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{2}{{\sin 2x}}} \right)^2= \frac{{\left( {8 - \frac{2}{{\sin 2x}}} \right)^2 }}{{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2 }} \hfill \\ \end{gathered}$

$\therefore 1 + \frac{4}{{\sin 2x}} + \frac{4}{{\sin ^2 2x}} = \frac{{64 - \frac{{32}}{{\sin 2x}} + \frac{4}{{\sin ^2 2x}}}}{{\sin ^2 x + 2\sin x\cos x + \cos ^2 x}}$

$\begin{gathered}\therefore 1 + \frac{4}{{\sin 2x}} + \frac{4}{{\sin ^2 2x}} = \frac{{64 - \frac{{32}}{{\sin 2x}} + \frac{4}{{\sin ^2 2x}}}}{{1 + \sin 2x}} \hfill \\\therefore \left( {1 + \sin 2x} \right)\left( {1 + \frac{4}{{\sin 2x}} + \frac{4}{{\sin ^2 2x}}} \right) = 64 - \frac{{32}}{{\sin 2x}} + \frac{4}{{\sin ^2 2x}} \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}\therefore 1 + \sin 2x + \frac{4}{{\sin 2x}} + 4 + \frac{4}{{\sin ^2 2x}} + \frac{4}{{\sin 2x}} = 64 - \frac{{32}}{{\sin 2x}} + \frac{4}{{\sin ^2 2x}} \hfill \\\therefore \sin 2x + \frac{{40}}{{\sin 2x}} - 59 = 0 \hfill \\\therefore \sin ^2 2x - 59\sin 2x + 40 = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}\therefore \sin ^2 2x - 59\sin 2x + 40 = 0 \hfill \\let:\sin 2x = u \hfill \\\therefore u^2- 59u + 40 = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}if:ax^2+ bx + c = 0 \hfill \\\therefore x_1= \frac{{ - b + \sqrt {b^2- 4ac} }}{{2a}},x_2= \frac{{ - b - \sqrt {b^2- 4ac} }}{{2a}} \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered}\therefore u_1= \frac{{59 + \sqrt {3481 - 160} }}{2} = \frac{{59 + \sqrt {3321} }}{2} = \frac{{59 + 9\sqrt {41} }}{2} \approx 58.3141 \hfill \\,u_2= \frac{{59 - \sqrt {3481 - 160} }}{2} = \frac{{59 - \sqrt {3321} }}{2} = \frac{{59 - 9\sqrt {41} }}{2} \approx 0.6859 \hfill \\\therefore \sin 2x = 58.3141\text{ }or\text{ }\sin 2x = 0.6859 \hfill \\ \end{gathered}$

مهند الزهراني · #13 05-08-2009, 04:28

حل رائع وعبقري كما تصورته تماما وهذا ما اعتدناه منك أستاذ Einstine مع ملاحظة أن القيمة الأولى مرفوضة لأن :
$-1\leq sinx \leq1$

Einstine · #14 05-08-2009, 04:41

بارك الله فيك أخي مهند وجزاك الله خيرا ً على هذا الكلام الطيب
و أعتذر عن نسياني أن أذكر أن الحل الأول مرفوض و جزاك الله خيرا ً على التذكير ..
و أشكرك على هذا السؤال العبقري من صاحبه العبقرى ..

سر الحياة · #15 05-08-2009, 05:19

حل رائع اخ اينشتاين
شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك

متفيزقة مبدعة · #16 05-08-2009, 06:34

[grade="00008B C0C0C0 008080 8B0000"]شكرا لك اينشتاين على الحل

والله طويل لكن كله اقتضاءات لذلك كان حلو

وشكرا لك مهند لى طرح السؤال
وننتظر سؤال جديد في الرياضيات مو نات معودنا على كذا

شكرا لك اخوي تحياتي الرقميه لك

موفق بإذن الله ... لك مني أجمل تحية . [/grade]

- أنشودة المطر - · #17 05-08-2009, 06:38

[align=center]

المسئلة فيها شيء من الصعوبة.. وتحتاج الى نفس رياضي

وقد أستغرقت عدة ساعات و أنا أحاول حلها ..

للأسف لم أصل إلى الناتج مع أنني أتبعت تقريبا نفس خطوات الحل ,,

على الرغم من أطلاعي على مسائل كتاب كالكس لـ ساركوسكي الا أنه لم تحتوي على مسألة مشابهه لما طرحته أو بدرجة صعوبتها..

تكمن صعوبة المسألة في حاجتها الى نفس طويل ودقة في العمليات الحسابية والا سيفقد الطالب قدرته في المواصلة..

لقد أستمتعت حقا بالمسألة.. ومنتظرة جديدك..

ولكن لدي سؤال .. من أين حصلت على هذه المسألة .. فأنا مهتمة جدا لكتب الرياضيات ..

وشكرا لك

[/align]

مهند الزهراني · #18 05-08-2009, 06:41

بارك الله فيك وحياك الله في منتدانا بالنسبة لنوعية هذه المسائل لا تعتمد على المعلومات الرياضية وانما تعتمد على الفكر الرياضي السليم والحدس وكما قلت النفس الطويل والصبر وان شاء الله أزودكم بمواقع تطرح مثل هذه الأسئلة وعدة كتب كذلك في أقرب وقت...

The Physics · #19 05-08-2009, 09:17

ظننت أن أينشتاين معنا في المنتدى بعد ان رأيت الحل
مجهود واضح
شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .

nr-omar · #20 05-08-2009, 10:43

أخـــي الإينشتاين حل رائع و ممتـــاز
لكن في ليلة الأمس بحتث في الكتب عن دستور موافر ... حتى أحل هذه المسألة و استغرقت وقت طويل طويل طويل في البحث
و الحمد لله حللتها ... باستعمال التحليل ... و الأخ انشتاين حلها في ظرف صغير
و الله بــــرافو ... و شكرا أخي مهند على هذه التمارين الــرائع

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !