[Einstine]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
كنت قد قلت ان ميكانيكا الكم تحتاج الى عقل مفكر بحق ومعرفة رياضية كبيرة ، حتى يتم فهمها على اكمل وجه ، لذا فى هذا الموضوع سوف نذهب معا ً فى رحلة الى اعماق معادلة شرودنجر ، هذه المعادلة التى قلبت الموازين ، وغيرت صورتنا عن العالم الفيزيائي تماما .ً
فى البداية ، كان لايزال بالإمكان إفتراض ان للجسيم موضعا ً وكمية تحرك محددين فى اية لحظة ، لكن الفكرة الجديدة تقضى بأن حركنه تكون الى حد ما موجهة بواسطة مجال موجى منتشر فى المكان .
فمثلا ً : فى حالة قارب ينساق بموجات البحر تزودنا بصورة ممكنة ، فالقارب موجود فى مكان معين عند اى لحظة ، لكن الإضطراب الموجى الذى يوجه إنسياقه هو الذى ينتشر .
المهم ، نعود الى موضوع شرودنجر .
إجتهد شرودنجر فى طلب علاقات موجية بين ديناميكا الجسيم الكلاسيكية والبصريات الهندسية ، وأوصله هذا الى معادلة لدالة ظنية هى u ( x , y , z ، مرتبطة بجسيم له كتلة m وطاقته المحددة E ومتحرك فى جهد V ( x , y , z :

الدالة u ( x , y , z ليست هى الدالة الموجية بعد ، ولكن لنر ماذا فعل شرودنجر فى المعادلة ( 1 ) .
من الناحية الرياضياتية ، بالنسبة لأى دالة جهد معلومة V يكون لهذه المعادلة حلول ، بصرف النظر عن قيمة البارامتر E . إلا ان الدالة u ( x , y , z بالرغم من هذا ،لم تزود بتعليل فيزيائي سليم ، فقد افترض شرودنجر ان الطبيعة لا تقبل إلا الحلول ذات السلوك الحسن ، ويقصد بها ان تكون u ( x , y , z محددة لجميع قيم z , y , x ومحددة كلما اقتربت هذه المتغيرات من المالانهاية .
وان تكون ايضا ً وحيدة القيمة ، بمعنى ان يكون لها تعريف وحيد عند كل نقطة فى الفضاء . بمثل هذا من السلوك الحسن المطلوب ، كانت النتيجة فى حالة جهد ذرة الهيدروجين انه فى نطاق 0 > E تكون هناك طاقات معينة مسموحة ، وهى نفس الطاقات التى حُصل عليها فى نظرية الكم القديمة لبور والتى تتفق جيدا ً مع التجربة .
اما فى نطاق 0 < E فإن جميع الطاقات مسموحة ، ويكون طيف الطاقة متصلا ً .
نعود الى المعادلة ( 1 ) وما تتطلبه من سلوك حسن كمعادلة ذات قيمة مميزة للطاقة ، حيث يطلق على الحلول ذات السلوك الحسن الدوال المميزة للطاقة ، وتكون الطاقات المناظرة هى القيم المميزة للطاقة . هنا تنشأ على الفور عدة ملاحظات متتابعة .
فالمعادلة تشير الى جسيم ذى طاقة محددة E وليست هناك حاجة لبرهنة ذلك كلاسيكيا ً . انه لأمر بديهى ان يكون للجسيم طاقة محددة ، وتلك الطاقة من الناحية الكلاسيكية موزعة بين طاقة الحركة وطاقة الكهد حسب حركة الجسيم ، وإن كان حاصل جمعهما ثابت مع الزمن .
اما من ناحية ميكانيكا الكم فإن الجسيم لا يحتاج ان تكون له طاقة محددة ، بالرغم ان المعادلة ( 1 ) تشير الى حالة خاصة يحدث فيها ان يكون للجسيم طاقة محددة .
والملاحظة الأخرى التى نشير اليها هى ان الزمن لايدخل فى المعادلة ( 1 ) . مع إن الأشياء تتغير بطبيعتها مع الزمن فى الكم وميكانيكا نيوتن معا ً .
وتؤدى الدالة u ( x , y , z دورا ً مهما ً فى ميكانيكا الكم ، ولكنها عموما ً ليست الدالة الموجية الفعلية للجسيم.
إن تلك الدالة الموجية Ψ ( x , y ,z , t تعتمد على الزمن مع إعتمادها على الفضاء .
وهذه هى المعادلة التى تصف الدالة الموجية الفعلية Ψ ( x , y ,z , t لجسيم متحرك فى جهد V ( x , y , z:

كانت هذه المعادلة قفزة مذهلة ، لأن معادلة شرودنجر قد تم تسجيلهل ونشرها قبل ان يمتسب موضوع الدالة الموجية اى شئ من الإيضاح لتفسيرها المبهم . ولم تكن القفزة الكبرى فى مجرد استبدال قانون نيوتن بمعادلة شرودنجر . وإنما كانت قفزة الى مفهوم جديد للعالم الفيزيائي الكامن فى الوصف التفسيري للمعادلة ( 2 ) .
دعنا نضع بعض الملاحظات على المعادلة ، لنفهم التغير الذى احدثته المعادلة فى التصور الكلاسيكي المعروف عن العالم الفيزيائي :
( a ) يظهر فى المعادلة ( 2 ) العدد التخيلى i وهو 0.5 ^ 1- ، وهذا يعنى انه يجب ان نستعد للتعامل مع دوال موجية مركبة ، وهنا نذكر بأن اى كمية مركبة z سواء كانت دالة او عدد ثابت ، يمكن فكها الى حاصل جمع جزئين احدهما حقيقى والأخر تخيلى :
حيث الحد الأول هو الحقيقيى والحد الثانى هو التخيلى . ونذكّر ايضا بالن الكمية المركبة المرافقة للكمية z ويرمز لها بـ وهى : ، والمربع المطلق للكمية z هو :
( b ) المعادلة ( 2 ) خطية بالمعنى الأتى : إذا كان Ψ حلا ً فإنAΨ حلاً ايضا ً حيث A ثابت مركب إختيارى ، وبصورى اعم إذا كان Ψ1 و Ψ2 حلين للمعادلة فأن
Ψ2A2 +Ψ1A1 = Ψ يعتبر حلا ً ايضا ً . حيث 1A و 2A ثابتان مركبان إختيارين.
( c ) بما ان المعادلة ( 2 ) تشتمل على مشتقة من الدرجة الأولى بالنسبة الى الزمن ، فإن Ψ إذا كانت معلومة كدالة فى المتغيرات الفراغية الثلاثة z , y , x عند اى لحظة معينة ، فإنها تكون محددة بطريقة وحيدة لجميع اللحظات الزمنية الأخرى . وبهذا تكون ميكانيكا الكم حتمية تماما ً .
( d ) لم يظهر بارمتر طاقة فى المعادلة ( 2 ) ، لكن بإمكاننا ملاحظة الأتى : لتكن الدالة غير المعتمدة على الزمن u ( x , y , z هى حل ما لمسألة االقيمة المميزة للطاقة فى المعادلة ( 1 )
حيث E الطاقة المناظرة . عندئذ يمكن التحقق من ان :

هو حل خاص للمعادلة ( 2 ) مثلما انه فى الوقت نفسه حل للمعادلة ( 1 ) . وهكذا إذا كان الجسم فى حالة طاقة محددة ، فإن دالته الموجية Ψ تساوى الدلة المميزة للطاقة u مضروبة فى المعامل الأسى المتغير مع الزمن فى المعادلة ( 3 ) .
يمكننا ان لاحظ بصورة اعم انه إذا كان u1 و2 u حلين لمسألة القيمة المميزة للطاقة للطاقتين المناظرتين E1 و E2 فإن حاصل الجمع :

يكون حلاً ايضا ً للمعادلة ( 2 ) طبقا ً لما جاء فى الملاحظة ( b ) حيث A1 و A2 ثابتان إختياريان . لكن الحل يشتمل على طاقتين مختلفتين ، فأيهما تكون طاقة الجسيم ؟
الجواب هو انه ليس بالضرورة ان يكون للجسيم طاقة محددة ، او موضع محدد ، او كمية تحرك محددة ! فبالنسبة لجسيم له هذه الدالة الموجية الخاصة . يمكن ان يعطى قياس الطاقة نتيجتين .
مع ملاحطة ان الحل السابق ما هو إلا تجميع بمعاملات إختيارية لحلول من النوع الظاهر فى المعادلة ( 3 ) .وهذا يعد تعميم واضح . وإن تجميع اى عدد من حلول النوع الأخير يعتبر فى حد ذاته حلا ً للمعادلة ( 2 ) .
( e ) لأى Ψ حلاً للمعادلة ( 2 ) يمكن إيضاح الأتى : بالرغم ان المربع المطلق لهذا الحل سيكون بالطبع معتمدا ً على الزمن مع الفضاء ، فإن تكامل هذه الكمية على كل الفراغ لا يعتمد على الزمن او ثابت مع الزمن :

الملاحظة هنا هى : عندما لا تكون حدود التكامل مبينة صراحة ، فإنه يفهم ضمنا ً ان التكامل مأخوذ على كل الفراغ .
يمكن إفتراض ان التكامل فى إستنتاج النتيجة السابقة يكون محدودا ً . وهذا فى حقيقة الأمر متطلب ضرورى لميكانيكا الكم ، وهو ان يكون التكامل السابق محدودا ً ، اى ممكنا ً لمربع الدالة .فإذا كان تكامل مربع الدالة ممكنا ً فى اى لحظة معينة من الزمن ، فإن المعادلة السابقة تؤكد انه يكون كذلك فى جميع اللحظات الزمنية الأخرى .
ولبعض الشرح نحتاج الى مفهوم حاصل الضرب القياسى لدالتين ، بفرض ان لدينا دالتين مركبتين f ( x و g (x متصلتين على الفترة [ a,b ] فإن حاصل الضرب القياسى لهاتين الدالتين هو :

ومن بعض خواص حاصل الضرب القياسى :

وبحسب التعريف يكون المعيار لمربع الدالة وهو الخاصية الثانية حقيقيى وغير سالب .
نعود الى موضوعنا ، تقترح مجموعة الملاحظات السابقة بداية طريق التفسير للمعادلة (2 ) ، حيث تقترح الملاحظة ( c ) ان الدالة الموجية تمثل كل ما يمكن معرفته عن حالة الجسيم ، اما الملاحظة ( e ) فتقترح تفسيرا ً إحتماليا ً ، نعلم من الملاحظة ( b ) انه إذا كان Ψ حلا ً فإن ΨA يعتبر حلا ً ايضا ً، حيث A ثابت إختيارى ، دعنا نجرى تعديلنا بسيطا ً على الفرض الذلى يقضى بأن الدوال الموجية المختلقى فقط بثابت مضاعف تصف نفس الحالة الفيزيائية ، وإذا كان ذلك كذلك ، فإنه يمكننا ايضا ً إستغلال حرية اختيار الثابت المضاعف لكى تكون الدالة الموجية معيارية ، اى ان: < Ψ | Ψ > .................... المعادلة 5
وهذا ايضا ً يمثل حلا ً للمعادلة ( 2 ) .
الأن ، دعنا نتخل عن فكرة ان الجسيم موجوداً فى اى مكان معين فى اية لحظة ، ونستبدلها بفكرة ان ميكانيكا الكم تتعامل فقط مع الإحتمالات ، ليكن P ( x , y , z , t رمزا ً للتوزيع الإحتمالى الفراغى. ويعرف ان إجراء تكامل P على اى حجم محدد من الفراغ يعطى إحتمال وجود الجسيم فى ذلك الحجم وطبقا ًلنتائج ماكس بورن ، فإن المنظومة فى الحالة Ψ يكون التوزيع الإحتمالى هو :

وهذا يعتمد على كل من الفراغ والزمن ، لأن الدالة الموجية تعتمد على كليهما ، اما عند إجراء التكامل على الفراغ كله ، فإن النتيجة لا تعتمد على الزمن وتساوى الواحد ، ونحصل على هذا من جمع المعادلات
( 4 ) و ( 5 ) و ( 6 ) .
من هنا نستنتج ان الحل فى المعادلة ( 5 ) هو حل إحتمالى ، وهذا هو مضمون معادلة شرودنجر حيث ان الدالة الموجية إحتمالية ، لذا تم القضاء على الحتمية التى كانت تنادى بها الميكانيكا الكلاسيكية ، وبرهنت ميكانيكا الكم بأسس رياضية سليمة ان العالم الفيزيائي هو عالم إحتمالى بحت ولا شئ به يدعى الحتمية .
والله اعلم .
هذه هى نهاية رحلتنا ، وإن كانت ناقصة او بها شئ خطأ فأعذرونى فإنه لايوجد شئ كامل إلا الله عز وجل وكتابه الكريم .
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته .

[Einstine]

انا اسف اسف اسف اسف .
سامحنى اخى رشوان .
اقسم انى لم ار موضوع كثافة الإحنمال إلا بعد كتابة موضوعى .
سامحنى جدا ً يا اخى .
ويمكنك ان تحذف الموضوع .
اكرر اسفى مرة ثانية .

[رشوان محمود]

يا اخي لماذا كل هذا الاسف ولماذا احذف الموضوع !!!!!
موضوعك رائع رائع رائع
ونحن نحتاج الي مثل هذه المواضيع في منتدي فيزياء الكم , فبلاضافة الي الفهم الفيزيائي لابد ان ندعم كلامنا بالرياضيات .. وهذا ما فعلته في موضوعك

والان دعني اناقشك فيما كتبت لتسهيل الموضوع وتوضيح الامور

انت ذكرت معادلة شرودنجر

وهي معادلة شرودنجر التي تعتمد علي الزمن
وحل هذه المعادلة لايجاد قيم الطاقة E وايجاد الدالة الموجية (اوبساي )
والدالة ( اوبساي ) تعتمد علي احداثيات المسافة والزمن
والمعادلة السابقة معقدة جدا ولا يمكن ان نحلها الا في حالات خاصة
و كحالة خاصة : نفرض ان الجهد يعتمد علي احداثيات المسافة فقط ولا يعتمد علي الزمن , وكمثال لهذا النوع من الجهد : جهد كولوم , وجهد المتذبذب التوافيقي .
وبهذا الفرض يمكننا ان نعتبر الدالة ( اوبساي ) كحاصل ضرب دالتين : دالة تعتمد علي احداثيات المسافة فقط ونسميها ( u(x,y,z والدالة الثانية ونسميها ( Q(t
بالتعويض عن الدالة (اوبساي ) = (u(x,y,z.Q(t في المعادلة السابقة سينتج لنا معادلتان
1- معادلة لا تحتوي علي جهد وحلها يعطي لنا شكل الدالة (Q(t
2- معادلة تحتوي علي جهد وتسمي معادلة شرودنجر التي لا تعتمد علي الزمن وحلها يعطي لنا شكل الدالة (u(x,y,z
وبالتالي نكون حصلنا علي شكل الدالتين u و Q وحاصل ضربهما يعطينا شكل الدالة (اوبساي )

المشكلة كلها في حل المعادلة الثانية ( التي تحتوي علي الجهد ) والتي تسمي معادلة شرودنجر التي لا تعتمد علي الزمن , ودعنا نطلق عليها اسم اخر وهو " معادلة المسألة " لأن شكل الدالة u يختلف باختلاف الجهد المعطي في المعادلة , بينما الدالة Q التي حصلنا عيها من المعادلة الاولي فهي بمثابة معادلة عامة تطبق في كل الحالات ولا تعتمد علي شكل الجهد سواء كان جهد كولوم او جهد المتذبذب التوافيق ..... الخ

[رشوان محمود]

اخي اينشتين .. انت قولت ((( اما من ناحية ميكانيكا الكم فإن الجسيم لا يحتاج ان تكون له طاقة محددة ، بالرغم ان المعادلة ( 1 ) تشير الى حالة خاصة يحدث فيها ان يكون للجسيم طاقة محددة . )))
وهذه الجملة تدل علي فهم ممتاز للموضوع ككل
فنرجو ان تعتني بشرحها بالتفصيل قدر الامكان

ايضا قولت : ((( يظهر فى المعادلة ( 2 ) العدد التخيلى i وهو 0.5 ^ 1- ، وهذا يعنى انه يجب ان نستعد للتعامل مع دوال موجية مركبة )))
ولكن يا اينشتين استعدادنا للتعامل للتعامل مع الدالة الموجية كدالة مركبة لم يكن بسبب وجود العدد التخيلي في المعادلة . وانما ظهر لنا العدد التخيلي في هذه المعادلة كنتيجة طبيعية لاننا افترضنا ان الدالة الموجية دالة مركبة , وبالتالي فان اشتقاقنا لمؤثر الطاقة سوف ينتج عنه هذا العدد التخيلي .. اليس كذك ؟

واشكرك علي موضوعك الرائع
تحياتي ,,,

[Einstine]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
بالنسبة الى تعليقك الأول ، فأعتقد انك ادرجت المعادلة الخطأ ، اما بالنسبة الى كلامك فإنه صحيح ، ولكن المعادلة يجب انت تكون Eq ... 2 .
اما بالنسبة للجملة ، فإنا سمعت اراء كثيرة عن تفسير هذه الجملة ، واما عن رأيي الشخصى فإنه كما اوضحت فى بداية المشاركة ، فإن حل هذه المعادلة يتطلب الحلول ذات السلوك الحسن فقط اى تكون محددة على كل المتغيرات ، وتكون وحيدة القيمة وذات طاقة مميزة ، لذا عانت هذه المعادلة من قصور مع قوانين الكم الأخرى التى تقضى بالإحتمالية ، فكان إستبدالها بالمعادلة الموجية الفعلية كتكميل لها لتشمل جميع الطاقات المحتملة . اى ان المعادلة Eq ... 1 هى حالة تكون فيها الطاقة مميزة ( اى ذات قيمة واحدة ) ، والله اعلم .
اما بالنسبة الى قولى : (( يجب ان نستعد للتعامل مع دوال موجية مركبة )) ، فهو للتوضيح وكمقدمة لإدراج قوانين الأعداد المركبة ، وايضا ً لكى نتعامل مع الدالة الموجية فى إستخدامها لتوضيح فكرة الإحتمالية .
والله اعلم
وملحوظة بسيطة : اخى رشوان محمود نصيحة منى إن شئت قبلتها وإن شئت رفضتها : حتى تسهل عليك كتابة رمز الدالة الموجية Ψ بدلا ً من كتابتها حرفيا ً وحتى لا يختلط على قراء الموضوع ، يمكنك ان تذهب الى برنامج microsoft word ثم تفتح insert ثم symbol ثم تختار الرمز Ψ او اى رمز تريده وتضغط عليه مرتين بالفأرة ليكتب فى صفحة الـ word ثم تظلله ثم تنسخه copy ثم فى المنطقة التى تريدها فى الموضوع انسخه paste .
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته .

[رشوان محمود]

نعم بالفعل ادرجت المعادلة (1) عن طريق الخطأ وسأعدلها الان , واقبل نصيحتك ولو اني كنت اود لو تعطيني فكرة كتابة المعادلات بالطريقة التي ادرجتها في صفحة المنتدي

وبالنسبة للموضوع نفسه

لذا عانت هذه المعادلة من قصور مع قوانين الكم الأخرى التى تقضى بالإحتمالية ، فكان إستبدالها بالمعادلة الموجية الفعلية كتكميل لها لتشمل جميع الطاقات المحتملة . اى ان المعادلة Eq ... 1 هى حالة تكون فيها الطاقة مميزة ( اى ذات قيمة واحدة )

مازالت هذه الفقرة تحتاج الي ايضاح , لذلك اردت ان تجيب علي سؤالين
السؤال الاول :
فما هو وجه القصورفي قوانين مكيانيكا الكم والتي عانت منه المعالة ؟ بالتفصيل ان امكن
السؤال الثاني
وما معني ان المعادلة (1) حالة تكون فيها الطاقة ذات قيمة واحدة ؟ بالتفصيل ان امكن . وما ترجمة "الطاقة مميزة " وكيف نفهمها ؟

تحياتي ,,,

[Einstine]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته.
اظن ان هناك بعض الأخطاء قد ارتكبتها فى مشاركتى الأخيرة .أقصد ان الحالة الخاصة تكون فيها القيمة ذات قيم محددة وليست واحدة ، ولمزيد الشرح سنجده فى التعريف التالى لمفهوم " القيمة المميزة للطاقة " .
هناك معادلة تسمى معادلة شرودنجر الغير معتمدة على الزمن Time-Independent Schrodinger Equation
وحلول هذه المعادلة تكون لها قيم طاقة مؤكدة ومحددة . وتسمى هذه القيم المحددة للطاقة القيم المميزة للطاقة eigenvalues of energy.
وكمثال على هذه الحالات الخاصة ، يمكننا التكلم بإختصار عن حل معادلة شرودنجر الغير معتمدة على الزمن لمسألة المتذبذب التوافقى Haromnic oscilator ، بفرض ان جسيم ما يتحرك حركة توافقية بسيطة ، وحتى لا اطيل فإن الجسيم يكونفى مستويات طاقة إهتزازية ونريد ان نعرف الطاقة عند كل مستوى ويعرف هذا بالمعادلة :

حيث ω هى السرعة الزاوية و n رقم المستوى .
عندما نعوض عن كل رقم مستوى نحصل على قيمة محددة للطاقة ،فمثلا ً هناك طاقة المستوى الأرضى zero point energy هي قيمة محددة وتساوى :

اى ان هذه القيم محددة ومعروفة جيدا ً .
اما بالنسبة الى قصور العادلة ( 1 ) يمكن توضيح المقصود من الأتى :
كما نعرف قوانين ميكانيكا الكم مبنية على مبدأ الإحتمالية ، اما المعادلة ( 1 ) فليست كذلك ، والأمر الأخر ان كل شئ يغير مع الزمن اى انه يجب الإنتباه الى ذلك فى الأمور الفيزيائية ، ولكن المعادلة ( 1 ) لم تكن معتمدة على الزمن اى انها قاصرة من ناحية الزمن لذا كان يجب إستبدالها بالمعادلة الموجية الفعلية ( 2 ) . لتكون الأخيرة هى التعميم الذى يشمل كل الحالات ، ليس فقط معدلة تشمل بعض الحالات الخاصة .
اتمنى ان اكون قد اوضحت المراد .
والله اعلم .
وبالنسبة الى كيفية وضعى للمعادلات فى المنتدى ، فإنى استخدم برنامج يدعى math type اكتب فيه المعادلات ثم احفظها على هيئة صور ثم ارفعها على اى موقع من مواقع رفع الصور واخذ الرابط واضعه بهذا الأمر [IMG/] الرابط [IMG] او يمكنك الضعط على زر إدراج صورة وهو سيقوم بوضع الرابط داخل الأمر مباشرة .
وهذا هو رابط البرنامج :
http://dc24.4shared.com/download/192...Confirmed=true
وارفقت ملاحظات لتتمكن من معرفة كيفة حفظ المعادلة كملف صورة .
والسلام عليك ورحمة الله وبركاته .

[Einstine]

اسف . الرابط هو : http://www.4shared.com/file/19249179.../mathtype.html
وعندما تحمله انتظر قليلا ً حتى ترى مساطيل قد ظهر واغط فيه على download file
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته .

[Einstine]

خطأ كتابى : مستطيل وليس مساطيل .

[رشوان محمود]

قد وضحت الامور الان

كما نعرف قوانين ميكانيكا الكم مبنية على مبدأ الإحتمالية ، اما المعادلة ( 1 ) فليست كذلك ، والأمر الأخر ان كل شئ يغير مع الزمن اى انه يجب الإنتباه الى ذلك فى الأمور الفيزيائية ، ولكن المعادلة ( 1 ) لم تكن معتمدة على الزمن اى انها قاصرة من ناحية الزمن لذا كان يجب إستبدالها بالمعادلة الموجية الفعلية ( 2 ) . لتكون الأخيرة هى التعميم الذى يشمل كل الحالات ، ليس فقط معدلة تشمل بعض الحالات الخاصة .

بالفعل المعادلة (1) هي ليست كل شئ ولكنها حالة خاصة ( تستخدم فقط اذا اعتمد الجهد علي المسافة فقط )
اما المعادلة (2) فهي المعادلة الرئيسية التي نتعامل معها لايجاد الدالة الموجية Ψ
واشكرك علي الملف

تحياتي ,,,