تحتاج تفكير ...

مهند الزهراني · #1 01-10-2010, 11:39

السلام عليكم ...

فكروا في اثبات هذي المتباينة بدون استخدام المتباينات المعيارية ( متباينة الوسطين - كوشي - ... )

فقط باستخدام خاصية معروفة في الاعداد الحقيقة ( ضمن مناهج الثانوي ) ...

أثبت المتباينة التالية

$\150dpi \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)(d^2+d+1)}{abcd}\geq 81$

" مربع اي عدد حقيقي أكبر من ..... "

نورة الشريف · #2 01-10-2010, 21:53

والله شكل السؤال حلو وممتع .. بس الله يهديك ما حطيته غير اليوم .. كآن حطيته أمس الخميس فااضين ..

بإذن الله راجعة مع السؤال الجميل هذاا ..

زولديك · #3 01-10-2010, 22:47

بسم الله الرحمن الرحيم

ما ادري وش تقصد بتلميحك على الثانوي (لأني ما درست ثانوي) اكن هده محاولة لعلى و عسى

نكتب المقدار على الصورة $\frac{(a^{2}+a+1)}{a}.\frac{b^{2}+b+1}{b}.\frac{(c^{2}+c+1)}{c}.\frac{(d^{2}+d+1)}{d}$ ,

الآن نعمد إلى دراسة حد من الحدود بعد وضعه على الصورة $\frac{(a^{2}+a+1)}{a}=(a+1+\frac{1}{a})=1+(a+(\frac{1}{a}))$ الىن ندرس اقل قيمة ياخدها الحد الدي بين القوسين "بدون تفصيلات"و دلك بغستخدام التفاضل و دراسة القيم العظمى و الضغرى , لنج أن القيمة الضغرى لهدا الحد هي 2 , و هكدا نستنتج ان

$\frac{(a^{2}+a+1)}{a}=(a+1+\frac{1}{a})=1+(a+(\frac{1}{a}))\geq 1+(2)\geq 3$ , و حيث ان القيمة الضغرى تتحقق عندما يأخد a القيمة (1) نستنتج ان
$\frac{(a^{2}+a+1)}{a}.\frac{b^{2}+b+1}{b}.\frac{(c^{2}+c+1)}{c}.\frac{(d^{2}+d+1)}{d}\geq \frac{3.3.3.3}{1.1.1.1}=81$

زولديك · #4 01-10-2010, 23:21

عدرا على الاخطاء الطباعية "بس مستعجل لاح يسبقني على الإجابة"

نورة الشريف · #5 02-10-2010, 13:59

بسم الله الرحمن الرحيم ... الحل بدون تفصيل لأني شوي مشغولة فاعذرني ..
1- $a+\frac{1}{a}\geq 2$ .. ويمكن اثباتها بالوسطين ..

2- الطرف الأيسر للمتباينة بعد التفكيك يتحول الى : $(a+\frac{1}{a}+1)(b+1+\frac{1}{b})(c+1+\frac{1}{c})(d+1+\frac{1}{d})$

نعوض عن أصغر شي ممكن نعوض فيه اللي هو 2 مأخوذ من الخطوة الأولى ..
ولو عوضنا .. راح تساوي 3×3×3×3 = 81 .. هذا في حالة المساواة .. اذن أي قيمة تطلع أكبر من 2 ونعوض فيها راح يطلع عدد أكبر من 81 ...

بس سؤال .. وين ماخذينها في الثانوي ؟ ومن وين جاء تربيع أي عدد حقيقي ؟؟

شكرا أخي مهند ع المسألة ...

نورة الشريف · #6 02-10-2010, 15:36

أخي مهند ..

فكروا في اثبات هذي المتباينة بدون استخدام المتباينات المعيارية ( متباينة الوسطين - كوشي - ... )

قصدك ما أدخل في الحل متباينة الوسطين نهائيا .. لأني تطرقت لها في الخطوة الأولى ..
اذا كان مثل ما قلت .. راح أثبتها بطريقة ثانية ..

زولديك · #7 02-10-2010, 21:00

مهند وينك

زولديك · #8 02-10-2010, 21:34

حلي واضح ولا لأ عزيزي مهند

زولديك · #9 02-10-2010, 23:29

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة نورة الشريف

بسم الله الرحمن الرحيم ... الحل بدون تفصيل لأني شوي مشغولة فاعذرني ..
1- $a+\frac{1}{a}\geq 2$ .. ويمكن اثباتها بالوسطين ..

2- الطرف الأيسر للمتباينة بعد التفكيك يتحول الى : $(a+\frac{1}{a}+1)(b+1+\frac{1}{b})(c+1+\frac{1}{c})(d+1+\frac{1}{d})$

نعوض عن أصغر شي ممكن نعوض فيه اللي هو 2 مأخوذ من الخطوة الأولى ..
ولو عوضنا .. راح تساوي 3×3×3×3 = 81 .. هذا في حالة المساواة .. اذن أي قيمة تطلع أكبر من 2 ونعوض فيها راح يطلع عدد أكبر من 81 ...

بس سؤال .. وين ماخذينها في الثانوي ؟ ومن وين جاء تربيع أي عدد حقيقي ؟؟

شكرا أخي مهند ع المسألة ...

السلام عليكم اخيتي نورة :a_plain111:, بس حبيت اسالك في حالة برهانك هدا كيف نستنتج قيمة حاصل الضرب abcd في مقام المتباينة ,

نورة الشريف · #10 03-10-2010, 00:44

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته أخي .. والله ما فهمت سؤالك .. يعني ايش نستفيد اذا استنتجنا قيمة حاصل الضرب abcd في مقام المتباينة ؟
ع العموم راح أحط الحل بالتفصيل ..
الطرف الأيسر = $\120dpi \frac{(a^2+a+1)}{a}.\frac{(b^2+b+1)}{b}.\frac{(c^2 +c+1)}{c}.\frac{(d^2+d+1)}{d}$

نأخذ الكسر الأول : $\120dpi \frac{(a^2+a+1)}{a}=a+\frac{1}{a}+1$

وهكذا بالبقية ..

طالما أن الحد الأول على الصورة $\120dpi a+\frac{1}{a}+1$
فنحن بحاجة الى أصغر قيمة ممكنة لــ $\120dpi a+\frac{1}{a}$ أصغر قيمة يمكن أن أجدها اذا حققت المتباينة المساواة مع احد الأعداد ..
أطبق عليها متباينة Am -Gm ..
$\120dpi a+\frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2$
أصغر قيمة ممكن أن يأخذها هي 2 ..
لذلك أعوض عن كل حد بـ 2 +1 = 3 .. وذلك لأحصل على أصغر قيمة .. في حالة كانت أصغر قيمة = 81 اذن فالاثبات صحيح
..
لو عوضنا بـ 3 .. تصبح 3.3.3.3 =81 ..
اذن الاثبات صحيح ..

..

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !