الصياغة النسبوية لنظرية الكم

الصادق · #1 26-12-2009, 22:41

اشتقاق معادلة شرودنجر (المعادلة الاساسية فى ميكانيكا الكم)

معلوم اننا فى ميكانيكا الكم نستبدل الكميات المُقاسة كلاسكياً بمؤثرات مقابلة لها تؤثر على دالة تسمى بالدالة الموجية وهى دالة تتمتع بخصائص رياضية محددة (دالة منتهية , أُحادية القيمة وتؤول الى الصفر عند الاطراف اللانهائية للفضاء )

يعطى مؤثر الطاقة بالشكل التالى:

$\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$

بينما يعطى مؤثر كمية الحركة الخطية بـ

$\hat{\vec{P}}=\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla}$

الان نستخدم تعريف الطاقة الكلية على انها مجموع طاقتى الحركة والجهد وعليه يكون مؤثر الطاقة الكلية يساوى مجموع مؤثرى طاقة الحركة وطاقة الجهد

$\hat{E}=\hat{T}+\hat{V}$

ولكن طاقة الحركة تساوى نصف الكتلة ضرب مربع السرعة

$T=\frac{mv^2}{2}$

ولكن من جانب اخر نجد ان كمية الحركة تساوى حاصل ضرب الكتلة فى السرعة وعليه نجد ان السرعة تساوى كمية الحركة مقسومة على الكتلة وهكذا بالتعويض فى طاقة الحركة اعلاه نحصل على

$T=\frac{m(\frac{P}{m})^2}{2}=\frac{P^2}{2m}$

وهكذا نستطيع كتابة مؤثر الطاقة الكلية بدلالة مؤثر كمية الحركة

$\hat{E}=\frac{\hat{P}^2}{2m}+\hat{V}$

وبتعويض قيمة مؤثر الطاقة وكمية الحركة نحصل على

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\hat{V}$

وكما قلنا سابقاً ان المؤثرات الكمية تؤثر على دالة موجية فاننا نستطيع ضرب طرفى المعادلة اعلاه فى دالة موجية ابساى لنحصل على معادلة شرودنجر

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(t,\vec{x})+V\Psi(t,\vec{x})$

الصادق · #2 26-12-2009, 22:48

اشتقاق معادلة كلين-غوردون

نسبة لان الطاقة الكلية فى النسبية الخاصة تختلف عن الطاقة الكلية فى ميكانيكا نيوتن فاننا سوف نكتب العلاقة النسبوية لتعريف الطاقة وهى

$E^2=P^2c^2+m_0^2c^4$

حيث m_0 هى كتلة السكون للجسيم المعنى بالدراسة. وهكذا يكون مؤثر الطاقة الكلية يعطى بالعلاقة التالية

$\hat{E}^2=\hat{P}^2c^2+m_0^2c^4$

وبتعويض قيم مؤثرات الطاقة و كمية التحرك المعطاه فى المشاركة السابقة نحصل على معادلة المؤثرية التالية

$-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}=-\hbar^2c^2\nabla^2+m_0^2c^4$

وبعد الترتيب تأخذ المعادلة اعلاه الشكل التالى

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}=0$

وبضرب طرفى المعادلة الاخيرة فى الدالة الموجية نحصل على معادلة كلين-غوردون

$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi(t,\vec{x})=0$

لاحظ ان المقدار

$\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}$

ماهو الا مربع مقلوب طول موجة كمبتون لجسيم وهو يؤكد على ان الجسيم الذى ابعاده فى حدود طول موجة كمبتون لاتنطبق عليه قوانين ميكانيكا الكم بل يخضع لقوانين نظرية الكم النسبوية لانه
يتحرك بسرعة تقترب من سرعة الضوء. اما اذا كان الجسيم يتحرك بسرعة صغيرة مقارنة بسرعة الضوء فان ابعاد الجسيم تكون فى حدود موجة دى بروغلى وعليه نجد ان هذا الجسيم يخضع الى قوانين ميكانيكا الكم اى معادلة شرودنجر

لاحظ ان معادلة كلين-غوردون تحتوى على مشتقتين فى الزمن و الفضاء وهذا الموثر عادة مايسمى رياضياً بمؤثر دلنبيرت ويكتب اختصاراً بمربع اى ان معادلة كلين-غوردون يمكن تكتب بالشكل المختصر التالى

$\left(\Box +\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi(t,\vec{x})=0$

الحارث · #3 27-12-2009, 22:01

مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه

الصادق · #4 27-12-2009, 22:18

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة الحارث

مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه

امين واياك اخى وجميع المسلمين
شكراً لك اخى الحارث على مرورك الكريم

الصادق · #5 28-12-2009, 16:17

وجدنا ان معادلة كلين-غوردون تُعطى بالصورة

$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi(t,\vec{x})=0\qquad(1)$

الان نبحث عن حل لمعادلة كلين-غوردون ولما كانت هذه معادلة هى معادلة موجة فاننا نتوقع ان يكون الحل عبارة عن موجة مستوية اى موجة لها تردد زاوي $\omega=2\pi\nu$ وعدد موجى $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ وتكتب بالصورة العامة التالية:

$\Psi(t,\vec{x})= Ae^{-i(\omega t-\vec{k}\cdot \vec{x})}$

الان بالتعويض فى معادلة كلين-غوردون (1) نجد ان

$\\ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)Ae^{-i(\omega t-\vec{k}\cdot \vec{x})}=0\\ \\ \left(-\frac{\omega^2}{c^2}+k^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\right)Ae^{-i(\omega t-\vec{k}\cdot \vec{x})}=0$

اى ان هناك علاقة تربط بين التردد الزاوى و المتجه الموجى و كتلة السكون الجسيم الكمي
$-\frac{\omega^2}{c^2}+k^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}=0$
وبترتيب المعادلة نحصل على
$\hbar^2 \omega^2=\hbar^2k^2c^2+m_0^2c^4\qquad(3)$
ولكن معادلة بلانك نعلم ان
$E=h\nu=h\frac{\omega}{2\pi}=\frac{h}{2\pi}\omega=\hbar\omega$
ومن معادلة دى بروغلى
$P=\frac{h}{\lambda}=h\frac{k}{2\pi}=\frac{h}{2\pi}k=\hbar k$
اذن فان التردد الزاوى للموجة يرتبط بالطاقة بينما ان المتجه الموجى يرتبط بمتجه كمية التحرك
$E=\hbar \omega \qquad \vec{P}=\hbar \vec{k}\qquad(4)$

وهكذا بتعويض (4) فى المعادلة (3) نحصل على معادلة انشتاين للطاقة
$E^2=P^2c^2+m_0^2c^4$
حيث E هى القيمة الذاتية لطاقة الجسيم الكمى و P هى القيمة الذاتية لكمية تحرك الجسيم . اذن باخذ الجزر التربيعى نحصل على الطاقة الكلية للجسيم الكمي
$E=\pm \sqrt{P^2c^2+m_0^2c^4}$

وهكذا نجد ان معادلة كلين-غوردون تسمح بوجود طاقة سالبة !!!!
$E=- \sqrt{P^2c^2+m_0^2c^4}$
و بالطبع هذا شئ غير مرغوب فيه لانه يتناقض مع كل شئ نعرفه فى الفيزياء. اما الاسوء من كل هذا هو ان معادلة كلين-غوردون تسمح ايضاً بوجود احتمالية سالبة!!!!!!!!!!!!!!!
هذه الاسباب قد قادت الى اعادة النظر فى معادلة كلين-غوردون والبحث عن معادلة كمية نسبية لا تسمح بحلول طاقة سالبة
و قد قام ديرك بايجاد معادلة اخرى و لكن وجد ان معادلته ايضاً تسمح بحلول طاقة سالبة و لكنه قام بافترض وجود جسيمات ذات طاقة سالبة فى الطبيعة وسمى هذه الجسيمات بالجسيمات المضادة
و قد تم فى عام 1932 الحصول معملياً على جسيم مضاد للالكترون (البوزيترون) و هذا أكد على صحة افتراض ديراك فى وجود الجسيمات المضادة اى الجسيمات ذات الطاقة السالبة.
ولذلك فان معادلة كلين-غوردون صحيحة ولا غبار عليها و لكننا هنا سوف نتابع المسار التاريخى ونتخلى عن معادلة كلين-غوردون ونبحث عن معادلة جديدة

يتبع..........

تغريـد · #6 30-12-2009, 19:43

لك خالص الشكر أخي الكريم الصادق لتناول هذا الموضوع المهم

و أنه لمن الرائع تناول الموضوع مثل هذا الموضوع من مدخل تاريخي لأني أعتقد أن ذلك أدعى للفهم و استيعاب الأفكار بشكل أوضح

و أنا آسفة لقطع توارد الموضوع و لكني أرجو وددت الاستفسار حول افتراض جسيمات ذات طاقة سالبة
هل أنهى كليا إشكالية وجود احتمال سالب أم برر وجوده
و في تلك الحال هل تم اعطاء الاحتمالات السالبة معنى أو تفسيرا خاصا

أسأل الله أن يباركك و يسدد خطاك

الصادق · #7 03-04-2010, 17:46

مشاركة مكررة

الصادق · #8 03-04-2010, 17:46

معادلة ديراك
فى بحثه عن معادلة كمية نسبوية , قام ديراك بملاحظة ان معادلة كلين-غوردون هى معادلة من الدرجة الثانية لذا قام بافتراض وجود معادلة من الدرجة الاولى (فيها تفاضل من الدرجة الاولى فى الزمن و تفاضلات من الدرجة الاولى فى الفضاء المكانى ) واذ ما تم تربيع هذه المعادلة سوف نحصل على معادلة كلين-غوردون

حيث افترض ان موثر الهملتونيان دالة خطية فى مؤثرات كميات الحركة
$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\hbar c\left[\alpha_1\frac{\partial \Psi}{\partial x^1}+\alpha_2\frac{\partial \Psi}{\partial x^2}+\alpha_3\frac{\partial \Psi}{\partial x^3}\right]+\beta m_0c^2\Psi=H\Psi$

حيث المعاملات $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ هى ثوابت غير معلومة حتى الان. ولكن اذا ربعنا المعادلة السابقة فنحن نتوقع الحصول على معادلة كلين-غوردون وهكذا نستطيع تحديد قيم هذه المعاملات من الشروط التالية :
$\\ \alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij} \\ \\\alpha_i\beta+\beta \alpha_i=0\\ \\\alpha_i^2=\beta^2=1$

وهكذا لا يمكن ان تكون هذه المعاملات عبارة عن ارقام صرفة بل يجب ان تكون مصفوفات حتى تتحقق الشروط اعلاه

الان نقوم بضرب المعادلة الثانية من جهة اليسار فى بيتا لنحصل على
$\beta\alpha_i\beta+\beta^2 \alpha_i=0$

ولكن من المعادلة فى السطر الثالث نعلم ان مربع بيتا يساوى واحد (مصفوفة الوحدة) وهكذا يكون لدينا
$\beta\alpha_i\beta=- \alpha_i$
الان بأخذ حاصل جمع عناصر القطر الرئيسى (Trace) للمعادلة الاخيرة نجد ان
$Tr\alpha_i=-Tr(\beta\alpha_i\beta)=-Tr(\alpha_i)$

مما يعنى ان مجموع عناصر القطر الرئيسى diagonal فى الفا يساوى صفر و لما كان مربع الفا يساوى مصفوفة الوحدة unit matrix فيجب ان تكون القيم الذاتية eigenvalues لالفا تساوى اما 1 او -1 وهكذا يستحيل ان يساوى مجموع عناصر القطر الرئيسى صفراً الا اذا كانت المصفوفة الفا مصفوفة مربعة من رتبة زوجية 2 او 4 او ....
نفس الامر سوف ينطبق على المصفوفة بيتا (وهذا واضح اذ ما قمنا بضرب المعادلة فى السطر الثانى من جهة اليسار فى الفا بدلاً عن بيتا)

ولكن المصفوفات التى لها رتبة ثانية (صفين فى عمودين) وتحقق اللا تبادلية noncommutativity (ظهور اللاتبادلية يعنى اننا نتحدث عن فيرميونات) هى مصفوفات باولى ولكن عدد هذه المصفوفات يساوى 3 مصفوفات واذا اضفنا لها مصفوفة الوحدة فان العدد سوف يصبح اربعة مصفوفات ولكن المشكلة تكمن فى انه لايمكن ان يكون حاصل جمع عناصر القطر الرئيسى لمصفوفة الوحدة ان يساوى صفراً. وهكذا يصبح لدينا احتمال فى ان تكون رتبة المصفوفات الفا و بيتا تساوى اربعة.

و وجد انها تعطى بـ

$\\ \alpha_1=\begin{pmatrix}0 & 0 &0 &1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1& 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad \alpha_2=\begin{pmatrix}0 & 0 &0 &-i \\ 0 & 0 & i & 0\\ 0 & -i & 0 & 0\\ i& 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ \\ \alpha_3=\begin{pmatrix}0 & 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad \beta=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$

اى انها مصفوفات عناصرها مصفوفات باولى ( وهذا هو السبب فى ان معادلة ديراك تصف فيرميونات لها اسبين يساوى النصف ) وهكذا طالما ان الفا وبيتا يجب ان تضرب فى الدالة الموجية فهذا يعنى ان الدالة الموجية عبارة مصفوفة عمود بها اربعة صفوف (Spinor)

ملخص ما سبق: عندما تعاملنا مع الزمن كمعامل مستقل عن ابعاد الفضاء (لم نهتم بتماثل لورنتز) حصلنا على معادلة شرودنجر وهى معادلة غير نسبوية ليس للف المغزلى مكان فيها.
وعندما قمنا بجعل الزمن كبعد فى الزمنكان حافظنا على تحويل لورنتز و حصلنا على معادلة كلين-غوردون وهى معادلة نسبوية تصف بوزونات ليس لها لف مغزلى
وعندما افترضنا ان الهملتونيان دالة خطية فى مؤثرات كميات الحركة وجدنا ان معادلات التناسب هذه مع بيتا تحقق علاقات لاتبادلية ( وهى مصفوفات عناصرها مصفوفات باولى الثلاثة ومصفوفة الوحدة) مما يشير الى ان الجسيمات الموصوفة هى فيرميونات لها للف مغزلى زائد او ناقص نصف

ولما كانت الدالة الموجية تظهر يمين هذه المعاملات (مصفوفات من النظام 4 فى 4) فيجب ان تكون الدالة الموجية عبارة عن مصفوفة بها عمود واحد و 4 صفوف وهى ما نسميه بال Spinor فى الفيزياء

سنوهيد · #9 03-04-2010, 19:55

الله يوفقك

من جد مواضيع مفيده

شكرا لك

محمد ابوزيد · #10 03-04-2010, 20:18

لن اتركها ان شاء الله سوف اذاكرها جيدا واقدمها فى موضوع منفصل

اشكرك جدا اخى العزيز الصادق

زادك الله من العلم

اخوكم فى الله / محمد ابوزيد

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 3 ( الأعضاء 0 والزوار 3)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !