مفاهيم اساسية فى الجبر

الصادق · #1 03-12-2010, 20:52

وحدات البناء الاساسية

1- الفئة Set : هى عبارة عن ثُلة collection من الاشياء التى ليس من الضروري ان يربط بينها رابط مشترك او تحقق اى خواص اضافية فمثلاً ثُلة من n شخص تمثل فئة من الاشخاص و كذلك ايضاً ثُلة من n نقطة تمثل فئة من النقاط. و عدد العتاصر n فى الفئة يمكن ان يكون منتهياً او لانهائياً.
.................................................. .................................................. ...........................
2-الزمرة Group :
نقول ان G تمثل زمرة اذا كان لدينا:
a- فئة من العناصر تنتمي للزمرة $g_1,g_2,...,g_n\in G$
b-عملية ثنائية $\otimes$ تسمى بعملية الضرب على الزمرة
وتحققت الشروط :
A1- الاغلاق Closure
$g_i\in G, g_j\in G \Rightarrow g_i\otimes g_j \in G$
A2-العملية التجميعية Associativity
$g_i\otimes (g_j\otimes g_k)=(g_i\otimes g_j) \otimes g_k$
A3-وجود عنصر محايد $g_1$
$g_1\otimes g_i=g_i\otimes g_1=g_i \qquad \forall g_i\in G$
A4- وجود معكوس وحيد
لكل عنصر $g_\ell \in G$ يوجد معكوس وحيد $g_k \in G$ يرمز له بـ $g_k=g_\ell^{-1}$ و بحيث
$g_{\ell}\otimes g_k=g_k\otimes g_{\ell}=g_1$

مثال(1):
فئة كل التبديلات الممكنة للنقاط 1, 2 , 3 تشكل زمرة تسمى بزمرة التباديل $P_3$
لاحظ ان العنصر المحايد هو عملية عدم اجراء التبديل اى ان النقطة 1 تتحول لمكان النقطة 1 والنقطة 2 تتحول الى مكان النقطة 2 و اخيراً النقطة 3 تتحول الى مكان النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كل لدينا الترتيب (123) وبعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (123) و بالطبع فان هذا التأثير يمثل العنصر المحايد ونرمز له بـ
$e:\quad (123)\to (123)$
يمكن تبديل النقطتين 1 و 2 وترك النقطة 3 فى مكانها اى ان النقطة 1 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 3 تتحول الى النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كان لدينا الترتيب (123) و بعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (213) وهذا العنصر يرمز له بـ
$g_{12}:\quad (123)\to (213)$
يمكن تثبيت النقطة 2 و تبديل النقاط 1 و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
$g_{13}:\quad (123)\to (321)$
ويمكن ايضاً تثبيت النقطة 1 و تبديل النقاط 2و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
$g_{23}:\quad (123)\to (132)$
يمكن تبديل جميع النقاط بحيت تتحول اى نقطة الى مكان النقطة التالية فى الترتيب اى تتحول النقطة 1 الى النقطة 2 و تتحول النقطة 2 الى النقطة 3 و تتحول النقطة 3 الى النقطة 1
$g_{123}:\quad (123)\to (312)$
و اخيراً تبديل جميع النقاط بحيث ان اى نقطة تتحول الى مكان النقطة السابقة لها فى الترتيب فمثلاً النقطة 3 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 1 تتحول الى النقطة 3 اى ان
$g_{132}:\quad (123)\to (231)$

هل يمكن اضافة عنصر آخر؟
اوجد حاصل الضرب $g_{12}\otimes g_{12}$ . ما الذى يمكن استنتاجه؟
اوجد حاصل الضرب $g_{123}\otimes g_{132}$ . ماذا تستنتج؟
ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل $P_4$

مثال(2):
فئة الاعداد الحقيقية تشكل زمرة تحت عملية الجمع الاعتيادي +
العنصر المحايد هو الـ0
لكل عدد حقيقي a يوجد عدد وحيد حقيقي a- يمثل معكوسه الجمعي

مثال(3) فئة الاعداد الحقيقة باسثناء الـ 0 تشكل زمرة تحت عملية الضرب الاعتيادي
العنصر المحايد هو الـ 1
لكل عنصر a يوجد عنصر وحيد $\frac{1}{a}$ يمثل المعكوس الضربي

سؤال: لماذا تم استبعاد الـ 0 ؟

مثال(4):
فئة كل المصفوفات الحقيقية المربعة $n \times n$ الغير شاذة $Gl(n)$ تشكل زمرة تحت عملية ضرب المصفوفات
العنصر المحايد هو مصفوفة الوحدة
طالما ان هذه المصفوفات غير شاذة فان لكل مصفوفة يوجد معكوس

فى الزمر التى فى الامثلة 2 و 3 نجد ان الترتيب الذى نجري به العملية الثنائية غير مهم و لذلك نقول انها زمر ابدالية

A5- الخاصية التبادلية commutativity: اذا حققت الزمرة الخاصية $g_i\otimes g_j=g_j\otimes g_i \qquad \forall g_i,g_j\in G$
فاننا نقول ان الزمرة G زمرة ابدالية Abelian
ومن الواضح ان الزمر فى الامثلة 1 و 4 هى زمر غير ابدالية (تأكد منها بنفسك)

]

زولديك · #2 03-12-2010, 20:54

يسلموووووووووووووووووووووووا موضوع حلو

الصادق · #3 03-12-2010, 20:55

3-الحقل Field

الحقل F هو
a- الفئة $f_0,f_1,f_2,...$
b- وعمليتين هما الجمع (+) والضرب (.)
التى تحقق الشروط التالية

A- الفئة F عبارة عن زمرة ابدالية تحت عملية الجمع + عنصرها المحايد هو $f_0$ اى انها تحققالشروط A1-5

B1- خاصية الاغلاق
$f_if_j\in F$

B2- الخاصية التجميعية
$f_i(f_jf_k)=(f_if_j)f_k$

B3- العنصر المحايد
$f_i1=1f_i=f_i$

B4- لكل عنصر باستثناء $f_0$ يوجد معكوس
$f_if_i^{-1}=f_i^{-1}f_i=1, \qquad f_i\neq f_0$

B5- قانون التوزيع Distribution law
$\\ f_i(f_j+f_k)=f_if_j+f_if_k \\\\ (f_i+f_j)f_k=f_if_j +f_jf_k$

مثال(5):
الاعداد الحقيقية تشكل حقل يسمى بحقل الاعداد الحقيقية
(تأكد من تحقق شروط الحقل )

مثال(6):
الاعداد المركبة يمكن كتابتها بالصورة $c=a1+ib, \qquad a,b\in R$ بحيث ان
$\\ 1.1=1\\ 1.i=i.1=i\\ i.i=-1$
تشكل حقل يسمى بحقل الاعداد المركبة
(تأكد من تحقق شروط الحقل )

مثال (7):
الكوتيريونات Quaternions يمكن تمثيلها بالصورة $ضq=q_01+q_1\lambda_1+q_2\lambda_2+q_3\lambda_3 \qquad q_i\in R$
بحيث ان

$\\ \lambda_i1=1\lambda_i=\lambda_i \qquad i=1,2,3\\ \lambda_i\lambda_i=-1\\ \lambda_1\lambda_2=-\lambda_2\lambda_1=\lambda_3\\ \lambda_2\lambda_3=-\lambda_3\lambda_2=\lambda_1\\ \lambda_3\lambda_1=-\lambda_1\lambda_3=\lambda_2\\$

تمرين:
برهن ان الكواتيريونات تشكل حقلاً.

اذا حقق الحقل الخاصية التالية فاننا نقول عنه حقل ابدالي
B6-الخاصية التبادلية
$f_if_j=f_jf_i$

سؤال: هل يعتبر الحقل الكواتيريوني حقلاً ابدالية ؟

يتبع.....

الصادق · #4 03-12-2010, 20:58

4- الفضاء الاتجاهي الخطي Linear Vector
Space

الفضاء الاتجاهي الخطي V يتكون من

a- فئة متجهات $v_0, v_1, v_2,...\in V$
b- و حقل $f_1, f_2,...\in F$

مع عمليتان ثنائيتان هما
c- عملية الجمع (+)
d- عملية الضرب القياسي

ويحقق الشروط A و B التالية:

الفرضيات A
A- $(V,+)$ عبارة عن زمرة ابدالية تحت عملية الجمع

A1- الاغلاق
$v_i, v_j \in V \quad \Rightarrow v_i+v_i \in V$

A2-خاصية الدمج
$v_i+(v_j+v_k) =(v_i+v_j)+v_k$

A3- وجود محايد جمعي $v_0$
$v_0+v_i=v_i+v_0=v_i$

A4- وجود معكوس
$v_i+(-v_i)=(-v_i)+v_i=v_0$

A5- الخاصية التبادلية:
$v_i+v_j=v_j+v_i$

الفرضيات B
B1-الاغلاق
$f_i\in F ,\; v_j\in V \; \Rightarrow f_iv_j\in F$

B2-خاصية الدمج
$f_i(f_jv_k)=(f_if_j)v_k$

B3-وجود محايد ضربي 1
$1v_i=v_i1=v_i$

B4-الخاصية الثنائية-الخطية Bilinearity
$\\f_i(v_j+v_k)=f_iv_j+f_jv_k\\ \\ (f_i+f_j)v_k=f_iv_k+f_jv_k$

مثال (8)
ابسط مثال للمتجه هو "شئ يشير فى اتجاه محدد" مثل
$\mathbf{v}=x^1\rm \mathbf{e}_1+x^2\rm \mathbf{e}_2+x^3\rm \mathbf{e}_3$

مثال (9)
فئة كل الدوال $f(\phi)$ المُعرفة على الدائرة $(0\leq \phi< 2\pi)$

$f(\phi)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_m\rm e^{im\phi}$

حيث m عدداً صحيحاً.
تشكل فضاءاً اتجاهياً

تمرين: برهن ذلك

مثال(10):
فئة كل المصفوفات من النظام mXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات

سؤال: هل الحقول الحقيقية و المركبة و الكواتيريونية تشكل فضاءات اتجاهية ام لا؟

الصادق · #5 03-12-2010, 21:10

5-الجبر Algebra
الجبر الخطي يتكون من

a- فئة متجهات $v_0, v_1, v_2,...\in V$

b- و حقل $f_1, f_2,...\in F$

مع ثلاثة عمليات هي:
c- عملية الجمع (+)
d- عملية الضرب القياسي
e- الضرب المتجهي $\boxed$

وتحقق الشروط A و B و C التالية:

الشروط A:
تحقق الشروط A1 و A2 و A3 و A4 و A5 الخاصة بالفضاء الاتجاهي (راجع المشاركة السابقة)

الشروط B:
تحقق الشروط B1 و B2 و B3 و B4 الخاصة بالفضاء الاتجاهي (راجع المشاركة السابقة)

الشروط C:

C1- الاغلاق تحت عملية الضرب المتجهي:
$v_1, v_2 \in V\; \Rightarrow\; \; v_1\square v_2 \in V$

C2- الخاصية الثنائية-الخطية Bilinearity
$\\(v_1+v_2)\square v_3=v_1\square v_3+v_2\square v_3\\\\ v_1\square (v_2+ v_3)=v_1\square v_2+v_1\square v_3$

من هنا نرى ان الجبر الخطي هو اضافة عملية ضرب متجهي على الفضاء الاتجاهي الخطي و عملية الضرب المتجهي ليس ضرورياً ان تحقق خواص الدمج و العنصر المحايد و المعكوس. و هناك انواع مختلفة من الجبرات (جمع جبر) التى يمكن الحصول عليها باضافة شروط اضافية

اذا حقق الجبر الخطي خاصية اضافية مثل خاصية الدمج
C3- خاصية الدمج
$(v_1\square v_2)\square v_3=v_1\square (v_2\square v_3)$
فاننا نسمي الجبر حينها بالجبر الخطي الدمجي Associative linear algebra

اذا كان للجبر الخطي محايد تحت عملية الضرب المتجهي
C4- وجود محايد و هذا المحايد بشكل عام لا يساوي محايد عملية الجمع + او محايد عملية الضرب القياسى
$v_1\square \mathbf{1}=v_1$
فنسمي الجبر بالجبر الخطي الذى له محايد Linear algebra with identity

يمكن ان تكون عملية الضرب المتجهي من ناحية ترتيب العناصر المضروبة عملية ابدالية او ضد ابدالية
C4- خاصية التماثل وضد التماثل Symmetric/Antisymmetric تحت التبديل
التماثل: $v_1\square v_2=+v_2\square v_1$
ضد التماثل: $v_1\square v_2=-v_2\square v_1$

و اخيراً يمكن ان يحقق الجبر الخطي خاصية الاشتقاق
C5- خاصية الاشتقاق Derivative property
$v_1\square (v_2\square v_3)=(v_1\square v_2)\square v_3+v_2\square(v_1\square v_3)$

الصادق · #6 03-12-2010, 21:11

امثلة على الجبرات

مثال(11)
فئة كل المصفوفات الحقيقية من النوع nXn تشكل فضاءاً اتجاهياً تحت عملية جمع المصفوفات (+) و عملية الضرب القياسي فى الاعداد الحقيقية. والان اذا ارفقنا مع هذا الفضاء الاتجاهي عملية ثنائية اضافية تُعرف بعملية ضرب المصفوفات
$(A\square B)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$
فان الفضاء الاتجاهي يصبح عبارة عن جبر خطي دمجي (طبعاُ نسبةً لان ضرب المصفوفات بطبيعة الحال يحقق خاصية الدمج)
و العنصر المحايد لعملية الجمع هو الـ0 (المصفوفة الصفرية)
والعنصر المحايد لعملية الضرب القياسي فى عدد حقيقي هو الـ1
والعنصر المحايد لعملية الضرب المتجهي (عملية ضرب المصفوفات) هو مصفوفة الوحدة I
وهذا المثال يحقق كل شروط الجبر الخطي كما انه يحقق ايضاً الشروط C3 و C4 و لذلك نقول ان فئة المصفوفات الحقيقية تحت عمليات الجمع و الضرب القياسي بعدد حقيقي والضرب المتجهي (ضرب المصفوفات) تشكل جبر خطي دمجي له محايد Linear Associative algebra with identity

مثال(12)
فئة كل المصفوفات الحقيقية المتماثلة Symmetric (المصفوفات المتماثلة هى تلك المصفوفة التى تساوى منقولها transpose) اى التى تحقق
$A^t=A$
هى عبارة عن عن فصاء خطي جزئي من الفضاء فى المثال السابق
دعنا الان نتأكد ماذا كانت المصفوفات المتماثلة تمثل جبر خطي تحت عملية ضرب المصفوفات ام لا
افترض ان A و B مصفوفات متماثلة اى ان $A^t=A,\quad B^t=B$ مما يعني انهما تنتميان لفئة المصفوفات المتماثلة
الان ضرب المصفوفتين يعطي مصفوفة ليست بصورة عامة متماثلة
$(A\square B)^t=(AB)^t=B^tA^t=BA=B\square A\neq A\square B$
اى لا تحقق شرط الاغلاق C1 للجبر الخطي
ولكن معك ذلك توجد عملية ضرب متجهي اخرى تعرف بـ
$A\square B=[A,B]_{+}=AB+BA$
تحقق شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات المتماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي التماثلي المعرف بالقوس اعلاه
البرهان:
$(A\square B)^t=([A,B]_{+})^t=(AB+BA)^t=B^tA^t+A^tB^t$
ولما كانت المصفوفات Aو B الى فئة المصفوفات المتماثلة فانها تحقق $A^t=A,\quad B^t=B$
وعليه فان
$(A\square B)^t=([A,B]_{+})^t=(AB+BA)^t=BA+AB=[A,B]_{+}=A\square B$
اذن فان ناتج الضرب التماثلي يمثل مصفوفة متماثلة و لذلك فانه ينتمي الى فئة المصفوفات المتماثلة مما يحقق شرط الاغلاق C1

تمرين: برهن ان عملية ضرب المصفوفات التماثُلي هذا يحقق الخاصية الثنائية- الخطية C2

مثال(13)
فئة كل المصفوفات ضد المتماثلة Antisymmetric اى التى تحقق
$A^t=-A$
غير مغلقة تحت عملية ضرب المصفوفات و لكن اذا عرفنا عملية ضرب مصفوفي ضد تماثلي على النحو التالىي
$A\square B=[A,B]=AB-BA$

فانها شرط الاغلاق C1 و شرط الثنائية-الخطية C2 مما يجعل فئة المصفوفات الضد متماثلة تشكل جبر خطي تحت عملية الضرب المصفوفي ضد التماثلي المعرف بالقوس اعلاه والذي يسمى بقوس التبادلية

تمرين: برهن تحقق الشروط C1 و C2

ليس من العسير ان نبرهن ان هذا الجبر بصورة عامة ليس له عنصر محايد كما انه لا يحقق خاصية الدمج (اى لا يحقق الشروط C3 و C4)

$\\ A\square (B\square C)=[A,[B,C]]=A[B,C]-[B,C]A=ABC-ACB-BCA+CBA \\ \\ (A\square B)\square C=[[A,B],C]=[A,B]C-C[A,B]=ABC-BAC-CAB+CBA\\ \\ \Rightarrow A\square (B\square C)\neq (A\square B)\square C$

الان الجبر المُعرف بالضرب ضد التبادلي (علاقة التبادلية) يسمى بجبر ليي Lie Algebra و هذا الجبر يمثل حجر الاساس فى ميكانيكا الكم (حيث ان المؤثرات فى فضاء هيلبرت تحقق جبر ليي) و فى النظرية النسبية (حيث ان تحويلات لورنتز تمثل جبر جزئى من جبر بوينكاري Poincare' Algebra والذي هو عبارة عن جبر لليي )

بالاضافة لخصائص الجبر فان جبر ليي يحقق خاصية الاشتقاق C6 (برهن) اى ان

$A\square (B\square C)=(A\square B)\square C+B\square(A\square C)$
وهذه الخاصية تُعرف بخاصية الاشتقاق و تكتب بالصورة الشائعة التالية:
$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

التى تسمى بمتطابقة جاكوبي Jacobi's Identity

تم بحمد الله و توفيقه
اللهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا ، وزدنا علماً

الصادق · #7 03-12-2010, 21:39

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة زولديك

يسلموووووووووووووووووووووووا موضوع حلو

بارك الله فيك اخي الكريم

تغريـد · #8 04-12-2010, 00:58

أشكرك أخي الكريم الصادق لإدراجك الموضوع الهام هنا و الذي يمثل قاعدة مهمة جدا لبناء صرح الرياضيات بما فيها من مفاهيم مهمة جدا مثل مفهوم الزمرة و الحقل و الفضاء الاتجاهي الخطي

بالإضافة لمفهوم الـ algebra الذي بلا ريب هو مهم جدا في التأطير الرياضي للفيزياء الحديثة

و أرجو من الله العلي القدير ان يكون هذا الموضوع حجر أساس في بناء بنية رياضية عربية قوية تمضي بنا قدما للقضاء على بعض نقاط ضعفنا
أرجو من الله أن ينفع بك الأمة أخي الكريم و أن يبارك جهوك جزاك الله كل الخير

محمد ابوزيد · #9 04-12-2010, 01:32

اشكر دكتور الصادق استاذنا القدير وفقه الله الى كل خير واكرمه فى الدارين الدنيا والاخرة
واهله وكل من احبه وكلنا نحبه ونوقره ونقدره

اخوكم / محمد ابوزيد

الصادق · #10 04-12-2010, 14:29

اختي الكريم تغريد
بارك الله فيك وجزاك كل خير ونفع الله بك وبعلمك الامة الاسلامية

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 4 ( الأعضاء 0 والزوار 4)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !