what about AM-GM ?

مهند الزهراني · #1 11-08-2010, 15:05

السلام عليكم ...

نحاول من خلال هذا الموضوع البدأ بسلسلة جديدة متعلقة برياضيات الاولمبياد من افكار وقوانين وطرق حل جميلة ....

نبدأ بموضوع الح الكثيرون علي بشرحه وهي متباينة الوسطين الحسابي والهندسي المعممة وطبعا ترأس المطالبين والملحين الاخت بيان

قلت اخرها خلاص بنزل الموضوع بس سيبوني :laughter01:

بداية سندرس الحالة الخاصة للمتباينة لمتغيرين ونتمرن عليها ومن ثم نعمم الى n عددا ...

بنهاية كل شرح راح احط تمارين وارجو رجاء شديدا ان المتمكن من الموضوع والاساتذة الموجودين هنا ان يكتفوا بالمشاهدة لأن الموضوع مخصص للمبتدئين في المتباينات وهو موضوع لا تعالجه مناهجنا للأسف ...

....................................

لنعرف الوسط الحسابي ( Arithmatic mean ) لعددين موجبين بالصورة التالية :

$\150dpi AM=\frac{a_1+a_2}{2}$

وكذلك لنعرف الوسط الهندسي ( Geometric mean ) لعددين موجبين بالصورة التالية :

$\150dpi GM=\sqrt{a_1.a_2}$

بكل بساطة تربط بين هذين الوسطين علاقة تباين تدعى اختصارا بـ AM-GM وهي كالتالي :

$\150dpi \frac{a_1+a_2}{2}\geq \sqrt{a_1.a_2}$

ويحدث التساوي عندما تتساوى المتغيرات ، وهنا اشدد على كون الاعداد موجبة لانه شرط لتطبيق المتباينة ...

تعالوا الآن لنرى كيفية اثبات المتباينة السابقة ...

$\150dpi \frac{a_1+a_2}{2}\geq \sqrt{a_1.a_2}\Leftrightarrow a_1+a_2\geq 2\sqrt{a_1.a_2}\Leftrightarrow a_1-2\sqrt{a_1.a_2}+a_2\geq 0$

الان لنلاحظ أن ما وصلنا اليه هو عبارة عن متطابقة مربع كامل اذا يكافئ

$\150dpi a_1-2\sqrt{a_1.a_2}+a_2\geq 0\Leftrightarrow \left (\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2} \right )^2\geq 0$

وهي صحيحة دائما لأن أي مربع كامل ضمن الاعداد الحقيقية موجب دائما ...

تعالوا لنأخذ أمثلة على متباينتنا الجميلة ...

مثال (1)

اذا علمت أن x,y اعداد موجبة واكبر من الصفر فأثبت أن

$\150dpi \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq 2$

الحل :-

تعالوا لنطبق المتباينة السابقة مباشرة وسنرى ماذا سينتج

$\150dpi \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq 2.\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{x}{y}}=2$

كما ترون انها مباشرة وسهلة وجميلة ولنحاول ان نعتاد على المتباينة بالصورة السابقة فبدلا من ان نكتب بكل مرة ان 2 بالمقام ومن ثم نضرب الطرفين ب2 بدلا من ذلك نستعمل الصورة السابقة ...

مثال(2)

لتكن x,y اعداد موجبة فأثبت أن

$\150dpi \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}$
الحل:-

كذلك نطبق المتباينة مباشرة هنا

$\150dpi \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}$

الان سنعرض تمارين بسيطة وافكارها سهلة نسبيا ، حاول ان تطبق المتباينة اكثر من مرة ومن ثم تجمع او تضرب حسب المتباينة بالسؤال ، ممكن تحط 15 مقدار وتحط واحد منهم بقوس والباقي بقوس فتصير كأنهم عددين فقط لتطبق ما درسته ...

باذن الله سننتظر منكم حلول التمارين وساضع الحلول بنفسي ان لم يتقدم احد للحل غدا باذن الله ...

وممكن نعطي ارشاد بسيط لحل التمرين لمن استعصى عليه الحل ...

وآخر شي نتمنى منكم دعوة بظهر الغيب بالهداية في هذا الشهر الكريم ...

التمارين :-

الاعداد في كافة التمارين التالية اعداد موجبة والمطلوب اثبات هذه المتباينات

$\150dpi (1) \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}$

$\150dpi (2) \ x^2+y^2+z^2\geq x\sqrt{y^2+z^2}+y\sqrt{x^2+z^2}$

$\150dpi (3) \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

$\150dpi (4) \ \left ( x+y \right )\left ( y+z\right )\left ( x+z\right )\geq 8xyz$

ملاحظات :-

1- ياليت الحل يكتب باللاتيكس او بخط اليد

2- في البداية سيكون الطريق صعبا ومن ثم راح تصير المتباينات اسهل شي عندكم وهذا عن تجربة شخصية ...

والله الموفق ...

misoon · #2 11-08-2010, 15:19

وأخيرآ :a_plain111::s_thumbup:

مهند الزهراني · #3 11-08-2010, 20:40

اتمنى مشاركتك معنا اخت ميسون ...

مثال محلول ثالث للتوضيح اكثر ...

اثبت للأعداد الموجبة a,b,c ان المتباينة التالية متحققة

$\150dpi a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

الحل:-

تعالوا نطبق المتباينة لكل عنصرين معا

$\150dpi \frac{a^2+b^2}{2}\geq \sqrt{a^2b^2}=ab\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab \ \left ( 1\right )$

وبالمثل مع باقي العناصر

$\150dpi c^2+b^2\geq 2cb \ \left ( 2\right )$

$\150dpi c^2+a^2\geq 2ca \ \left ( 3\right )$

بجمع الثلاث متباينات والقسمة على 2 تنتج المتباينة المطلوبة ...

misoon · #4 11-08-2010, 20:55

لي عودة ..

رح احل التمارين وارجع مع الحل ..

بس عندي سؤال : هل نثبت انها متتالية حسابية او هندسية وبس ولا مع النواتج ايضآ ؟!

مهند الزهراني · #5 11-08-2010, 21:03

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة misoon

لي عودة ..

رح احل التمارين وارجع مع الحل ..

بس عندي سؤال : هل نثبت انها متتالية حسابية او هندسية وبس ولا مع النواتج ايضآ ؟!

اصلا مافي داعي للمتتاليات هنا ، طبقي فقط المتباينة الموجودة ، تحرري من قيود المناهج اللي عندك ...

misoon · #6 11-08-2010, 21:13

أوك فهمت أستاذ ... جاري الحل ..

Weierstrass-Casorati · #7 11-08-2010, 21:13

شكرا لك أخي مهند وجزيت خيرا على ما تقدمه أسأل الله أن يجعله في ميزان حسناتك

نورة الشريف · #8 12-08-2010, 05:16

السلام عليكم ..

حلوة الأسئلة كبدااية لكن أتمنى منك أخ مهند أن توضح للأعضاء المتعلمين انه قبل البدء في حل المتباينة بطريقة ما قد يكون هنا بعض العمليات الجبرية التي تسهل لي عملية الحل وتعتبر مفتاحا له كما فس السؤالين الاخيرين أما السؤال الاول على سبيل المثال فلا يحتاج ..

فرووحة · #9 12-08-2010, 14:05

رائع أ. مهند ,, الموضوع شدني كثييييييراً من عنوانهـ لأني كنت حابة فعلاً إني أتعلم هالمتباينات وكان هذا مرور سريع فقط لأطلع على الموضوع ويبدو أنه أكثر من رائع فشكراً لكـ وبوركت جهودك ,, صراحة ماحبيت أدخل بدون ما أعقب عالمجهود الرائع هذا ولكن لي عودة لأركز في الشرح أكثر وأحاول الحل معكم فلو سمحتو كرسيا محجوز بانضم للطلاب الي معكم ^^ ..
خالص تقديري .. فرووحة (=

مهند الزهراني · #10 12-08-2010, 14:20

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati

شكرا لك أخي مهند وجزيت خيرا على ما تقدمه أسأل الله أن يجعله في ميزان حسناتك

العفو

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !