متباينة بسيطة

الموهوب66 · #1 11-10-2010, 17:36

أثبت أن

بالتفصيل

زولديك · #2 11-10-2010, 18:45

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الموهوب66

أثبت أن

بالتفصيل

البرهان

بسم الله الرحمن الرحيم

$\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}=\sqrt{1+\frac{a}{b}}+\sqrt{1+\frac{b}{a}}=\sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }}$ , و بدراسة أصغر قيمة ياخدها $\frac{1}{\Psi }$ نجد انها الواحد الصحيح , و هكدا نستنتج ان
$\Psi =1 \Rightarrow \sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }}=\sqrt{1+1}+\sqrt{1+\frac{1}{1}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ حيث هده هي اقل قيمة , بالتالية نجد
${\color{blue} \sqrt{1+\Psi }+\sqrt{1+\frac{1}{\Psi }}=\sqrt{a+b}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})\geq 2\sqrt{2}}$

مهند الزهراني · #3 11-10-2010, 19:08

$\150dpi \sqrt{a+b}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )\geq \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}}\geq 2\sqrt{\frac{a+b}{\sqrt{ab}}}\geq 2\sqrt{2}$

بعد تطبيق متباينة الوسطين التي تنص على

$\150dpi x,y\in \mathbb{R}^+\Leftrightarrow \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$

زولديك · #4 11-10-2010, 20:04

عفوا برهاني خاطئ

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !