سؤال تحدي <<< صعب جدا - الصفحة 3

الصادق · #21 10-04-2010, 22:39

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

السلام عليكم،،

طبعا السؤال ربما مر على البعض من خلال الاولمبياد لاحد الجامعات،،

ما يميز السؤال أنه ليس له طريقة حل عامة تصلح لحل كل الاسئلة وانما يتطلب " احتيالا " نوعا ما،،

ربما يكون حله بالتحليل الرياضي ابسط وهذا ما رأيته في بعض المنتديات ولكن المجال مفتوح هنا لجميع الحلول بالتحليل او بدونه.

السؤال :

أوجد جميع الدوال $\150dpi f:R\rightarrow R$ التي تحقق المعادلة التالية لجميع قيم x و y :

$\150dpi yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2)$

بالتوفيق :a_plain111:

اخي الكريم مهند
هذه هي محاولتي للحل
$\\ \rm yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2)\\ \\ \rm divide \; both \; sides \;by\; 2xy\\ \\ \frac{f(2x)}{2x}-\frac{f(2y)}{2y}=(2x)^2-(2y)^2\\ \\ replace \; 2x \; by \; x\; and \; 2y \; by \; y \\ \\ \frac{f(x)}{x}-x^2=\frac{f(y)}{y}-y^2 \\ \\ \rm for\; x\neq y, \; the \;equality\; will\; hold \; true \; if\; and\; only\; if \; both\; sides\; of\; the\; last\; equation\; are\; \; equal\; to\; a\; constant\\ \\ \frac{f(x)}{x}-x^2=C;\qquad \rm where \; C \; is \; a \; real\; constant\\ \\ \Rightarrow \boxed{f(x)=Cx+x^3}$

اذن فان هناك عدد لانهائي من الدول تعتمد على اختيار الثابت C

هذا و الله اعلم

مهند الزهراني · #22 11-04-2010, 14:57

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

اخي الكريم مهند
هذه هي محاولتي للحل
$\\ \rm yf(2x)-xf(2y)=8xy(x^2-y^2)\\ \\ \rm divide \; both \; sides \;by\; 2xy\\ \\ \frac{f(2x)}{2x}-\frac{f(2y)}{2y}=(2x)^2-(2y)^2\\ \\ replace \; 2x \; by \; x\; and \; 2y \; by \; y \\ \\ \frac{f(x)}{x}-x^2=\frac{f(y)}{y}-y^2 \\ \\ \rm for\; x\neq y, \; the \;equality\; will\; hold \; true \; if\; and\; only\; if \; both\; sides\; of\; the\; last\; equation\; are\; \; equal\; to\; a\; constant\\ \\ \frac{f(x)}{x}-x^2=C;\qquad \rm where \; C \; is \; a \; real\; constant\\ \\ \Rightarrow \boxed{f(x)=Cx+x^3}$

اذن فان هناك عدد لانهائي من الدول تعتمد على اختيار الثابت C

هذا و الله اعلم

حل جميل أستاذي ،،،

ولم يكن بالخاطر أبدا واعذرنا على حلولنا فنحن " تقليديون " بالنسبة لهذا الحل ،،،

ونستطيع وفقا لما سبق اعتبار حل الاستاذ محمد حالة خاصة عند C=0

وللعلم فالسؤال جاء في مسابقة اولمبياد جامعة الملك فهد للبترول والمعادن - الظهران - المملكة،،

للصف الثالث ثانوي ، وعن نفسي السؤال صعب لطلاب مثلهم لكن جميل جدا جدا ،،،

ارجو ان تتقبل تحياتي على الحل الرائع وان يكون قد اعجبك السؤال ،،،

الصادق · #23 11-04-2010, 23:42

حياك الله اخي مهند
مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه
تعم اخي اعجبتني فكرة السؤال كما تعجبني هي دائماً مسائلك واطروحاتك
لا اظن انه صعب بالنسبة لك و يبدو لي ان هناك طرق اخرى لحل هذا السؤال

و دعنا نناقش النقطتين التاليتين:
هل يتحقق الحل بالنسبة لدوال مركبة؟
ماذا عن استخدام تمديد الدالة فى شكل مفكوك تايلور او متسلسلة قوى او كثيرة حدود؟

الان هل يوجد حل آخر للمسألة؟

تحياتي

مهند الزهراني · #24 12-04-2010, 07:49

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الصادق

حياك الله اخي مهند
مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه
تعم اخي اعجبتني فكرة السؤال كما تعجبني هي دائماً مسائلك واطروحاتك
لا اظن انه صعب بالنسبة لك و يبدو لي ان هناك طرق اخرى لحل هذا السؤال

و دعنا نناقش النقطتين التاليتين:
هل يتحقق الحل بالنسبة لدوال مركبة؟
ماذا عن استخدام تمديد الدالة فى شكل مفكوك تايلور او متسلسلة قوى او كثيرة حدود؟

الان هل يوجد حل آخر للمسألة؟

تحياتي

أهلا بك استاذي ،،

لا أستطيع الاجابة على السؤال الاول للأسف لاني لم ادرس التحليل المركب بعد ،،،

بالنسبة للسؤال الثاني كان حل للسؤال تقريبا مثل حل الاستاذ محمد ، وعن نفسي اتوقع انه عند استخدام مفكوك تايلور و غيره فسيتم تقريب الحلول لتعود للحلول الاصلية السابقة ، ولا أعتقد أن هناك حل اضافي مفيد ،،،

" مجرد توقع "

nuha1423 · #25 16-04-2010, 17:42

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيك أخي مهند

ما شاء الله ربي يحفظك ويرفع درجاتك

شكراً للأساتذة الذين شاركوا بالحل

متابعتكم ممتعة

بارك الله فيكم

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !