[الشيرازي]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مسائل الرياضيات المفتوحه بلا حل ..ّ!

نسمع عن مسائل في الرياضيات ليس لها حل , ونسمع عن مسائل حلها عباقره بعد ان كانت غير قابلة للحل , فما هي حكاية المسائل التي ليس لها حل ؟ وما اهمية كل هذا الصخب الذي شغل علماء الرياضيات والمهتمين بها ؟ وهل من الممكن فهم هذا الموضوع بيسر بعيدا عن تعقيدات المتخصصين .


في كتابه ( من اين تأتي الرياضيات ) يقول جورج لاكوف إن الرياضيات ( دقيقة ,متسقه ,ثابته عبر الزمن وعبر المجتمعات الإنسانيه ,يمكن ان نجعلها مرمزة ,قابلة للحساب ويمكن أن نستخرج منها التعميمات وهي متوافره للجميع ,وموضوعاتها منسجمه مع بعضها وهي وسيلة فعالة للتوصيف والتوضيح والتنبؤ بكثير من جوانب حياتنا اليومية التي تشمل الحساب والمباني والأعمال والعلوم والتقنية )



الرياضيات هي حقل واسع من الاهتمامات ندرس فيه خصائص الامور وكيف تتفاعل مع بعضها ولقد بدأت الرياضيات عندما اهتم الانسان بالعد والحساب وتطورت الى مجموعات من الادوات والتصنيفات والمصطلحات التي تتراوح بين تلك التي هي غاية في التجريد وتلك التي هي غايه في الواقعيه ,فمن العد تدرج الانسان الى الحساب الى القياس ثم اهتم بالاشكال وتشابهها ومساحاتها وملاحظة حركة الاجسام في الطبيعه ,حتى وصل اليوم الى علم تندرج تحته الكثير من المجالات الواسعه التي تجعل المتخصص في احدها لا يعرف شيئا ذا بال عن مجال آخر من دون ادنى شعور بالخجل .

....

حكاية المسائل التي لا تحل .؟

كيف يمكن ان توجد مسألة بلا حل ؟ للاجابة عن هذا السوال لابد ان ندرك ان العلماء حين يطرحون مسأله ما للنقاش بينهم فإنهم مطالبون بحلها وفق التصورات المثبته لشكل العالم والكون حولهم ,وهذه التصورات خاضعه للتغيير بدورها فعلى سيبل المثال كانت البشريه ملزمة بالتصور الذي وضعه ارسطو وفلاسفة الاغريق بأن الارض هي مركز الكون ولم يتغير هذا التصور في العقل الاوروبي حتى القرن السابع عشر الميلادي حين دافع جاليليو عن نظريات كوبرينيكوس القائلة بدوران الارض حول الشمس ., الاثبات العلمي لهذه الفكره قاد الى فتوحات علمية عد بخصوص الكثير من المستغلقات .

هناك ايضا اقليدس وكتابه (العناصر) الذي وضعه في حدود الثلاثمئه سنه قبل الميلاد ويعد من الاعمال المبتكره في الرياضيات التي بنيت بصرامه علميه ,كان اقليدس قد وضع مجموعة من الفرضيات اسست لكل من في هندسة الاقليدية بالبرهان . وظلت تدرس حتى بدايات القرن العشرين دون ان يتمكن احد من الاتيان ببديل ..
لقد اسست كتب اقليدس الثلاثة عشر اصول الرياضيات التي بنت الكثير من النظريات زاسست للكثير من المعارف لم يكن يطلق على الهندسه الرياضيه غير اسم( الهندسه ) طيلة الالفي عام لقد احتجنا ألفي عام لنتوصل الى هندسة ( لا اقليديه ) .

تقول الفرضية الخامسه في الهندسة الاقليديه انه لو وجد خط مستقيم في سطح ثنائي ابعاد ووجدت نقطة خارج المستقيم فليس هناك الا خط مستقيم واحد آخر يمكن ان يمر في النقطة هذه ولا يقطع المستقيم الاول ,لقد كانت هذه النظريه ثابته طيلة ألفي عام ,ولقد خطر ببال ريمان أن يجرب سطحا مثل سطح الكره الارضيه ,إن هذا النموذج من الاسطح لايسمح في نظرية اقليدس بأي خط مستقيم مواز للأول واما اذا تصورنا سطحا مشابها لشرائح البطاطا (برينجلز) فانه بالامكان رسم عدد الانهائي من الخطوط المستقيمه الموازيه للأول تمر في تلك النقطة ولا تتقاطع معه ,

لقد احتجنا ألفي عام كي نخرج من أسر هندسة اقليدس الى عالم جديد من الهندسة اللااقليديه

في عام 1900 م وقف في باريس ديفيد هلبرت عالم الرياضيات الألماني وطرح ثلاثا وعشرين مسألة غير محلوله لقد طلب هلبرت من العلماء أن يتقدموا بحلول لهذه المسائل من اجل الانتقال بالرياضيات الى عوالم جديده وتنوعت هذه المسائل في المجالات حظيت هذه المسائل باهتمام بالغ ولقي بعضها حلاً ,بينما لم يحالف الحظ الرياضيين في مسائل اخرى .

في عام 1912م قدم لاندو اربع مسائل تتطلب حلا وبعد مئه عام مرت على مسائل هلبرت تقدم سميل بثماني عشر مسألة اخرى , وخصص معهد (كلية –clay) للرياضيات مبلغ مليون دولار امريكي لمجموعة من سبعة مسائل رياضيه مستحيلة الحل تنتظر حلا , حلت واحدة منها فقط في العام 2006 م!

[الشيرازي]

لنتابع ولنقترب من بعض المسائل المفتوحه بلا حل ونحاول أن نستوعبها ببساطه ونرى مايمكن ان يحدث لو لم تحل سنتناول مسألتين

الاولى تعرف باسم Pمقابل PN مسأله رياضيه تتعلق بعلم الحاسوب وإيجاد الحلول .
الثانية مسألة اثبات نظرية ريمان .
مسألة P مقابل PN ,,

في العلم الحاسوبي يوجد شيء اسمه ( الزمن الخطي _ polynomial Time ) أو P – Time اختصارا ., وهو مبدأ مقعد يمكن تبسيطه بتصور الزمن الذي يلزمنا لنمر على الأعداد من 1 الى العشره .. ونحن سنمر عليها بتسلسل
والآن لنتصرو زمنا هو مضاعف لهذا الزمن الخطي , مربع الزمن الخطي أو الجذر التكعيبي للزمن الخطي وهذا الزمن المفترض في علم الرياضيات وهو زمن لا-خطي Non –polynomial أو NP اختصارا


المسأله المعلقه حديثة العهد نسبيا قدمها عالم الحاسب ستيفن كوك عام 1971م وتتعلق بإيجاد حلول برمجيه – خوارزميات – لحل المعضلات الرياضيه فنحن نكتب للحاسوب برامج على هيئة خطوط متسلسله تصل في النهاية الى ناتج هو حل المسأله وهناك مسائل اعقد من غيرها بعض هذه المسائل قد لا يكون لها حل وبعضها قد يكون لها حل ولكن ليس في وقت خطي او معقول


هذا يعني .. اننا نكتب للمشكلات البسيطة برامج تنته
ي في وقت معقول وتصل بنا الى النتيجة الحاسبيه في الرياضيات فإن الوقت المستغرق لحل مسأله بشكل (معقول ) لا يتجاوز حل معادلة كثيرة الحدود ذات مجهول واحد س .
أما في علم الحاسوب هناك مسائل يصعب حلها في وقت خطي ,, مثلا إذا كان لدينا مجموعة مكونه من الاعداد ( 10 , 5, -2, -7 , 3 , 6 ) فهل هناك مجموعه من هذه الاعداد مجموعها يمكن ان يساوي صفرا ؟
الجواب نعم . يمكن ان نختار مجموعه جزئيه منها مكونه من -2 ,-7 ,3 , 6 ان جمع الاعداد المختاره يساوي صفرا لكن ايجاد برنامج لحل هذه المسأله لن يعمل على الاقرب لحلها في وقت معقول وخصوصا إذا كان حجم الاعداد المعطاه ضخما .


ماهي مسأله P مقابل PN إذن ؟ القسم P من المسأله يقول اننا قد نستطيع أن نجد حلا للمسأله في وقت معقول ,اما القسم PN فيقول ان حل المسأله يتطلب وقتا غير معقول ,بمعنى آخر هل أن المسائل التي يستغرق التحقق من وجود حل لها وقتا معقولا ,ويستغرق تنفيذ حلها وقتا معقولا ايضا .؟
ان التواصل الى برهان يثبت او ينفي علاقة P بـ PN سيغير الكثير من القناعات في مجال الحاسوب واذا امكن البرهنه على توافر حلول ذات وقت معقول للمشكلات من فئة PN لحصل تقدم في حل مشكلات شبيهه بمشكلة المجموعة الجزئية المذكورة أعلاه ومثل مشكلات فك تشفير الحمايه السريه في الانترنت ومشكله التنبؤ ببنية البروتين التي قد تحدث تقدما كبيرا في علم البيولوجيا اما اذا لم يتم ذلك , فسوف يذهب بالامل في وجود حلول ذات وقت معقول ولتلك المشكلات وسيكون مخرجهم الوحيد هو تطوير الحواسيب ذات القدارت المعالجه المتقدمه جدا لتقليل الوقت الذي يحتاجه الحاسوب لتنفيذ برامج معقده الخوارزميات من اجل اختصار الوقت والوصول للنتائج .






......
يقول صاحب المسأله غير المحلوله ستيفن كوك ( ستكون نقلة للرياضيات اذ انها ستجعل الحاسوب قادرا على ايجاد برهان لكل نظريه ذات برهان معقول الطول وذلك لان كل برهان دقيق يمكن ايجاده في وقت معقول )

[الشيرازي]

مسأله فرضية ريمان :
تعد هذه المسأله من اعظم المسائل واقدمها ويقدم العلماء حياتهم ويدفعون غالي الثمن ليروها يوما قد حلت


انها من اصعب الفرضيات التي استعصت على توفر برهان لها انها فرضية ريمان ( Riemann hypothesis)
التي كان قدمها عام 1859 م , مئه مخمسون عاما ولم يتقدم احد ببرهان على فرضية من ضمن نتائجها ان تحدد لنا كيف تتوزع الاعداد الاوليه في عالم الارقام .

قبل ان نقترب من هذه النظريه وخطورتها لنحاول فهم الاساسيات ,.العدد الاولي في الرياضيات هو العدد الذي لا يقبل القسمه الى على نفسه أو على الواحد ..!
لكن ريمان قدّم دالة اطلق عليها اسم (زيتا) كانت استخرجت عددا كبيرا من الاعداد الأولية ورسمتها على خط عمودي ثابت ,وقد صمم ريمان (زيتا) هذه بحيث انه كلما ادخل رقما اوليا اليها كان جواب الداله صفرا والداله د(س) = س1-
تكون صفرا عندما نعوض عن العدد س بالعدد 1نقول في هذه الحال هان الواحد هو صفر لهذه الداله , لقد تم استخراج حلول لدالة ريمان بما يساوي مليار وخمسمئه مليون صفر , والمقصود بذلك انه تم حتى تم اليوم استخراج هذا العدد من الاعداد الاوليه ولكن ليس هنالك برهان على ان هذه الداله ستعمل لكل الاعداد الاوليه في الخط اللانهائي
ان هذه الداله (زيتا ) ليست متخصصه بالاعداد الاوليه وحسب انها تستخرج دايما اعدادا مركبة من جزئين حقيقي وتخيلي ومن عجائبها ان العدد الحقيقي عندما يكونصفرا هو دائما نصف (1/2)


الرياضيات التي تلمع وتلوح أنيقة من الخارج , تغلي وتموج ,ومازالت في مرحلة التأسيس والمراجعة ..!
كان برتراند راسل ووايتهيد في وقت قريب من طرح هلبرت للمسائل الفتوحه عام 1900م قد نشرا كتابهما (اصول الرياضيات ) الذي كان الهدف منه مراجعة كل الرياضيات وتأسيسها من جديد على اسس اكثر صرامه مبنيه على المنطق والبرهان حتى انك تجد برهانا لـ 1+1 =2 ي صفحة منفصلة ! ولقد كشف عمل راسل ووايتهيد ان هناك الكثير من الثغرات والمتناقضات في هذا العلم وقد قدم راسل حلا لبعض ما اكتشفه من متناقضات وعندما تقدم كرت جودل لمسائل هلبرت وكانت بين يديه نسخة من كتاب راسل ووايتهيد ,ضرب اليقين الذي كانت عليه الرياضيات وتحولت الى ارضية مهزوزة كان جودل يريد ان يساعد في حل المسائل فحل واحده وانقلب في الثانية ليثبت ان أي نظام رياضي هو غير كامل ,وغير متسق كقانون عام قدم عليه البرهان ان ذلك دفع العلماء الى بناء نظريه اكثر ثباتا مما كانت عليه الرياضيات طيلة القرون السابقة .

زآويه اخرى ,.
كانت النسبية ستكتشف قبل ان يكتشفها آينيشتاين بأربعين سنه , وكان ريمان قدم لها قواعدها الراسخة يوم قدم فكرة نموذج للهندسة اللااقليديه , واليوم , يلتقي الفيزيائيون بالرياضيين الذين خدموا كثيرا فأسسوا فيزياء جديدة
يقترح آينيشتاين تقديم حلول لمعضلات في نظرية الأداد وآخرون يفكرون في مسأله فرضية ريمان فيما يتعلق بالاعداد الأولية وعلاقتها بمستويات الطاقة في الذرات في عالم فيزياء الكم

أخيرا..
لم تكن الرياضيات في هدوء منذ نشأتها ,بل ان في مسائلها المفتوحه مازالت مفتوحة لقرون لم تحل .
بقي أن عجلة تقدم هذه الرياضيات رهينة باتساع معرفة علمائها وجلدهم وقدرتهم على الصبر وسعة الخيال واصرارهم على فتح مسائل جديدة ولو اضطرهم ذلك للعودة لاقى البدايات .

[مهند الزهراني]

عمل مميز وإبداعي

بارك الله جهودك

[الشيرازي]

مسسائل لا يوجد لها حل وموضوع لا يوجد له رد =)
لكن
سسرني انها 77 مشاهده لانو اهم شي الفائده ..
على فكره انا طرحت الموضوع وهدفي الرئيسي هو ان الحل يبرق في راس احد القراء << يبرق تعبير بليغ ههه

[الأستاذ المحاضر]

جزاك الله خير الجزاء