" المسابقة الرياضية الكبرى "

مهند الزهراني · #1 14-08-2010, 15:42

وسؤال آخر ...

هل توجد كثيرة حدود بمعاملات صحيحة بحيث تحقق $\150dpi p\left ( 3 \right )=5,p\left ( 1 \right )=2$ ؟

Weierstrass-Casorati · #2 16-08-2010, 23:17

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

وسؤال آخر ...

هل توجد كثيرة حدود بمعاملات صحيحة بحيث تحقق $\150dpi p\left ( 3 \right )=5,p\left ( 1 \right )=2$ ؟

نفرض أن هناك كثيرة حدود تحقق هذا
فيمكن أن نقول
$p(3)=a_n 3^n+a_{n-1} 3^{n-1}+...+a_0=5$

وكذلك
$p(1)=a_n+a_{n-1}+...+a_0=2$

بالطرح
$p(3)- p(1)=a_n (3^n -1)+ a_{n-1} (3^{n-1} -1)+....+a_1 (3-1)= 3$

ولكن $3^{n},3^{n-1},3^{n-2},...,3$ أعداد فردية
أي أن $(3^{n}-1),(3^{n-1}-1),(3^{n-2}-1),...,(3-1)$ أعداد زوجية

وبالتالي فإن $p(3)- p(1)=a_n (3^n -1)+ a_{n-1} (3^{n-1} -1)+....+a_1 (3-1)$ زوجي أيضا ويقبل القسمة على 2 (لأن المعاملات صحيحة وضرب عدد في عدد زوجي يعطي عدد زوجي، ومجموع أعداد زوجية يعطي عدد زوجي)

ولكن 3 لا تقبل القسمة على 2 وبالتالي الفرض خاطيء ولا توجد كثيرة حدود تحقق المطلوب
أتمنى يكون الحل صح

مهند الزهراني · #3 17-08-2010, 02:09

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati

نفرض أن هناك كثيرة حدود تحقق هذا
فيمكن أن نقول
$p(3)=a_n 3^n+a_{n-1} 3^{n-1}+...+a_0=5$

وكذلك
$p(1)=a_n+a_{n-1}+...+a_0=2$

بالطرح
$p(3)- p(1)=a_n (3^n -1)+ a_{n-1} (3^{n-1} -1)+....+a_1 (3-1)= 3$

ولكن $3^{n},3^{n-1},3^{n-2},...,3$ أعداد فردية
أي أن $(3^{n}-1),(3^{n-1}-1),(3^{n-2}-1),...,(3-1)$ أعداد زوجية

وبالتالي فإن $p(3)- p(1)=a_n (3^n -1)+ a_{n-1} (3^{n-1} -1)+....+a_1 (3-1)$ زوجي أيضا ويقبل القسمة على 2 (لأن المعاملات صحيحة وضرب عدد في عدد زوجي يعطي عدد زوجي، ومجموع أعداد زوجية يعطي عدد زوجي)

ولكن 3 لا تقبل القسمة على 2 وبالتالي الفرض خاطيء ولا توجد كثيرة حدود تحقق المطلوب
أتمنى يكون الحل صح

:a_plain111: :a_plain111: :a_plain111:

نورة الشريف · #4 17-08-2010, 05:41

سلاام ::

وأخيرا عرفت الجواااب :

ان شااء الله يكون الحل صحيح

مهند الزهراني · #5 17-08-2010, 05:48

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة نورة الشريف

سلاام ::

وأخيرا عرفت الجواااب :

ان شااء الله يكون الحل صحيح

برااااااافو عليك :s_thumbup:

" شفتي ملف التدريب الثالث ؟ فيه مسائل كويسة على نظرية الاعداد "

نورة الشريف · #6 17-08-2010, 06:22

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني

برااااااافو عليك :s_thumbup:

" شفتي ملف التدريب الثالث ؟ فيه مسائل كويسة على نظرية الاعداد "

والله انا ما لحقت الا عليه لان اللي قبله ما دريت عنهم وهو بعد ما شفت اسئلته حفظته عندي واذا لقيت وقت فاضي حلييته ..

بس انشااء الله احل كويس ..

Weierstrass-Casorati · #7 17-08-2010, 13:46

بالتعويض
$\begin{array}{lcl} &r_1 ^{1000} =10r_1 -10\\ \\ &r_2 ^{1000} =10r_2 -10\\ &\vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots \\ &r_{1000} ^{1000} =10r_{1000} -10\\ \end{array}$

وبالجمع
$r_1 ^{1000}+r_2 ^{1000} +...+ r_{1000} ^{1000} =10r_1+10r_2+...+10r_{1000} -(10\times1000)$

$=10(r_1+r_2+...+r_{1000}) -10000$

ولكن من صيغة فيتا
$S_1 =(r_1+r_2+...+r_{1000})= (-1)^1 \frac{a_{999}}{1}=0$

أي أن
$r_1 ^{1000}+r_2 ^{1000} +...+ r_{1000} ^{1000} =-10000$

أما السؤال الثاني فلم أفهمه، ما معنى وضع علامتى تجميع هكذا هل معناها $\sum_{n,m=0}^{\infty }$ ؟
أتوقع الناتج $\frac{1}{e^2}$

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
الانتقال إلى العرض العادي العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !