[مهند الزهراني]

جميل ورااااائع ...

سؤال جديد وجميل ...

أوجد بالبرهان كل الاعداد الطبيعية التي تجعل العدد التالي مكعبا كاملا

[Weierstrass-Casorati]

يمكن بسهولة التأكد من أن 1! و 2! و 3! و 4! لا تصلح وأن 5!+5 مكعب كامل

فإذا كان مكعباً كاملاً يقبل القسمة على الخمسة فإنه يقبل القسمة على 125 أيضاً
حيث أن المكعبات الكاملة التي تقبل القسمة على 5 يمكن كتابتها


ولكن هذا غير صحيح لأنه لكل فإن

فمثلا

وهكذا ... هناك حد لا يقبل القسمة على 125

أو بصورة أخرى لكل m>15 :

ويمكن التأكد من المضاريب الباقية بسهولة

سنجد أن m!+5 لكل m>5 لا يقبل القسمة على 125
أي أنه لا يوجد m>5 يجعل m!+5 مكعبا كاملا
وبالتالي فإن هناك حل وحيد وهو m=5

[مهند الزهراني]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati يمكن بسهولة التأكد من أن 1! و 2! و 3! و 4! لا تصلح وأن 5!+5 مكعب كامل فإذا كان مكعباً كاملاً يقبل القسمة على الخمسة فإنه يقبل القسمة على 125 أيضاً حيث أن المكعبات الكاملة التي تقبل القسمة على 5 يمكن كتابتها ولكن هذا غير صحيح لأنه لكل فإن فمثلا وهكذا ... هناك حد لا يقبل القسمة على 125 أو بصورة أخرى لكل m>15 : ويمكن التأكد من المضاريب الباقية بسهولة سنجد أن m!+5 لكل m>5 لا يقبل القسمة على 125 أي أنه لا يوجد m>5 يجعل m!+5 مكعبا كاملا وبالتالي فإن هناك حل وحيد وهو m=5

الحقيقة البرهان أحسه غير مقنع ...

اضافة الى الخطوة

ولكن هذا غير صحيح لأنه لكل فإن

تحتاج لبرهان ...

لفكرة أسهل فكر باستخدام التطابقات ، واختر اساس مناسب للتطابق ، راح تصل وبسهولة ...

[Weierstrass-Casorati]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهند الزهراني الحقيقة البرهان أحسه غير مقنع ... اضافة الى الخطوة تحتاج لبرهان ... لفكرة أسهل فكر باستخدام التطابقات ، واختر اساس مناسب للتطابق ، راح تصل وبسهولة ...

ولماذا غير مقنع ؟ ما اذا وضعت m!+5 لـ m>5 كمجموع حدين بكون حد فيهم يقبل القسمة على 125 والثاني لا، وبالتالي m!+5 لا يقبل القسمة على 125
ولكن كل مكعب كامل على الصورة m!+5 يقبل القسمة على 125 وبالتالي العدد m!+5 لـ m>5 ليس مكعب كامل

بصراحة أنا ما أفهم منيح في التطابقات لكن طلع معي نفس الحل
بالنسبة لـ m>6

5 ليس باقي تكعيبي معيار 7
وبالتالي m!+5 لكل m>6 ليس مكعب كامل
وبحساب m=1,2,3,4,5,6 نجد أنه الحل الوحيد m=5
نفس الناتج؟

[Weierstrass-Casorati]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati

معذرة... خطأ مطبعي

[نورة الشريف]

السلام عليكم ..
يبدو أني أخطأت والحل هو 5 فقط .. وهاهو الاثبات أتمنى أن يكون كاملا ..
بما أن كل مكعب كامل يحقق
وقلنا بأنه يجب أن تكون m!+5 = x^3 لذلك سيكون مثل :

واستنادا الى ما ذكر من قبل بأنه لو اعتبرنا m =5 في الحل الذي سبقني التي ستجعل هذا صحيحا اضافة الى أن 3^5 = 125 .. نعوض بدل m!+5 بــ125 وبالتالي ستكون على النحو التالي ..

125=........(mod3)
أي أن 125 = x^3 وبالتالي فإن x = 5 ..

تحيتي .. نورا

اذا هو عدد طبيعي وحيد وهو 5