[هوائية]

مفهوم الاحتمال و طرق حسابه (1)
******************************

في كثير من مناحي الحياة نستعمل الاحتمالات كجزء من منطقية تعاملنا مع الواقع.
فالإنسان يجد في معظم الأوقات نفسه أمام عدة خيارات، و عليه أن يختار ما يظن أنه الأفضل،
فمثلا على الصعيد الشخصي ،
عندما تختار مجال دراسة فإننا نختار مجال الدراسة الذي نظن أن هناك احتمالا كبيرا لأن نفلح فيه،
و كذلك نحن نستعمل الاحتمالات في أمور أبسط بكثير من ذلك،
مثلا عند شراء منتج معين نختار المنتج الذي يحتمل أن يكون أكثر كفاءة و هكذا.....

و عندما تريد الجامعة اعتماد تخصص جديد فإنها تختار التخصص الذي يحتمل أن يكون عليه إقبال مناسب،
و عندما يختار تاجر أن يعقد صفقة معينة فلا بد أنه يعتقد أن هناك احتمالا كبيرا في الربح،

و عندما يريد صاحب مصنع تحديد كمية المنتج فلا بد أن يكون عنده حسن تقدير لكم المنتج المطلوب في السوق
ليتسنى له بيع معظم الإنتاج و يحقق الربح المطلوب.

و عندما تريد الدولة أن تحدد عدد المدارس الجديدة التي يجب أن تبنيها
يجب أن تقدر جيدا احتمال كفاية تلك المدارس لحاجة الدولة،
كما أنها أذا أرادت مثلا أن تحدد كمية إمدادات الكهرباء التي يجب أن تزود بها مدينة ما
فإنها يحب أن تتأكد من أن احتمال أن تحتاج المدينة إلى إمدادات أكثر هو احتمال صغير يمكن إهماله،

يمكننا إن أمعنا التفكير قليلا أن نجد أن الاحتمالات مرتبطة بجميع مناحي الحياة بالفعل

فماذا نعلم عن الاحتمالات

نعلم طبعا بأنها تتعلق بعملية مستقبلية لم تحدث بعد (تسمى تجربة) و ليست لدينا معلومات كاملة عنها،

و نتائج تلك العملية يسمى كل منها عنصر

و أي مجموعة من تلك العناصر تسمى حدث.

و مجموعة الإمكانات كلها تسمى فضاء العينة


حسنا

إذا كانت تلك هي الحال فكيف يتم تقدير الاحتمالات

في البداية غالبا ما نستعمل الاحتمالات في حياتنا و ذلك من خلال النسبة المئوية

فنقول نسبة نجاح الطلاب في مادة ما هي 80%

و هي تعبر عن أن من بين كل 100 طالب ينجح منهم في المتوسط 80.

و نلاحظ أن الاحتمال للحدث عندما يكون مؤكد هو الواحد الصحيح ، و هذا ما نعبر عنه بقولنا مثلا أن نسبة نجاح صفقة معينة هي 100 %

طبعا لا بد أن تكون هذه الصفقة مع الله.

" إِنَّ اللّهَ اشْتَرَى مِنَ الْمُؤْمِنِينَ أَنفُسَهُمْ وَأَمْوَالَهُم بِأَنَّ لَهُمُ الجَنَّةَ يُقَاتِلُونَ فِي سَبِيلِ اللّهِ فَيَقْتُلُونَ وَيُقْتَلُونَ وَعْدًا عَلَيْهِ حَقًّا فِي التَّوْرَاةِ وَالإِنجِيلِ وَالْقُرْآنِ وَمَنْ أَوْفَى بِعَهْدِهِ مِنَ اللّهِ فَاسْتَبْشِرُواْ بِبَيْعِكُمُ الَّذِي بَايَعْتُم بِهِ وَذَلِكَ هُوَ الْفَوْزُ الْعَظِيمُ"

[هوائية]

ماذا نعلم عن الاحتمال أيضا

نعلم أن الاحتمال في كل الأحوال لا يمكن أن يكون عددا سالبا لأنه يعبر عن نسبة معينة.


كما و يمكنك بسهولة أن ترى أنك

إذا أردت أن اختار عدد من مجموعة الأرقام 0، 1، 2،...،9 فإن احتمال أن يكون العدد الذي اخترته عددا زوجيا هو 0.5 بينما احتمال أن يكون العدد فرديا هو 0.5 أما احتمال عددا يقبل القسمة على 4 هو 0.3 و احتمال عددا يقبل القسمة على 3 هو 0.4

لاحظ أننا لإيجاد احتمال أن يكون العدد المختار هو إما عددا فرديا أو يقبل القسمة على 4

فما علينا إلا أن نجمع 0.5+0.3=0.8

لكننا إذا أردنا إيجاد احتمال اختيار عدد زوجي أو يقبل القسمة على 3 فالإجابة لا يمكن أن تكون
0.5+0.4 لماذا؟
لا بد أنك أدركت أن
الجواب الفعلي هو 0.6

"إذن لا بد أن ندرك أن قاعدة الجمع تستخدم فقط عندما يكون الحدثان لا توجد بينهما عناصر مشتركة "
و نعبر عن ذلك بقولنا

"بقولنا الحدث الأول (اختيار عدد يقبل القسمة على 4) ينفي الحدث الثاني (اختيار عدد فردي)"

ونجد أن وقوع أي منهما يمنع وقوع الآخر.
و يسمى مثل هذين الحدثين حدثين متنافيين.

أما الحدثين (اختيار عدد يقبل القسمة على 3) و (اختيار عدد زوجي) فهما غير متنافيين لأن العدد 6 ينتمي لكل منهما.
كل ما سبق نعبر عنه من خلال خاصية أخري تميز الاحتمالات و هي

"أنه إذا كان لدينا حدثين متنافيين فإن احتمال وقوع الحدثين الأول أو الثاني هو مجموع احتمال كل منهما."

مثال
إذا أردت أن اختار عدد طبيعي فإن احتمال أن يكون العدد الذي اخترته عددا زوجيا هو 0.5 بينما احتمال أن يكون العدد فرديا هو 0.5 أما احتمال أن يكون العدد المختار إما عددا فرديا أو زوجيا فهو بالطبع 1
لأن هذا حدث مؤكد فالأعداد الطبيعية هي إما فردية أو زوجية
و طبيعي أن يكون الجواب هو مجموع احتمال اختيار عدد زوجي مع احتمال اختيار عدد فردي.

و من كل ذلك نستنتج التالي
خواص الاحتمال لحدث ما
1- هو عدد موجب بين الصفر و الواحد.
2- أنه إذا كان لدينا حدثين متنافيين فإن احتمال وقوع أحد الحدثين هو مجموع احتمال كل منهما.


من المهم أن ندرك أن هاتين الخاصيتين لوحدهما تختزلان كل المعلومات السابقة و اللاحقة أقصد أننا يمكن أن نؤسس كل علم الاحتمالات عليهما.

[مجاهد]

الله يعطيك العافية

[هوائية]

أشكرك أخي مجاهد بارك الله فيك