الكسور الجزئية

محمد ابوزيد · #1 03-01-2011, 23:01

نستخدم الكسور الجزئية فى بعض التكاملات

تمهيد:

قم باجراء الجمع الاتية

الآن اذا كان لدينا المقدار:

ونريد اعادته الى الشكل:

$=\frac{1}{x+2}+\frac{5}{x+3}$

لاحظ ان المقدار:

يمكن وضعه على الصورة

وذلك بتحليل المقام الى مقدارين جبريين من الدرجة الاولى

والتى يمكن تجزئتها الى:

الان نريد معرفة قيمة كل من : $A , B$

الحل:

$\frac{6x+13}{x^{2}+5x+6}=\frac{6x+13}{(x+2)(x+3)}$

$\frac{6x+13}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}$

$\frac{6x+13}{(x+2)(x+3)}=\frac{A(x+3)+B(x+2)}{(x+2)(x+3)}$

وباختصار المقام مع المقام

$6x+13=A(x+3)+B(x+2)$

وبفك الاقواس:

$6x+13=Ax+3A+Bx+2B$

$6x+13=x(A+B)+3A+2B$

وبمساواة المعاملات فى الطرفين نجد ان:

$A+B=6-----------(1)$

$3A+2B=13-----------(2)$

محمد ابوزيد · #2 03-01-2011, 23:10

وبحل المعادلتين معا:

بضرب المعادلة (1) فى $-3$

فيكون لدينا:

$-3A-3B=-18---(3)$

$3A+2B=13----(2)$

وبالجمع:

$-B=-5$

اى ان:
$B=5$

وبالتعويض من (1) $A+B=6$

ينتج ان:

$A+5=6$

اى ان:

$A=1$

محمد ابوزيد · #3 04-01-2011, 00:12

الحالة الثانية :

اذا كان المقدار فى المقام مرفوع لقوة اكبر من الواحد ( تكرار القوس)

مثال:

قم بتجزىء المقدار :

سنضع المقدار على الصورة:

وسيكون لدينا اربع حدود فى الطرف الايمن لان المقام مرفوع للقوة الرابعة

وهكذا :

مثلا:

تكون على الصورة:

محمد ابوزيد · #4 04-01-2011, 00:17

الملاحظة الهامة التى يجب ان تظل معك قبل ان نكمل هى ان القوة المرفوع لها البسط اقل من القوة المرفوع لها المقام

والا وجب علينا اجراء القسمة المطولة اولا

محمد ابوزيد · #5 04-01-2011, 00:41

$\frac{5X^{3}+7X-9}{(X+1)^{4}}=\frac{A(X+1)^{3}+B(X+1)^{2}+C(X+1)+D}{(X+1)^{4}}$

وباختصار المقامات معا
$5X^{3}+7X-9=A(X+1)^{3}+B(X+1)^{2}+C(X+1)+D$

وبمقارنة المعاملات فى الطرفين نوجد:

$A,B,C,D$

مع ملاحظة ان معامل $X^{2}$ فى الطرف الايسر هو صفر

وان:

$A+B+C+D=-9$

الحارث · #6 07-01-2011, 20:44

مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه

مرجانه · #7 07-01-2011, 23:11

شكرا استاذ محمد
موضوعك رائع
لدي اضافه اذا سمحت
بعد مانوزع المقام نشتقه واذا كانت المشتقه عدد ثابت نضع بسط هذا المقام رمز A او اي رمز ثايت
واذا كانت مشتقه المقام متغير فيكون بسط هذا المقام متغير

للتوضيح
في المثال التالي
$\frac{X^2+1}{(X+1)(X^2+X+1)}=\frac{-}{X+1}+\frac{-}{X^2+X+1}\\\\d(X+1)=1\rightarrow A\\\\d(X^2+X+1)=2X+1\rightarrow BX+C\\\Rightarrow \frac{A}{X+1}+\frac{BX+C}{X^2+X+1}$
عدد الثوابت لابد ان يساوي اكبر درجه في المقام
وعدد المعادلات لابد ان تساوي عدد الثوابت

محمد ابوزيد · #8 08-01-2011, 00:04

اشكرك جدا اخت مرجانه على الاضافة القيمة والموضوع بالفعل له باق ولكنى توقفت لاتابع موضوع اساسيات الفيزياء لبوش فشكرا لاضافتك ومرورك الكريمين

اخوكم / محمد ابوزيد

فقط للأفضل · #9 14-01-2011, 16:38

بارك الله فيك استاذ محمد

ندرسه بالجامعه باسم تفريق الكسور

فراشة الرياضيات · #10 25-01-2011, 19:35

شـكــ وبارك الله فيك ـــرا لك ... لك مني أجمل تحية .

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !