مجاميع مثلثية! - الصفحة 2

مهند الزهراني · #11 26-08-2009, 16:46

لي خصام منذ فترة مع الأعداد المركبة ، لكنها تبدو فكرة قيمة لم لا نجرب؟ وأكرر أني لا أريد جواب السؤااااال وانما أريد أن نطرح جميعا أفكارنا حتى نستفيد جميعا وليس من أجل واجب أو الزام وانما من حب هذا العمل ومشكورين على كل حال....

تغريـد · #12 26-08-2009, 21:46

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

أي تصبح الصيغة المطلوب ايجاد مجموعها:

$\sum_{i=1}^{360}sinx$

والصيغة الثانية:

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x$

أنت مثلي إذا
فهناك مساقات في الرياضيات لا أطيقها
و من سوء حظي أن منها المعادلات التفاضلية و التحليل العددي

على كل حال ألا يفترض أن تكون
$\sum_{i=1}^{360}sinx=0$
لان كل زاوية في الربع الأول و الثاني جيبها موجب يقابلها زاوية في الربع الثالث و الرابع على الترتيب جيبها سالب

بينما يجب أن يكون

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4\sum_{i=1}^{90}sin^2x$
لأن أي زاوية في الربع الثاني أو الثالث أو الرابع يقابلها زاوية في الربع الأول لها نفس الجيب (لو لم ننتبه للإشارة بسبب التربيع )

و في نفس الوقت كل زاوية من صفر إلى 45

$sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)$

و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع

$\sum_{i=1}^{90} sin^2x= \sum_{i=1}^{45} sin^2x+ sin^2 (90-x)=\sum_{i=1}^{45}1=45$

و بالتالي يكون المجموع الكلي

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times 45=180$

اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

تغريـد · #13 26-08-2009, 22:06

حسنا هناك بعض التعديلات التي لم يقبلها المنتدى لذا سأعيدها هنا

و في نفس الوقت كل زاوية من 45 إلى 90

$sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)$

فلو زاوجنا كل زاوية من 1إلى 45 مع متممتها إلى 90 سنحصل على كل الزوايا من 1 إلى 89 و لكن ستكون الزاوية 45 مذكورة مرتان لذا نطرحها
و كذلك نضيف الزاوية 90 لأن متتمتها 0 غير موجودة
و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع

$\sum_{i=1}^{90} sin^2x= 1+ \sum_{i=1}^{45} (sin^2x+ sin^2 (90-x))-sin^2 45=1+ \sum_{i=1}^{45}1 -\frac{1}{2} =45-\frac{1}{2}$

و بالتالي يكون المجموع الكلي

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times45.5=182$

اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

رابح26 · #14 26-08-2009, 23:10

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

نعلم جميعا وجود صيغ لمجاميع خاصة مثل:

$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

صيغة السؤال:

نريد أن نستحث أفكار لصيغة خاصة لمجموع نسبة مثلثية معينة أو مربعها ولنقل للتسهيل أنها دالة sin (جا) أي أننا نريد ايجاد صيغة عامة لمجاميع مثل:

$\sum_{k=1}^{n}sink$

$\sum_{k=1}^{n}sin^2k$

يمكننا القول بأن هذا السؤال عبارة عن مشروع "بحثي" أتمنا أن نجد فيه المتعة والفائدة (لم أستطع ايجاد صيغة حتى الآن لكني سأحاول ) بالتوفيق:a_plain111:

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
باستعمال الشكل الأسي للعدد المركب وصيغة جمع المتتالية الهندسية يمكن الحصول على صيغة
لمجموع cosk و sink من 1 إلى n

مهند الزهراني · #15 27-08-2009, 02:22

حل جميل جدا أخت تغريد:s_thumbup: ومبروك على كل حال الفكرة في رأسي ولم أستطع صياغتها جيدا في قالب رياضي

، وبالنسبة لأخي رابح أيضا حل جميل لكني كما قلت

مع الأعداد المركبة وأعاني بعض الصعوبات فيها ولو أنها جميلة بارك الله فيكم جميعا ومع أفكار جديدة قادمة ان شاء الله...:a_plain111:

الصادق · #16 27-08-2009, 06:19

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

حسنا هناك بعض التعديلات التي لم يقبلها المنتدى لذا سأعيدها هنا

و في نفس الوقت كل زاوية من 45 إلى 90

$sin^2x= cos^2 (90-x)=1- sin^2 (90-x)$

فلو زاوجنا كل زاوية من 1إلى 45 مع متممتها إلى 90 سنحصل على كل الزوايا من 1 إلى 89 و لكن ستكون الزاوية 45 مذكورة مرتان لذا نطرحها
و كذلك نضيف الزاوية 90 لأن متتمتها 0 غير موجودة
و بالتالي مجموع الحدود التسعين الأولى يساوي مجموع

$\sum_{i=1}^{90} sin^2x= 1+ \sum_{i=1}^{45} (sin^2x+ sin^2 (90-x))-sin^2 45=1+ \sum_{i=1}^{45}1 -\frac{1}{2} =45-\frac{1}{2}$

و بالتالي يكون المجموع الكلي

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x=4 \times45.5=182$

اعتذر إن كان هناك خطأ نتيجة السرعة
و لكن الفكرة أيضا جميلة جدا

بارك الله فيك أخي مهند

حل رائع جداً
ايضاً اريد ان انوه باننا يجب ان نحذف من النتيجة الاخيرة مربع جيوب الزوايا 90 و 270 نسبة لتكرارهما فى المجموع حيث تتكرر 90 فى المجموع فى نهاية الربع الاول و فى بداية الربع الثانى و ال270 فى نهاية الربع الثالث و بداية الربع الرابع

ولذلك تصبح النتيجة النهائية 180

والله اعلم

الصادق · #17 27-08-2009, 06:56

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

أي تصبح الصيغة المطلوب ايجاد مجموعها:

$\sum_{i=1}^{360}sinx$

والصيغة الثانية:

$\sum_{i=1}^{360}sin^2x$

لو اعتبرت الحد الاعلى فى المجموع للمسألة الاولى يساوى 360 فان المجموع سوف يكون صفراً و هذا واضح جداً من شكل منحنى جيب الزواية لان كل القيم الموجبة التى تاتى من الربعين الاول و الثانى تلقيها تماماً القيم السالبة التى تاتى من الربعين الثالث و الرابع
ولتأكد عوض فى العلاقة التى وضعتها سابقاً مع ملاحظة الاخت تغريد (تغير الزوايا من وحدة الريديان الى وحدة درجة)

يمكن ايضاً ان تبرهن هذه العلاقة عن طريق كتابة الجيب بدلالة جيب التمام و الذى يمكن كتابته بدلالة مربع جيب نصف الزاوية

$\\ \sum_{k=1}^{360}\sin k =\sum_{k=1}^{360}\cos (90-k)=\sum_{k=1}^{360}\left( 1-2\sin^2(\frac{90-k}{2})\right )\\ \\ \sum_{k=1}^{360}\sin k = 360 -2 \sum_{k=1}^{360}\sin^2(\frac{90-k}{2})$

والحد الاخير يشبة تماماً المسألة الثانية لان مع فرق ان العد سوف يبدا من 89 و ينتهى عند -270 و لذلك يمكنك ان تغير رمز الجمع k برمز اخر j=90-k والنتيجة سوف تكون نفسها 180
$\sum_{k=1}^{360}\sin k =360-2(180)=0$

والله اعلم

تغريـد · #18 28-08-2009, 00:33

صدقت أخي الكريم الصادق
فرغم أن الدورة الأولى بدأت من الزاوية1 إلى 90
الدورة الثانية ستبدأ من 179إلى 90
و الثالثة ستبدأ من 181 إلى 270
و الرابعة من 359 إلى 270
شكرا لك و بارك الله فيك
و لك خالص الشكر أخي مهند

رابح26 · #19 28-08-2009, 15:24

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الصيغة التي سبق لي ذكرها
$\sum_{k=1}^{360}sink=((sin1+sinn-sin(n+1))/(2(1-cos1)))$
تعطي نفس النتيجة عندما يكون ن = 360
$\sum_{k=1}^{360}sin k=\frac{(sin1+sin 360-sin(360+1))}{2(1-cos1)}$
أي تساوي صفر.
والواجب استعمال الراديان بدلا من الدرجات وذلك بضرب كل الزوايا بالمقدار
$\frac{2\pi }{360}$

رابح26 · #20 28-08-2009, 15:36

المعنى الهندسي للمجموع يفسر انعدام المجموع
فلو جمعنا المقدار المركب cosk+i.sink على k من 1 إلى 360
لكمثل المجموع دائرة مضلعية منتظمة عدد أضلاعها 360 ضلع متساوي
ينطبق مبدأ الضلع الأول على نهاية الضلع الأخير وبالتالي فمجموعها الاتجاهي معدوم
وبالتالي فإن مجموع مسقطيه معدوم
أي أن مجموع sink = مجموع cosk = صفر

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !