spin observable - الصفحة 3

الصادق · #21 17-03-2010, 05:56

الان دعنا نطبق مفهوم مؤثر الكثافة لنحدد ما اذا كانت الحالة ابساي حالة نقية (مستقطبة) ام غير نقية
نلاحظ ان الكاتب قد اختار ان يتحدث عن حالة لف مغزلي اعلى (صفحة 3340 )(حالة الاستقطاب)
$|\psi\rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}$

الان اذا حسبنا مؤثر الكثافة فسوف نجد ان
$\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle\psi|=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \end{bmatrix}=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$
و Trace مؤثر الكثافة يساوي
$\rm Tr \hat{\rho}=\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} =1$
وكما قلنا فى المشاركة السابقة فان هذه عبارة عن خاصية عامة تحققها كل من الحالات النقية والحالات غير النقية
الان اذا قمنا بحساب مربع مؤثر الكثافة فسوف نحصل على
$\\ \hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\\ \\ \\ \hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) & \sin^2\frac{\theta}{2} (\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2} ) \end{pmatrix}=\hat{\rho}$
و هكذا طالما ان مربع مؤثر الكثافة يساوي نفسه فان ابساي عبارة عن حالة نقية وتحقق
$\rm Tr \hat{\rho}^2=1$

اما فى حالة عدم الاستقطاب فان المنظومة اما ان تكون فى حالة لف مغزلي اعلى
$|\psi_1\rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}$
باحتمال $P_1=\frac{1}{2}$
او تكون فى حالة لف مغزلي اسفل
$|\psi_2\rangle=\begin{bmatrix} \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ \\ -\cos\frac{\theta}{2}\end{bmatrix}$
باحتمال $P_2=\frac{1}{2}$
وعليه فان مؤثر الكثافة ( المعادلة (8)) يساوي

$\\ \hat{\rho}=\frac{1}{2}|\psi_1\rangle\langle\psi_1|+\frac{1}{2}|\psi_2\rangle\langle\psi_2|=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \cos^2\frac{\theta}{2} & \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ \sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \sin^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}+ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sin^2\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{-i\phi} \\ & \\ -\sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} & \cos^2\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}\\ \\ \hat{\rho}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
وتحقق
$\rm Tr \hat{\rho}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
اما مربع مؤثر الكثافة
$\hat{\rho}^2=\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0\\ 0& \frac{1}{4} \end{pmatrix}\neq \hat{\rho}$
لا يساوي نفسه ولذلك فان حالة عدم الاستقطاب هذه تمثل حالة غير نقية اي حالة خليط احصائي نسبة لتحقق الشرط
$\rm Tr \hat{\rho}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}< 1$
و هكذا نجد ان حالة عدم الاستقطاب هي حالة خليط لف مغزلي اعلى و لف مغزلي اسفل بأوزان (احتمالات) متساوية و هي كما برهنا هنا تمثل حالة غير نقية

هذا والله اعلم

الصادق · #22 17-03-2010, 07:01

و اسمح لي أخي الكريم أن أتساءل عن mixed state هل ستكون عبارة عن تركيبة خطية من عناصر من pure state و ما هي شروطها كمؤثر
أقصد هل هي self adjoint operator
؟؟؟؟؟؟؟؟؟

لقد تحدثنا عن هذه النقطة فى المشاركتين السابقتين ووضحنا انها لا تمثل مؤثر و انما يمكننا باستخدامها ان نبني مؤثر الكثافة

من ناحية أخرى لو حسبنا متجه الحالة في حالة أن الاتجاه لأسفل فسوف نحصل على
$|\psi\rangle=\begin{pmatrix} \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi}\\-\cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$

من الواضح وجود علاقة بينها و بين حالة كون الاتجاه لأعلى فهل هناك تفسير لذلك ؟؟؟

نعم هذا صحيح و العلاقة بينهما هي التعامد اي ان حالة الف المغزلي الاعلي تتعامد مع حالة اللف المغزلي الاسفل اي يوجد استقلال خطي و التفسير هو اما ان تكون المنظومة فى حالة لف مغزلي اعلى او ان تكون فى حالة لف مغزلي اسفل

أرجو ألا أثقل عليك و لكني أهتمامي في الأساس منصب على فهم ربط المؤئر في اتجاه y, z
لاني أرجو أن أصل لإعطاء معنى فيزيائي للدوال التي تظهر في آخر صفحة 3340 من البحث
لأن وجود مثل هذا المعنى يعزز كثيرا وجهة نظري التي أسعى لإثباتها في بحثي
فبارك الله فيك أخي الكريم و أفاض عليك من جوده و فضله

لا ابداً اختي الكريمة لم تثقلي علي مطلقاً و اني احاول بعون الله تعالى ان اساعد فى حدود معرفتي المتواضعة
لقد توصلنا فى المشاركة رقم 13 فى حالة الكرة (الحالات النقية) الى
$w(\sigma_y=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\sin\phi}{2}$
و الى
$w(\sigma_z=\pm 1)=\frac{1\pm\cos \theta}{2}$
وهكذا نجد ان احتمال ان تكون المنظومة فى حالة لف اعلى فى محور y و لف اعلى فى محور z هو حاصل ضرب الاحتمالات المقابلة
$\\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=w(\sigma_y=1)w(\sigma_z=1)=\frac{1+\sin\theta\sin\phi}{2}\times \frac{1+\cos\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=\frac{1}{4}(1+\cos\theta)(1+\sin\theta\sin\phi)=v(\theta,\phi)$
اما احتمال ان تكون المنظومة فى حالة لف اسفل فى محور y و لف اعلى فى محور z هو حاصل ضرب الاحتمالات المقابلة
$\\ w(\sigma_y=-1,\sigma_z=1)=w(\sigma_y=-1)w(\sigma_z=1)=\frac{1-\sin\theta\sin\phi}{2}\times \frac{1+\cos\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_y=-1,\sigma_z=1)=\frac{1}{4}(1+\cos\theta)(1-\sin\theta\sin\phi)=\frac{1+\cos \theta}{2}-v(\theta,\phi)$
وبنفس الطريقة نحصل على
$\\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=-1)=w(\sigma_y=1)w(\sigma_z=-1)=\frac{1+\sin\theta\sin\phi}{2}\times \frac{1-\cos\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=-1)=\frac{1}{4}(1+\sin\theta\sin\phi)(1-\sin\theta\sin\phi)=\frac{1+\cos\theta}{2}-v(\theta,\phi)$
وعلى
$\\ w(\sigma_y=-1,\sigma_z=-1)=w(\sigma_y=-1)w(\sigma_z=-1)=\frac{1-\sin\theta\sin\phi}{2}\times \frac{1-\cos\theta}{2}\\ \\ w(\sigma_y=-1,\sigma_z=-1)=\frac{1}{4}(1-\sin\theta\sin\phi)(1-\sin\theta\sin\phi)=v(\theta,\phi)-\frac{\sin\theta\sin\phi}{2}-\frac{\cos\theta}{2}$

اما فى الحالة العامة (مثلاً فضاء جزئي داخل الكرة , لقد اخذ الكاتب حالة tetrahedron) فان الدالة v يمكن ان تأخذ اي قيمة تجعل الاحتمالات الاربعة اعلاه موجبة و حتى اختيارنا السابق يبقى صحيحاً طالما انه حقق قيم احتمالات موجبة

والله اعلم

تغريـد · #23 17-03-2010, 19:41

أدامك الله ذخرا لنا و للأمة أخي الكريم الصادق
و أفاض عليه من نوره و عفوه و عافيته
أخي الكريم لدي بعض التساؤلات الخفيفة بإذن الله
1 - في هذا الجزء المقتطف من المشاركة رقم 12

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

وكذلك نستطيع كتابة المتجه الذاتي للف المغزلي فى اتجاه اختياري r

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$
نقول ان الحالة الاولى تمثل حالة استقطاب فى اتجاه المحور x بينما ان الحالة الثانية تُمثل حالة استقطاب فى اتجاه محور y واخيراً فان الحالة الاخيرة تًمثل حالة استقطاب فى اتجاه اختياري r

تقصد أخي الكريم أن $\theta$
هنا هي
$\frac{\theta}{2}$
أليس كذلك ؟

2- بالنسبة لقولك أخي الكريم

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

الان نريد ان نحسب قيمة احتمال ان تتخذ الحالة الذاتية ابساي حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور x , ولكن لما كان الاحتمال يساوي مربع سعة الاسقاط, وكان اسقاط المتجه ابساي فى اتجاه المحور x يُعطى بـ حالة لف مغزلي الى الاعلى او الى الاسفل فى اتجاه المحور
$_x\langle \pm|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & \pm 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2}\\ \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})$
فان مربع سعة الاسقاط يساوي
$\\w(\sigma_x=\pm 1)=|_x\langle \pm|\psi\rangle|^2=|\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})|^2\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{-i\phi})(\cos\frac{\theta}{2}\pm \sin\frac{\theta}{2}\rm e^{i\phi})\\\\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1}{2}(\cos^2\frac{\theta}{2}+\sin^2\frac{\theta}{2}\pm cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}(\rm e^{i\phi}+\rm e^{-i\phi}))\\ \\ w(\sigma_x=\pm 1)=\frac{1\pm \sin \theta\cos\phi}{2}$

- فهل المقصود بالاحتمال في هذه الحالة هو احتمال أن يصبح الاستقطاب في اتجاه محور x إذا كانت القوة التي تعمل على الاستقطاب في اتجاه هي في اتجاه المتجه r المحدد بكل من $\theta ,\phi$

أم أنه إذا كان اتجاه الاستقطاب في اتجاه r فهو احتمال أن يصبح في اتجاه x عند قياسه
أم ماذا؟؟
3- نلاحظ ان الاحتمال عند بعض القيم $\theta ,\phi$ يساوي 1 فماذا يعني هذا فهذا يعني أنه لا بد أن يكون الاحتمال للإمكانات الاخرى صفرا
و إلا كيف نفسر ذلك.

4- أليس صحيحا أنه إذا كان الاستقطاب في اتجاه x مثلا فهذا يعني عدم إمكانية أن يكون الاستقطاب في اتجاه y في نفس الوقت؟؟

أخي الكريم أعتقد أنه بالفعل كما يقال بالمثال يتضح المقال و أنا ممتنة لك كثيرا لكل كلمة وضحت لي فيها سواء كان هنا أم في الملتقيات الاخرى فاعتقد أن جهودك أتت أكلها بإذن الله

أخي الكريم
أريد أن أوضح بأن المثال حين تناول التوزيع المرتبط في اتجاه y, z فإنه في الغالب يقصد
القياس بالنسبة لجسمين لهما لف مغزلي -0.5
ربما يتضح هذا أكثرمن خلال ورقة البحث المرفقة ص974
section 3
فهل هذا يجعل الامور تختلف ؟

الصادق · #24 17-03-2010, 22:10

أدامك الله ذخرا لنا و للأمة أخي الكريم الصادق
و أفاض عليه من نوره و عفوه و عافيته

امين واياك اختي الكريمة و اسأل الله تعالى ان يبارك فيك و يجزيك خير الجزاء وان يزادك من فضله و يعاملك برحمته و عفوه

أخي الكريم لدي بعض التساؤلات الخفيفة بإذن الله
1 - في هذا الجزء المقتطف من المشاركة رقم 12
فهل المقصود بالاحتمال في هذه الحالة هو احتمال أن يصبح الاستقطاب في اتجاه محور x إذا كانت القوة التي تعمل على الاستقطاب في اتجاه هي في اتجاه المتجه r المحدد بكل من $\theta ,\phi$

أم أنه إذا كان اتجاه الاستقطاب في اتجاه r فهو احتمال أن يصبح في اتجاه x عند قياسه
أم ماذا؟؟

المقصود هو ان تتخذ ابساي عند اجراء عملية القياس حالة لف مغزلي اعلى فى اتجاه محور x

3- نلاحظ ان الاحتمال عند بعض القيم $\theta ,\phi$ يساوي 1 فماذا يعني هذا فهذا يعني أنه لا بد أن يكون الاحتمال للإمكانات الاخرى صفرا
و إلا كيف نفسر ذلك.

نعم هذا صحيح فمثلاً اذا كانت
$\theta=\phi=\frac{\pi}{2}$
فان
$w(\sigma_y=+1)=1 \quad \; \rm and \quad w(\sigma_y=-1)=w(\sigma_x=\pm 1)=w(\sigma_z=\pm 1)=0$

و اذا كانت
$\theta=0$
فان
$w(\sigma_z=+1)=1 \quad \; \rm and \quad w(\sigma_z=-1)=w(\sigma_x=\pm 1)=w(\sigma_y=\pm 1)=0$

, اذا كانت
$\theta=\frac{\pi}{2}\; \rm and \; \phi=0$
فان
$w(\sigma_x=+1)=1 \quad \; \rm and \quad w(\sigma_x=-1)=w(\sigma_y=\pm 1)=w(\sigma_z=\pm 1)=0$

4- أليس صحيحا أنه إذا كان الاستقطاب في اتجاه x مثلا فهذا يعني عدم إمكانية أن يكون الاستقطاب في اتجاه y في نفس الوقت؟؟

نعم هذا صحيح و لكن نحن لا نستطيع ان نجزم باتجاه محدد للاستقطاب ما لم تتوفر لدينا المعلومة منذ البداية. اما اذا كنا نعلم مسبقاً (استخدمنا مستقطب) ان اتجاه الاستقطاب فى اتجاه x مثلاً فان احتمال الاستقطاب فى اتجاه المحاور الاخرى سوف يساوي صفراً

خي الكريم
أريد أن أوضح بأن المثال حين تناول التوزيع المرتبط في اتجاه y, z فإنه في الغالب يقصد
القياس بالنسبة لجسمين لهما لف مغزلي -0.5
ربما يتضح هذا أكثرمن خلال ورقة البحث المرفقة ص974
section 3
فهل هذا يجعل الامور تختلف ؟

نعم هذه قضية اخرى و من الواضح انه قام بضرب فضاءات هيلبرت المرافقة لكل جسيم مُفرد و بالتالي فان دوال الحالة هي ضرب لدوال الحالة لكل جسيم
هذا والله اعلم

الصادق · #25 18-03-2010, 00:14

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

1 - في هذا الجزء المقتطف من المشاركة رقم 12

تقصد أخي الكريم أن $\theta$
هنا هي
$\frac{\theta}{2}$
أليس كذلك ؟

نعم اختي الكريمة هذا صحيح. و لقد حاولت التعديل حينها ولكن انقضت العشرة دقائق و لم استطيع تعديل المعادلة. لذلك ارجو ان يقوم المشرف باستبدال المعادلة
$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$

بـ

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\frac{\theta}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\frac{\theta}{2}|+\rangle_z+\sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$

تغريـد · #26 18-03-2010, 12:09

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

نعم اختي الكريمة هذا صحيح. و لقد حاولت التعديل حينها ولكن انقضت العشرة دقائق و لم استطيع تعديل المعادلة. لذلك ارجو ان يقوم المشرف باستبدال المعادلة
$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\theta\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\theta \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\theta|+\rangle_z+\sin\theta \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$

بـ

$|\psi \rangle=\begin{bmatrix} \cos\frac{\theta}{2} \\ \sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \end{bmatrix}=\left\{\cos\frac{\theta}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+\sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}=\cos\frac{\theta}{2}|+\rangle_z+\sin\frac{\theta}{2} \rm e^{i\phi} |-\rangle_z$

لا بأس أخي الكريم الأمر واضح و لكني خفت أنه هناك شيء لم انتبه له

تغريـد · #27 18-03-2010, 12:51

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

امين واياك اختي الكريمة و اسأل الله تعالى ان يبارك فيك و يجزيك خير الجزاء وان يزادك من فضله و يعاملك برحمته و عفوه

المقصود هو ان تتخذ ابساي عند اجراء عملية القياس حالة لف مغزلي اعلى فى اتجاه محور x

نعم هذا صحيح فمثلاً اذا كانت
$\theta=\phi=\frac{\pi}{2}$
فان
$w(\sigma_y=+1)=1 \quad \; \rm and \quad w(\sigma_y=-1)=w(\sigma_x=\pm 1)=w(\sigma_z=\pm 1)=0$

و اذا كانت
$\theta=0$
فان
$w(\sigma_z=+1)=1 \quad \; \rm and \quad w(\sigma_z=-1)=w(\sigma_x=\pm 1)=w(\sigma_y=\pm 1)=0$

, اذا كانت
$\theta=\frac{\pi}{2}\; \rm and \; \phi=0$
فان
$w(\sigma_x=+1)=1 \quad \; \rm and \quad w(\sigma_x=-1)=w(\sigma_y=\pm 1)=w(\sigma_z=\pm 1)=0$

نعم هذا صحيح و لكن نحن لا نستطيع ان نجزم باتجاه محدد للاستقطاب ما لم تتوفر لدينا المعلومة منذ البداية. اما اذا كنا نعلم مسبقاً (استخدمنا مستقطب) ان اتجاه الاستقطاب فى اتجاه x مثلاً فان احتمال الاستقطاب فى اتجاه المحاور الاخرى سوف يساوي صفراً

نعم هذه قضية اخرى و من الواضح انه قام بضرب فضاءات هيلبرت المرافقة لكل جسيم مُفرد و بالتالي فان دوال الحالة هي ضرب لدوال الحالة لكل جسيم
هذا والله اعلم

اشكرك أخي الكريم بالغ الشكر
أخي الكريم لقد كفيت و وفيت و أنا لم أكن اطمع أبدا في أكثر توقعاتي أملا بالوصول لهذه المرحلة
أسأل الله أن يرضى عنك و أن يعطيك حتى يرضيك.

أخي الكريم يؤرقني منذ البارحة بعض التساؤلات فيما تحدث عنه في نطاق تعريف التوزبع المرتبط في اتجاه y, z و أود أن أعلم هل توافقني فيها أم لا لأن ذلك يساعدني في تحديد الوجهة التي أبحث فيها

أنه لو كان بالفعل يتعامل مع الدوران المغزلي لجسيمين فيفترض أن يكون لدينا اتجاه لكل منهما للاستقطاب
و بالتالي يجب أن تكون الدالة
$\\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=w_1(\sigma_y=1)w_2 (\sigma_z=1)=\frac{1+\sin\theta _1\sin\phi_1}{2}\times \frac{1+\cos\theta_2}{2}\\ \\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=\frac{1}{4}(1+\cos\theta _2)(1+\sin\theta _1\sin\phi _1)=v(\theta _1, \phi _1, \theta _2, \phi _2)$

و هكذا بالنسبة للدوال الأخرى

الأمر الغريب الآخر هو كونه مثل النقاط الاربعة التي تمثل حاصل الضرب الكارتيزي للقيم الذاتية الممكنه لمؤثري اللف المغزلي في اتجاه كل من y,z على أنها رؤوس هرم
رغم أنها في الواقع هي احداثيات رؤوس مربع ؟؟؟

و هذا يدفعني للتفكير بأن السبب قد يكون أن المثال يتعامل بالفعل كما أشرت أنت منذ البداية مع مؤثري اللف المغزلي في اتجاه y ,z لجسيم واحد
و لكن هذين المؤثرين غير متوافقان و بالتالي هناك تداخل لا بد أن يحدث ناجم عن عمليات القياس (أقصد أنهما يخضعان لمبدأ عدم التحديد كما ذكرت أنت من قبل )
و هذا قد يؤكده قول الكاتبان في صفحة 3341 في آخر أربع أسطر من الفقرة الأولي بأن

"it is impossible to have a joint observable of $\sigma _z \sigma _y$ in standard quantum mechanics"

فهل هناك ما يدعم ذلك أو ينفيه
سيسرني كثيرا أن أعلم رأيك في كل ذلك
و جزاك الله كل خير أخي الكريم الصادق و وفقك و سدد خطاك

الصادق · #28 20-03-2010, 08:16

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد

اشكرك أخي الكريم بالغ الشكر
أخي الكريم لقد كفيت و وفيت و أنا لم أكن اطمع أبدا في أكثر توقعاتي أملا بالوصول لهذه المرحلة
أسأل الله أن يرضى عنك و أن يعطيك حتى يرضيك.

أخي الكريم يؤرقني منذ البارحة بعض التساؤلات فيما تحدث عنه في نطاق تعريف التوزبع المرتبط في اتجاه y, z و أود أن أعلم هل توافقني فيها أم لا لأن ذلك يساعدني في تحديد الوجهة التي أبحث فيها

أنه لو كان بالفعل يتعامل مع الدوران المغزلي لجسيمين فيفترض أن يكون لدينا اتجاه لكل منهما للاستقطاب
و بالتالي يجب أن تكون الدالة
$\\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=w_1(\sigma_y=1)w_2 (\sigma_z=1)=\frac{1+\sin\theta _1\sin\phi_1}{2}\times \frac{1+\cos\theta_2}{2}\\ \\ w(\sigma_y=1,\sigma_z=1)=\frac{1}{4}(1+\cos\theta _2)(1+\sin\theta _1\sin\phi _1)=v(\theta _1, \phi _1, \theta _2, \phi _2)$

و هكذا بالنسبة للدوال الأخرى

الأمر الغريب الآخر هو كونه مثل النقاط الاربعة التي تمثل حاصل الضرب الكارتيزي للقيم الذاتية الممكنه لمؤثري اللف المغزلي في اتجاه كل من y,z على أنها رؤوس هرم
رغم أنها في الواقع هي احداثيات رؤوس مربع ؟؟؟

و هذا يدفعني للتفكير بأن السبب قد يكون أن المثال يتعامل بالفعل كما أشرت أنت منذ البداية مع مؤثري اللف المغزلي في اتجاه y ,z لجسيم واحد
و لكن هذين المؤثرين غير متوافقان و بالتالي هناك تداخل لا بد أن يحدث ناجم عن عمليات القياس (أقصد أنهما يخضعان لمبدأ عدم التحديد كما ذكرت أنت من قبل )
و هذا قد يؤكده قول الكاتبان في صفحة 3341 في آخر أربع أسطر من الفقرة الأولي بأن

"it is impossible to have a joint observable of $\sigma _z \sigma _y$ in standard quantum mechanics"

فهل هناك ما يدعم ذلك أو ينفيه
سيسرني كثيرا أن أعلم رأيك في كل ذلك
و جزاك الله كل خير أخي الكريم الصادق و وفقك و سدد خطاك

بارك الله فيك اختي الكريمة و جزاك خيراً
اتفق معك فى ان فضاء هيلبرت للمنظومة التى بها جسيمين يحتوي على اربعة ابعاد

الأمر الغريب الآخر هو كونه مثل النقاط الاربعة التي تمثل حاصل الضرب الكارتيزي للقيم الذاتية الممكنه لمؤثري اللف المغزلي في اتجاه كل من y,z على أنها رؤوس هرم
رغم أنها في الواقع هي احداثيات رؤوس مربع ؟؟؟

ما فهمته من نص البحث فى الفصل الخامس هو ان مؤثرات اللف المغزلي في اتجاه كل من y,z هي map تنقل نقاط سطح الكرة الى probability measures
ارجو ان تراجعي الـ Dirac measure على الرابط التالي
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_measure
فربما انه يجب على معظم هذه التساؤلات لان الـ Dirac measure يتمتع بخاصية The Dirac measures are the extreme points of the convex set of probability measures on the sample space
اما من الناحية الفيزيائية فاني اتفق معك ومع الكاتب فى ان السبب هو it is impossible to have a joint observable of $\sigma _z \sigma _y$ in standard quantum mechanics

والله اعلم

تغريـد · #29 20-03-2010, 13:51

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

بارك الله فيك اختي الكريمة و جزاك خيراً
اتفق معك فى ان فضاء هيلبرت للمنظومة التى بها جسيمين يحتوي على اربعة ابعاد

ما فهمته من نص البحث فى الفصل الخامس هو ان مؤثرات اللف المغزلي في اتجاه كل من y,z هي map تنقل نقاط سطح الكرة الى probability measures

نعم يا أخي الكريم فقد وجدت بالفعل أننا لو حسبنا الاحتمالات المقابلة للأربع حالات للف المغزلي في اتجاه y,z و مثلناها في الفراغ
$(y,z,w(y,z)),(1,1, w(1,1)),(1,-1, w(1,-1)),(-1,1, w(-1,1)),(-1,-1, w(-1,-1)),$
سنجد بالفعل أن النقاط الاربعة لا يجمعها مستوى واحد و أنها بالتالي تمثل رؤوس هرم ثلاثي

ربما هذا يفسر بعضا مما عناه الكاتبان على كل حال أنا رجوت ألا ترهق نفسك في الاستقصاء حول الأسئلة المطروحة كل ما أرجوه أن تجيبني فقط إذا كان لديك إجابة حاضرة و إلا أنا أولى أن أبحث لشأني

أما بالنسبة لDirac measure فإحب ان أوضح أن المشكلة الإساسية التي بني عليها البحث هي الفروقات الموجودة بين probability measures كما تعرف في نظرية الاحتمالات و بين probability measures في Hilbert space quantum mechaincs
و أحد المعالم الرئيسية للفرق يتبدى من خلال كون
The Dirac measures are the extreme points of the convex set of probability measures on the sample space
و هنا نجد أن أي توزيع احتمالي عادي يمكن تمثيلة بتركيبة convex من Dirac measure
و هذه التركيبة وحيدة
و لكن في ميكانيكا الكم لو اعتبرنا أن Dirac measure تقابل pure stated فإن mixed states تمثل أيضا بتركيبة convex من pure states كما شرحت لنا ذلك
و لكن وجه الخلاف هنا أن التركيبة هنا ليست وحيدة
و حاول أن يدلل على ذلك من خلال حالة عدم الاستقطاب إذ أنها كما تفضلت تركيبة خطية من pure state و لكن تلك التركيبة ليست وحيدة في ميكانيكا الكم
و هذه أيضا من النقاط التي تهمني جدا في البحث و كنت أتمنى فهمها.
و يحاول الكاتب القول بأننا نستطيع القضاء على تلك الإشكالية بتوسعة مجموعة states (يهدف إلى تمييز الحالات المختلفة التي تؤدي إلى ظهور mixed states متشابهة ) من خلال التعامل مع probability measure المعرفة على pure states و بالتالي نتخلص من مشكلة تعدد التمثيلات المختلفة الممكنة لنفس الmixed states و التي تمنع أحيانا بين إمكانية تعريف
joint observabe

أقول ذلك لأؤكد أني أملك الىن فهما أكبر بكثير لطبيعة المسائل التي أتعامل معها
(ربما لم أستطيع مراجعة ما كتبته بسبب مشاكل الكهرباء)
لذا لا يسعني في الختام إلا أن أقول شكر الله لك حسن صنيعك معنا
و زادك من معين عطاءه علما و حلما و فضلا و حكمة و رضوان
حتى يجمعك برفقة سيد الخلق أجمعين محمد صلوات ربي و سلامه عليه و على أصحابه و من والاه

تغريـد · #30 31-03-2010, 22:26

لا أعلم لماذا أجيد أكثر من أي شيء آخر إساءة التعبير عما أريده

كل ما أردت قوله هو أنني ممتنة كثيرا لكل الجهد الذي تبذله معنا أخي الكريم الصادق

ربما كانت بعض هذه المعلومات مر علي في بعض الكتب و الأبحاث و لكني لم أفهمه أبدا
إلا من خلال عرضك المتناسق و الذي أفادني أيما إفادة

الحقيقة ذكرني الموقف بكلمات سيد قطب

"ولا يغض من قيمتنا أن تكون معونة الآخرين لنا قد ساعدتنا على الوصول إلى ما نحن فيه.
إننا نحاول أن نصنع كل شىء بأنفسنا، ونستنكف أن نطلب عون الآخرين لنا،
أو أن نضم جهدهم إلى جهودنا..؟
نستشعر الغضاضة في أن يعرف الناس أنه كان لذلك العون أثر في صعودنا إلى القمة.
إننا نصنع هذا كله حين لا تكون ثقتنا بأنفسنا كبيرة أي عندما نكون بالفعل ضعفاء في ناحية من النواحى
..
أما حين نكون أقوياء حقأ فلن نستشعر من هذا كله شيئأ
.
.
إن الطفل هو الذي يحاول أن يبعد يدك التى تسنده وهو يتكفأ في المسير !.

عندما نصل إلى مستوى معين من القدرة، سنستقبل عون الآخرين لنا بروح الشكر والفرح
.
.
الشكر لما يقدم لنا من عون
.
.
والفرح بأن هناك من يؤمن بما نؤمن به نحن.. فيشاركنا الجهد والتبعة
..
إن الفرح بالتجاوب الشعوري هو الفرح المقدس الطليق !.
"

نعم هذا هو أصدق تعبير و اسمى تعبير لما نحس به جميعا لكل ما تقدمه لنا من عون
و ما تبذله من جهد

" والفرح بأن هناك من يؤمن بما نؤمن به نحن, فيشاركنا الجهد والتبعة
..
إن الفرح بالتجاوب الشعوري هو الفرح المقدس الطليق !. "

و نحن أحوج إلى ذلك في وطننا العربي ربما أكثر من أي شيء آخر

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !