[الأستاذ المحاضر]

أعضاء شبكو ومنتديات ملتقى الفيزيائيين السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته

هذه معادلة رياضية تبدو صعبة في الحقيقة لم أستطع حلها ، فأردت أنا أضعها في منتداي المفضل عسى أن يقوم أحد أذكيائنا بحلها .


المعادلة هي :


1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/32 1/64 + 1/28 + ...+ 1/ س = 1


فكما ترون في كل مرة نضيف نصف الرقم الأول ، والمطلوب هو إيجاد العدد س؟

حظا موفقا ..

[الأستاذ المحاضر]

إخواني هناك خطأ في المعادلة ضع بدل 28 العدد 128 فتصبح المعادلة هكذا

1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + ...+ 1/ س = 1

[Mr.physics]

س = 268435456 اتوقع هذي قيمة الـسين
حسب

مع آآأني لي شكــوك في هذهـ ـآلمسئلهــ

آأتوقع فيهاأآ خطـآأإ ..

[د. محمد قيصرون ميرزا]

بسم الله الرحمن الرحيم

الأخ الكريم، السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، وبعد
كما أذكر من دراستي للرياضيات في جامعة دمشق، فإن هذه السلسلة الرياضية تكتب عادة بشكل معروف

L........... 1/2+1/4+ ......................+1/2^n=1]

أي أن المجهول س في السؤال المطروح يساوي العدد 2 مرفوع للأس n .
وهذه تعطى عادة على شكل أحجية تقول إن نملة تريد قطع مسافة متر واحد بحيث تقطع في أول ثانية نصف متر فقط ، وفي الثانية التي تليها تقطع نصف المسافة المتبقية، وفي الثانية الثالثة تقطع نصف مابقي، وهكذا دواليك (أي في كل ثانية تقطع نصف المسافة المتبقية لها). فإلى كم ثانية تحتاج لتقطع مسافة متر؟ والجواب طبعاً لانهاية من الثواني لأنها لن تصل للنهاية مهما فعلت !
ولذلك فحل السؤال المطروح هو لانهاية أي n لانهاية !

والله أعلى وأعلم، وفوق كل ذي علم عليم*

[الأستاذ المحاضر]

معك حق أخ د. قيصرون ميرزا ، فأنا أحاول أن أتأكد من صحة الأحجية

[جاسم السالم]

أشكرك أخونا د. ميرزا
بالفعل n يجب أن تكون لانهائية
ولكني أجادل أيضا أن الطرف الآخر من المعادلة يستحيل أن يساوي 1 إلا على التقريب
وحتى تتوازن المعادلة بدقة يجب أن يكون المجموع = 0,9999999999999999999
وعدد التسعات على يمين الفاصلة لانهائي
ولو كان المجموع يساوي واحد بالضبط لوصلت النملة

[المتفيزق]

يعطيك العافية أخانا الدكتور ميرزا...
أحب هنا أن أضع نفس حلكم الجميل بطريقة أخرى ...
إن جمع المتوالية المسماة الهندسية اللانهائية ... يعطى عادة بالشكل:
sum = 1/(1-r)...ok
حيث r هي الأساس ...
يعني على سبيل المثال:
3 ، 1 ، 1/3 ، 1/9 ... إلى مالانهاية ... هنا الأساس ثلث ... يعني نحن نضرب في ثلث كل مرة ...ويكون مجموعها جميعا:
3 ÷ ( 1-1/3) = 9/2
كذلك : 1/2 + 1/4 +1/8... مالانهاية = 1/2 ÷ (1 - 1/2) = 1 حيث الأساس نصف...
ولذلك هذه المتوالية التي نحن بصددها لا يمكن أن يكون مجموعها 1 إلا عند المالانهاية وعليه أخر حد في المتسلسلة هو المالانهاية ...
يعني أنا حبيت أرجع بالموضوع رجوعا وبطريقة عكسية ... لكنها وحل الدكتور ميرزا يخرجان من مشكاة واحدة...
ومثال النملة التي تقفز تلك القفزات المتناصفة مثال لطيف ولطالما تندرنا به ...
واقبل تحيتي

[تغريـد]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة جاسم السالم أشكرك أخونا د. ميرزا بالفعل n يجب أن تكون لانهائية ولكني أجادل أيضا أن الطرف الآخر من المعادلة يستحيل أن يساوي 1 إلا على التقريب وحتى تتوازن المعادلة بدقة يجب أن يكون المجموع = 0,9999999999999999999 وعدد التسعات على يمين الفاصلة لانهائي ولو كان المجموع يساوي واحد بالضبط لوصلت النملة

أشكر الجميع على الشرح الجميل
و أحب أن أوضح فقط لأخي الكريم جاسم
أن العدد
=... 0,9999999999999999999
وعدد التسعات على يمين الفاصلة لانهائي
و العدد 1 رياضيا متطابقان
و الحقيقة أن كل عدد حقيقي له صورة عشرية منتهية يمكن كتابته على شكل عشري دوري
أقصد كل الأعداد العشرية المنتهية لها صورتان الأولي منتهية و الثانية غير منتهية و تحديدا دورية لها الدورة 9
و هذه الصفة لا تتحقق لغيرها من الأعداد
لا أدري في النهاية هل نعتبر النملة وصلت أم لم تصل هذا يعتمد على درجة الدقة المعتمدة في المسألة
فرياضيا هي لن تصل و فيزيائيا ستصل (باعتماد أنواع التقريب المعمول بها في العادة) !!

آسفة أن ابتعدت بكم

[المتفيزق]

احسنت تغريد ... لكن هنا نحن نعتبر النملة نقطة ...وعندها ينتفي أن تصل فيما أظن... لأننا سنضعها بالضبط في منطقة منتصف المسافة... لكن اذا اعتبرنا الابعاد للنملة فإن معنى ان رجلها مثلا 1ملم والقفزة ميكرومتر أنها فعلا وصلت ... كلامك جميل...

[جاسم السالم]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة تغريـد أشكر الجميع على الشرح الجميل و أحب أن أوضح فقط لأخي الكريم جاسم أن العدد =... 0,9999999999999999999 وعدد التسعات على يمين الفاصلة لانهائي و العدد 1 رياضيا متطابقان و الحقيقة أن كل عدد حقيقي له صورة عشرية منتهية يمكن كتابته على شكل عشري دوري أقصد كل الأعداد العشرية المنتهية لها صورتان الأولي منتهية و الثانية غير منتهية و تحديدا دورية لها الدورة 9 و هذه الصفة لا تتحقق لغيرها من الأعداد لا أدري في النهاية هل نعتبر النملة وصلت أم لم تصل هذا يعتمد على درجة الدقة المعتمدة في المسألة فرياضيا هي لن تصل و فيزيائيا ستصل (باعتماد أنواع التقريب المعمول بها في العادة) !! آسفة أن ابتعدت بكم

أشكرك أختي الكريمة تغريد على هذا التوضيح الرياضي المفيد
وهي معلومة كنت أجهلها
وبالمراجعة وجدت تعليقي عن النملة خاطيء
وصدقتي رياضيا لن تصل وفيزيائيا لن تصل إلا بنقص قدرتنا على دقة القياس وكما أفدت تصل على التقريب

وأظن للعجلة خلطت بين مثال النلمة بين إحدى المفارقات المشهوره
ومختصرها حسب ذاكرتي - وأرجو التصحيح لي -إذ كيف يمكن لجسم أن يعبر مسافة ما بينماهذه المسافة تحتوي على عدد لانهائي من الأجزاء (يمكن أن تقطع أنصافا إلى مالانهاية كما في المعادلة)

وهي فرصة لوجود هذه النخبة القادرة على التمحيص أن أطرح إجابة في هذه المفارقة
وهي بإختصار أن الجسم طالما له طول في إتجاه حركته وطوله هذا أيضا يحتوي على أجزاء لامتناهية
فإذن إن الأجزاء اللامتناهية للمسافة يتم قسمتها على لامتناهية أجزاء الجسم فليلغيان بعضهما
وهكذا يكون عبور الجسم للمسافة هو عبور في مضاعفات طوله ليس إلا
فالمسافة إذن نسبيه للمتحرك فيها ويمكن تعريفها على أنها مضاعفات لطول المتحرك عبرها وبمعنى كلاهما مرتبطان
فلايمكن بهذا لنقطة بلا طول أن تتحرك اصلا
إلا أن يكون لها طول - ولو بعدا واحدا - ولكن لاتكون حركتها إلا بإتجاه هذا الطول
الحقيقة قرأت عن هذه المفارقة قديما
فإن صح وجودها وكانت وجهة النظر هذي تلغيها كمفارقة
فهذا سيمنع أي إفتراض أن يكون هناك أوتار ببعد واحد وتهتز بغير إتجاه هذا البعد
وحيث تمنعها من هذا الإهتزاز لانهائية أجزاء المسافة
وإن كان لشيء ذو بعد واحد أن يتحرك فليس إلا بإتجاه بعده أو طوله فقط
وكذلك فإن صح هذا فهو يتطلب مراجعة لكثير من الأمثلة في فيزيائية الحركة عموما
وعلى أي حال هي افكار قديمة تذكرتها وأعتذر على سوء طرحها المرتجل
وأعتذر ايضا للدكتور أني ذهبت بعيدا جدا ولكن أرجو للفائدة
جزاكم الله خيرا