[هوائية]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
[frame="2 98"]طرق العد[/frame]

[fieldset=نظرية:]إذا تكونت عملية ما من خطوتين ،الأولى يمكن إجراؤها بعدد m من الطرق و الثانية بعدد n من الطرق، فإن العملية بأكملها قد تتم بعدد mn طريقة.[/fieldset]إذا تكونت عملية ما من خطوتين ،الأولى يمكن إجراؤها بعدد m من الطرق و الثانية بعدد n من الطرق، فإن العملية بأكملها قد تتم بعدد mn طريقة.

و ذلك لأن كل طريقة في الخطوة الأولى يقابلها عدد n من الطرق في الخطوة الثانية و عليه فإن العدد الكلي للطرق المختلفة هو
( n +n + n + …+ n)
m مرة
و التي تساوي m n .



و هذه يعتبر من أبسط القواعد و غالبا ما نطبقها بدون الانتباه لذلك فمثلا عندما نرمي قطعة نقد مرتين نقول أن هناك 4 إمكانات مختلفة لظهور الصورة و الكتابة في المرتين،

و كذلك الأمر لو أردنا اختيار رقمين من الأرقام العشرة بدون قيود (على أن يكون ترتيب الاختيار مهم) فإن هناك
100 = 10x10
طريقة لظهور العدد الأول و الثاني.


حسنا ماذا لو أردنا اختيار رقمين مختلفين سيكون لدينا 10x 9=90 طريقة .

إذ لمعرفة عدد الطرق لاختيار رقمين مختلفين (على أن يكون الترتيب مهم) سيكون عندنا خطوتين
الأولى اختيار العدد الأول و أمامنا عشرة اختيارات {0،1،2،3،4،5،6،7،8،9}
الآن لاختيار العدد الثاني أمامي 9 خيارات لأني بالتأكيد سأختار أي من الأرقام العشرة فيما عدا العدد الذي اخترته في الخطوة الأولى.
و علي ذلك فإن العملية ستتم في 90
9 10x
طريقة

و ذلك لأن كل عدد مختار في الخطوة الأولى سيكون هناك تسع خيارات متاحة له في الخطوة الثانية و عليه يصبح مجموع الإمكانات الكلي 90 إمكانية

و هذه النتائج يعبر عنها على شكل أزواج مرتبة

فمثلا في التجارب السابقة الإمكانات يمكن كتابتها

1- { (ص،ص)، (ص،ك)، (ك،ص)، (ك،ك) }.


2- { (0،0)، (0، 1)،(2،0)،(0، 3)،...،(0، 9)
(0،1)، (1،1)، (2،1)، (3،1)،...،(1، 9)
.
.
.
(9، 0)،(9، 1)،(9، 2)، (9، 3)،....(9،9) }

3- { (0، 1) ،(0، 2) ، (0، 3)،...(0، 9)
(1، 0) ، (1، 2)،(1، 3)، ...،(1، 9)
(2، 0) ، (2، 1)،(2،3)، ...،(2، 9)
.
.
.
(9، 0)،(9، 1)،(9، 2)،...،(8،9)}


نلاحظ أن الامكانات في 3 جزء من الامكانات في 2 و تختلف عنها بحذف العناصر (0،0)، (1،1)، (2،2)، (3،3)...(9،9)
لأن كل منها تعني أن العددين المختارين متشابهان

حسنا ماذا لو رمينا قطعتي نقد مختلفتين هل سيختلف عدد الإمكانات عما حسبناه من إلقاء قطعة نقد واحدة مرتين
بالطبع لا ، سيظل عدد الإمكانات بالطبع أربعة



هذه النقطة مهمة جدا لأننا في هذه الحالة أمامنا عملية تتكون من خطوة واحدة و لكني جزأت تلك الخطوة لأجزاء سهلت علي عملية الحساب ، و هذا ما يحدث في الواقع، فالعمليات في غالبية المسائل ليست على خطوات و لكني أتخيل أن العملية تتم على مراحل و هنا يجب توخي الحذر بأن العملية الناشئة و العملية الأساسية لها بالفعل نفس عدد الامكانات.

لفهم ذلك تخيل
لو أن كانت قطعتي النقد في المثال السابق كانت متشابهة و رميت مرة واحدة هل سيختلف الجواب؟
ما رأيك؟
......................
[rainbow]نلاحظ أننا عندما نرمي قطعتي نقد متشابهتين فإن الامكانات هي
ظهور صورتين، ظهور صورة و كتابة ، ظهور كتابتين
و تختلف عن إلقاء قطعة نقد مرتين في أننا لن نستطيع التمييز بين الحالتين
(ص،ك)، (ك،ص)
لتشابه القطعتين و عليه لن نستطيع ادراك أيها كانت صورة و أيها كانت كتابة[/rainbow]
يجب أن ننتبه أن هذه القاعدة حينما تستخدم فإنها تعطينا النواتج مرتبة فمثلا عند اختيار رقمين فإن الامكانية 3،7 تختلف عن 7،3
و في القاء قطعة النقد مرتين ظهور صورة مرة واحدة يقابله إمكانيتين [rainbow] هما ببساطة (ص،ك)، (ك،ص)[/rainbow]

إذن لا تنفع هذه الطريقة لحساب
عدد طرق اختيار طالبين من عشرين طالب لتمثيل المدرسة في مسابقة ما،

إذ أنه
[rainbow]بنفس المنطق السابق مع الانتباه بأن تطبيق قاعدة الضرب يعطينا الإمكانات مرتبة و هذا ما لا تفترضه طبيعة المسألة هنا فمثلا لو كان الطالبين هما أحمد و سعيد فهذا لن يعد إمكانية مختلفة عن اختيار سعيد و أحمد و بالتالي ستكون لدينا إمكانات مكررة إذا طبقنا قاعدة الضرب لذا تطبيقها المباشر هنا لا يفلح.
و بنفس المنطق لن تفلح القاعدة لو أردنا اختيار أربعة طلاب للمسابقة[/rainbow],

كيف يمكن فعل ذلك؟ سنرى هذا فيما بعد و لكن بعد أن نفهم قاعدتنا الأولى فهما جيدا


ستقول القاعدة صارت واضحة الآن
لنر ذلك
بكم طريقة يمكنك اختيار الجامعة و التخصص لطالب أنهى الثانوية العامة ، أمامه أربع جامعات و في كل منها 5 تخصصات متاحة؟.............................

[rainbow]العملية تتكون من خطوتين هما اختيار الجامعة ثم التخصص و الترتيب مهم إذن عدد الطرق هو 20
5x4[/rainbow]
[read]اخوتي

هذه إجابة بعض الأسئلة المطروحة و سأوافيكم قريبا بالبقية[/read]

[ربانة]

اقول لك استاذتنا

ذكرى لي مع الاحتمالات تعرضت معلمتنا في ايام كنا في الصف الاول الثانوي لحالة طارئة وانقطعت عنا ثم حضرت على مقربة من الاختبارات وكان فصل الاحتمالات بما فه من الفصول التي تم ضغطها
فكانت ذات ذكرى تصيبني بالانفجار من الملل لطول الحصص وضغط الموضوعات فيها لتعويض الغياب لم تكن بتلك الصعوبة لكن قصة ان تراكم مرة واحد انا من دون شيء اذا كانت حصتين اصاب بالملل

خلاصاذا انطفأت ا

انام في الحصة ولا اهتم خلاص الاستقبال والارسال يتوقف

ولا اهتم بالباقي وبصراحة كمان كل اللاتي درسنني الرياضيات كانت فيهم خصلة تصيبني بالملل الطافح حيث انهن يكررن المعلومة الى ان انفجر
الا الرياضيات تكرير المعلومة لا حاجة فيها وضع مسألة او مثال وتغير فكرة الطرح افضل من ان اعيد وازيد في شيء شرح واكرر ما قيل

اتذكر قصة احتمالات النرد وقطعة النقود وكتابة وصورة الخ الخ وكذا اوراق اللعب
وما احتمال ظهور الجوكر يا الله

.
.
.

هناك امثلة

اليك ما وجدته






http://www.seed.slb.com/ar/scictr/lab/math/aug04.htm



وهذا حجر نرد مختلف
http://www.seed.slb.com/ar/scictr/lab/math/sep05.htm

وهذا ايضا حجر نرد مختلف

http://www.seed.slb.com/ar/scictr/lab/math/sep04.htm



لكن استاذتنا

وانا اتكلم من مفهوم ليس لديه الوعي تجاه هذه النظرية
من الناحية التطبيقية بعيدا عن قصة النرد وقطعة النقود

اجدها شيء مكرر لكن اردي شيء اخر لو حتى من واقعنا


وكان لي نقاش مع احد اخوتي حول الاحتمالات

فكنت اقول له ما الحاجة الى ان اعرف كم مرة سيظهر لي مثلا الرقم ثلاثة من خلال الأزواج اي احتمالية ظهوره بصراحة الان نسيت كلامه
فهل هناك نظرية او قوانين او استدلالات غير التي درسناها على وجه الواقع تعطينا فائدة قصوى لها واغفري لي جهلي ان كنت اقلل من شانها لاني بصدق هناك كثير من القوانين الرياضية اثناء دراستي اجد فيها عملية عزل عن واقع التطبيق ليس خطأ فيها طبعا انما في منهجية التدريس لذى تتكون صورة محبطة لدي بعدميتها او انها مجرد قونين لن استفيد منها
فهل انا على الصعيد الشخصي بجاجة لها ارى بعض الاجابات امام عيني انها تحدد كمية المشكل لكل شيء وبالتالي استطيع ان اجهز نفسي لهذا الاحتمال

اطلنا استاذتنا واعذري لي جهلي لست الا من تريد صياغة لفن الاحتمالات في راسها من جديد بعد ان رأيت تفاصيل موضوعك


أشكرك على هذا الجهد الرائع وليس بغريب عليك هذا الكرم الفياض
سدد الله مساعيك ووفقك لما يحبه ويرضاه

[المتفيزق]

انا وجهة نظري كالبالود أنك تقتحمين الموضوع علينا اقتحاما وتضعين رموزا تبدو مزعجة لنا ولو طرقت المثال ثم اتبعته بالنظرية لكان اجدى ... هذا ما اراه ... يعني في البداية نتحدث عن رمي القطعة النقدية التي غلبت أهل العد هي وقطعة النرد ... ولا بأس كما قلت في اخر مشاركة بالكلام : صورة - كتابة أو فيما يشبه الجدول في القطتعتين :
صورة كتابة ص ك
صورة صورة ص ص
كتابة صورة ك ص
كتابة كتابة ك ك
تلك اربعة كاملة وهي احتمالان لكل قطعة فيكون كل من الاحتمالين للقطعة الاولى معه احتمالان للقطعة الثانية يعني 2 ضرب 2 = 4
والان لا بأس بكتابة النظرية بعد المثال البسيط ... وهي ان العدد الكلي هو امكانات الاولى ضرب امكانات الثانية ...

يعني هذا رأيي على الاقل ...

سبحان الله كنت سأضع شيئا كهذا قبل أيام في المنتدى بخصوص بعض الاحتمالات التي تكون من الصغر بحيث يمكن اهمالها (يعني مثلا احتمال حدوثها يستغرق كعمر الكون مثلا!!!!!) وذلك في بعض ابتدائيات الفيزياء الاحصائية التي تتعامل مع ذرات وجسيمات في العادة في حدود عدد افوجادرو وهو غاية في الكبر بحيث إذا قلنا إن لكل جسيم احتمالين مثلا (كأن تحدثنا عن الغزل الالكتروني او نحوه) فإن 2 مرفوعة لهذا الأس الكبير سيحقق فضاء كبيرا جدا...
ومن هنا يأتي سؤالي الذي كنت ازمع ان اضعه ... وهو ان لو كان الغاز مثلا في الجزء الايمن من الوعاء ثم انتشر ...اليس من الممكن ان يتحرك حركة عشوائية ليرجع من جديد بعد فترة إلى ما كان عليه في الزاوية اليمني من الاناء ؟؟؟ طبعا الاحتمال موجود لكنه صغير جدا ... إلى الحد انه لو مكثنا نعد مليون حالة في الثانية فإن العثور على هذه الحالة يكون مؤكدا إذا مكثنا فترة تصل إلى ملايين السنين أو كما قلت قبل قليل ...تساوي عمر الكون الذي نعيش فيه ...

وهنا يجب أن نحفظ لـ (عكاشة) سبقه ... لقد سبقتني يا هوائية... لك قدم السبق ... كنت افكر في الموضوع فطرقته قبلي ... فلا عدمنا ملحك ...

[هوائية]

إذن لا تنفع هذه الطريقة لحساب
عدد طرق اختيار طالبين من عشرين طالب لتمثيل المدرسة في مسابقة ما،

بنفس المنطق السابق مع الانتباه بأن تطبيق قاعدة الضرب يعطينا الإمكانات مرتبة و هذا ما لا تفترضه طبيعة المسألة هنا فمثلا لو كان الطالبين هما أحمد و سعيد فهذا لن يعد إمكانية مختلفة عن اختيار سعيد و أحمد و بالتالي ستكون لدينا إمكانات مكررة إذا طبقنا قاعدة الضرب لذا تطبيقها المباشر هنا لا يفلح.
و بنفس المنطق لن تفلح القاعدة لو أردنا اختيار أربعة طلاب للمسابقة

كيف يمكن فعل ذلك؟ سنرى هذا فيما بعد و لكن بعد أن نفهم قاعدتنا الأولى فهما جيدا


ستقول القاعدة صارت واضحة الآن
لنر ذلك
بكم طريقة يمكنك اختيار الجامعة و التخصص لطالب أنهى الثانوية العامة ، أمامه أربع جامعات و في كل منها 5 تخصصات متاحة؟.............................

العملية تتكون من خطوتين هما اختيار الجامعة ثم التخصص و الترتيب مهم إذن عدد الطرق هو
4×5=20

بكم طريقة يمكنك أن تدرس 4 ساعات على الأكثر في يومين؟ هل يمكن تطبيق القاعدة و لماذا؟
من الواضح أننا لا نستطيع تطبيق القاعدة لأنني رغم أني يمكنني أن أدرس في اليوم الأول 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 ساعة فإن عدد ساعات الدراسة لن يكون أمامه كل الخيارات متاحة فلو درس في اليوم الأول 3 ساعات فلن يكون متاحا أمامه إلا أن يدرس 0 أو 1 ساعة و لكنه إذا درس في اليوم الأول 1 ساعة سيكون متاحا له أن يدرس في اليوم الثاني 0 أو 1 أو 2 أو 3 و بالتالي عدد الطرق في الخطوة الثانية ليس ثابتا و بالتالي العدد n ليس واضحا لذا لا يمكن تطبيق قاعدة الضرب

و لحل هذه المسألة يجب عد كل الامكانات
فلو درس في اليوم الأول 0 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4
أما إذا درس في اليوم الأول 1 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0 أو 1 أو 2 أو 3
و إذا درس في اليوم الأول2 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0 أو 1 أو 2
و إذا درس في اليوم الأول3 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0 أو 1
و أخيرا إذا درس في اليوم الأول4 ساعة سيكون أمامه في اليوم الثاني 0
و سيكون عدد الامكانت الكلي 5+4+3+2+1
=15
حسنا


إذا كانت العملية تتم بعدد من الخطوات K و كانت الخطوة الأولى يمكن إجراؤها بعدد m1 طريقة و الثانية بعدد m2 طريقة و هكذا و الأخيرة بعدد mk طريقة فإن العملية بأكملها يمكن إجراؤها بعدد
m1 x m2 x …mk
طريقة مختلفة
بمعنى أن الطالب إذا كان بإمكانه في المثال السابق بعد إكماله الجامعة أن يكمل دراساته العليا و متاح أمامه 3 تخصصات بكم طريقة تتم العملية كلها؟

العملية أصبحت تتكون من ثلاث خطوات
اختيار الجامعة ثم اختيار التخصص ثم اختيار التخصص في الماجستير
و عليه عدد الطرق هو
3×3×5=60طريقة


تعليق
كما أوضحت سابقا هذه القاعدة بسيطة جدا و نحن نطبقها غالبا بصورة بديهيية و لكن وضعها في صورة نظرية يسهل علينا تأطير العلم و تفسير كل شيء له علاقة بطرق العد من نقطة الانطلاق تلك

و من ناحية أخرى هناك أسئلة كثيرة ليست سوى تطبيق سهل للنظرية و لكن يغيب ذلك عن بالنا
فما رأيكم بهذا السؤال الآن
بكم طريقة يمكن الإجابة بطريق عشوائية على اختبار يتكون من عشرين سؤال (صح و خطأ)؟
و بكم طريقة يمكن الإجابة عليها كلها بطريقة صحيحة؟
للإجابة على الأسئلة سنحتاج عشرين خطوة لحل الأسئلة في كل خطوة أمامنا خيارين
و بالتالي سيكون عدد الطرق
2x 2x 2 x ….x2
)عشرين مرة(
و تساوي

1048576

[هوائية]

أختي ربانة
فهمت يا أختي أنك تريدين أمثلة واقعية تغطي الجانب النظري لتولد لك الدافعية
و الحقيقة أن للمادة الكثير و الكثير من التطبيقات و لكن الكثير من تلك التطبيقات غالبا تحتاج منا لأن نخوض أكثر في هذا الموضوع
أنا أعلم أن هناك نفور من أمثلة حجر النرد و قطعة النقد و أوراق اللعب لذا تجنبت الحديث عنها باستثناء قطعة النقد لأن التعامل المباشر معها يجعل من السهل تصور الأوضاع الناشئة.

و لكن لو علمت أن هناك أكثر من مليون طريقة لإجابة سؤال الصح و الخطأ المتكون من عشرين فرع، ستعلمين كم يستطيع هذا أن يدلل على عدم امكانية وجود إجابتين متشابهتين للاختبار إلا في حال وجود سبب مريب.

و لو علمت مدى التنوع الذي يمكن الحصول عليه حين نختار خمس عناصر من بين عشرين عنصر ، ستستطيعين إدراك مدى التنوع الحاصل بين المخلوقات بسبب عدد السمات الهائل

حسنا أذكر أنني عندما كنت في الإعدادية في مسابقة تعرضت لأول مرة لسؤال كم قطرا لشكل مغلق به أربعين ضلعا (رغم أن القاعدة تعطى الآن في المدارس)
هناك حاولت تخيل الوضع كم العدد في المثلث ثم المربع ثم في الشكل الخماسي ثم حاولت أن أعمم القاعدة و حصلت على ما يشبه المتتابعة الحسابية و لم أكن أعرفها ، كان تحليلي منطقيا و لكن لم أصل للشكل النهائي
و عندما رجعت للبيت عرضت السؤال على أبي فسار بنفس الطريق و عندما وصل لما يشبه المتتابعة الحسابية ابتكر طريقة لإجراء عملية الجمع و حصلنا على الناتج بالتالي على شكل قاعدة.

المهم أن هناك طريقة سهلة جدا باستخدام طرق العد
و هي
لإيجاد عدد الأقطار لنتخيل أننا نرسم تلك الأقطار، سنجد أننا في كل مرة نحتاج خطوتين الأولى اختيار الرأس الأول و هذا يتم ب 40 طريقة ثم اختيار الرأس الثاني و هذا يتم ب 38 طريقة لأني سأتجنب الرأسين المجاورين للرأس المختار معه. و على ستتم العملية هذه في 40 ×37
و لأننا سنمر على كل الرؤوس تباعا سنجد أننا عددنا كل رأس مرتين ، لذا الجواب النهائي يجب أن يقسم على اثنين، و على هذا يكون عدد الأقطار المختلفة هو 40×37/2.


هذا ما يحضرني الأن و إن كان أستاذنا المتفيزق طرح لنا مثالا جميلا

[هوائية]

أستاذي المتفيزق
أشكرك على المعلومات القيمة ، سأضعها نصب عيني دوما، لأنه دوما يسيطر علي احساس بأننا يجب ألا نفزع مما يبدو لنا لأول وهلة مرعبا، أحب أن نستوعب هذا كمسلمين وعرب.

أتمنى أن نكون نحن من نخلق واقعا للمعلومة و ليس العكس
أعلم
ستقولون
كان الله في عون طالباتك و طلابك

جميل أن تدعو لهم فهم يحتاجون لذلك فعلا.


جميل المثال الذي طرحته، أما عن السبق فليس لي من ذلك الأمر شيء و لكنه كرم منك فقط أن تقول ذلك
يسعدني أن أقرأ مواضيعك في هذا المجال فهي بلا ريب ستوسع أفقي أيضا
مع خالص التحية و التقدير

[ربانة]

بصراحة فتحتي عيني تجاه بوابة الاحتمالات
وكأن استاذنا المتفيزق بطريقته في ابراز مثال ومن خلاله ستنبع المشكلة التي نحتاج الى الاحتمالات عرف مشكلتي

اعتذر والله استاذتي هوائية انا لم اتعرض للإحتمالات الا في الفصل الاثني في الصف الاول ثانوي لازالت في ذاكرتي لانها كانت بالنسبة لي امثلة عن
نرد وورق لعب ومن هذا القبيل

والله كان مليون سؤال وسؤال ليس في الاحتمالات فحسب عندما نتعرض لأي نظرية رياضية اراهم يدخلون على طول الى المعادلات والى النظرية والتطبيق يكون مربكا حيث ان الامر لم يتوضح لنا

ارى من الجميل

عرض القضية من خلاله بروز المشكلة التي تجعلنا نعتاز الى مثل هكذا قوانين وليس دفعها الى المخ هكذا

طبعا كنت أسأل ايام دراستي لكن لا مجيب كل الاجابات هي اعادة شرح القانون اسأل
لما نحن نحتاجها وارى الاستفهام ليس لدي فقط انما لدى جميع الطالبات وقتها اضرب اخماس في اسدادس ثم استسلم للنوم (( بمعنى انصرف عن الدرس بأي امر يخرجني عن الملل ))

والاختبار لن يخرج عن اسئلة الكتاب لذى لاحاجة في ان اتعب مخي واجري خلف اسئلة متاكدة لن اجد له اجوبة



شرحت يا استاذتنا سؤال في منتهى الروعة هنا شعرت بقيمة الاحتمالات وروعتها الله يعطيك الف عافية

انت ودكتورنا الرائع المتفيزق




سدد الله خطاك معلمتنا الغالية

[احب الفيزياء مووت]

جزاكم الله خيرا

[Mathematician Girl]

أنا أخذت هذه الاحتمالات في الثانوية العامة.....
كانت ومازلت جدا رائعة...
شكرا هوائـــــــــــــــــــــ[ـــ لك ـ]ــــــــــية

[منال العنزى]