[أحمد سعد الدين]

أثبت أن : جا^-1 4/5 + جتا^-1 12/13 + جا^-1 16/65 = ط / 2

نفرض أن :
جا^-1 4/5 = س ، إذن : جاس = 4/5 ، جتاس = 3/5

جتا^-1 12/13 = ص ، إذن : جتاص = 12/13 ، جاص = 5/13

جا^-1 16/65 = ع ، إذن : جاع = 16/65 ، جتاع = 63/65

جا(س + ص) = جاس جتاص + جتاس جاص = 4/5 * 12/13 + 3/5 * 5/13 = 63/65
جتا(س + ص) = 16/65

حا(س + ص + ع) = جا(س + ص) جتاع + جتا(س + ص) جاع = 63/65 * 63/65 + 16/65 * 16/65 = 1

س + ص + ع = ط/2

للتحقق :

جتا(س + ص + ع) = جتا(س + ص) جتاع - جا(س + ص) جاع = 16/65 * 63/65 - 63/65 * 16/65 = 0

س + ص + ع = ط/2

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن ظا^-1 1/3 + ظا^-1 1/2 = ط/4

نفرض أن :

ظا^-1(1/3) = هـ ، ... ... ظاهـ = 1/3
ظا^-1(1/2) = ى ، .... ... ظاى = 1/2

ظا(هـ + ى) = [ظاهـ + ظاى]/[1 - ظاهـ ظاى]
= [1/3 + 1/2]م[1 - 1/3*1/2] = 1

(هـ + ى) = ط/4

[أحمد سعد الدين]

حل المعادلة : ظا^-1( س + 1 ) + ظا"^-1 ( س ــ 1 ) = ظا^-1(8/31)

نضع المعادلة على الصورة : هـ + ى = ع

حيث :

ظاهـ = (س + 1) ، ظاى = (س - 1) ، ظاع = 8/31 = 0.258

زاوية ع = 14.47 درجة (فى الربع الأول) أو ط + 14.47 (فى الربع الثالث)

ظا(هـ + ى) = [ظاهـ + ظاى]/[1 - ظاهـ ظاى] = 2 س/[2 - س^2]

8 س^2 + 62 س - 16 = 0
(4 س - 1)(2 س + 16) = 0

س = 1/4 ، أو س = - 8

لتحقيق المعادلة مع الوضع فى الاعتبار تقدير الزوايا فى الدورة الأولى فقط

عند س = 1/4

ظاهـ = 1/4 + 1 = 1.25
زاوية هـ = 51.34 (فى الربع الأول) أو ط + 51.34 (فى الرع الثالث)

ظاى = 1/4 - 1 = - 0.75
زاوية ى = - 36.86 (فى الربع الرابع) أو ط - 36.87 (فى الربع الثانى)

(هـ + ى) = 51.34 - 36.87 = 14.47 درجة (فى الربع الأول)

وحيث زاوية ع = 14.47 ، ... ... تتحقق المعادلة للزاوية ع فى الربع الأول


عند س = - 8

ظاهـ = - 8 + 1 = - 7
زاوية هـ = - 81.87 (فى الربع الرابع) أو ط - 81.87 (فى الربع الثانى)

ظاى = - 8 - 1 = - 9
زاوية ى = - 83.66 (فى الربع الرابع) أو ط - 83.66 (فى الربع الثانى)

(هـ + ى) = - 81.87 - 83.66 = - 165.52 = 194.47 = ط + 14.47 (فى الربع الثالث)

وحيث زاوية ع = ط + 14.47 ، ... ... تتحقق المعادلة للزاوية ع فى الربع الثالث

[أحمد سعد الدين]

حل المعادلتين الآتيتين :

ظا^-1 س + ظا^-1 ص = ط / 4
س ــ ص = 1

نضع هـ + ى = ط/4 (فى الربع الأول)

حيث :

ظاهـ = س ، ظاى = ص

ظا(هـ + ى) = (س + ص)/(1 - س*ص) = ظاط/4 = 1

س + ص = 1 - س*ص

بالتعويض : س = 1 + ص

ص^2 + 3 ص = 0
ص (ص + 3) = 0

ص = 0 ، ... ... ومنها س = 1

أو

ص = - 3 ، ... ... ومنها س = - 2

للتحقيق :

عند ص = 0 ، س = 1

ظاى = 0 ، .... زاوية ى = 0 أو ط أو 2 ط

ظاهـ = 1 ، ,,, زاوية هـ = ط/4 (فى الربع الأول) أو 5 ط/4 (فى الربع الثالث)

(هـ + ى) = ط/4 + 0 = ط/4 تحقق المعادلة للزاوية فى الربع الأول


عند ص = - 3 ، س = - 2

ظاى = - 3 ، ... زاوية ى = - 71.57 (فى الربع الرابع)

ظاهـ = - 2 ، ... زاوية هـ = - 63.43 (فى الربع الرابع)

(هـ + ى) = - 135 = 225 = 5 ط/4 (فى الربع الثالث)

لا تحقق المعادلة حيث (هـ + ى) = ط/4 (فى الربع الأول)

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن: ظا^-1 س + ظا^-1 ص = ظا^-1 [( س + ص ) / ( 1 ــ س ص)]

نضع المطلوب على الصورة :

هـ + ى = ع

حيث :

ظا^-1(س) = هـ ، ... ... ظاهـ = س

ظا^-1(ص) = ى ، ... ... ظاى = ص

ظا^-1(س + ص)/(1 - س ص) = ع ، ... ظاع = (س + ص)/(1 - س ص)

ظا(هـ + ى) = [ظاهـ + ظاى]/[1 - ظاهـ ظاى] = [س + ص]/[1 - س ص]

إذن :

ظا(هـ + ى) = ظاع

هـ + ى = ع

ظا^-1 س + ظا^-1 ص = ظا^-1 [( س + ص ) / ( 1 ــ س ص)]

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن : جاس جاص = جا^2[(س + ص )/2 ] ـــ جا^2[( س ــ ص )/2 ]

الطرف الأيسر = جا^2[(س + ص)/2] - جا^2[(س - ص)/2] = [جا(س + ص)/2 + جا(س - ص)/2][جا(س + ص)/2 - جا(س -ص)/2] =

= 2 جاس/2 جتاص/2 * 2 جتاس/2 جاص/2 = 2 جاس/2 جتاس/2 * 2 جاص/2 جتاص/2 = جاس*جاص = الطرف الأيمن

أو

الطرف الأيمن = جاس جاص = 1/2*[جتا(س - ص) - جتا(س + ص)]

= 1/2*[1 - 2 جا^2[(س - ص)/2] - 1 + 2 جا^2[(س + ص)/2]]

= جا^2[(س + ص)/2] - جا^2[(س - ص)/2] = الطرف الأيسر

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن :جاس جاص = جتا^2[(س ــ ص )/2] ـــ جتا^2[( س + ص )/2]


الطرف الأيمن = جاس جاص = 1/2*[جتا(س - ص) - جتا(س + ص)]

= 1/2*[2 جتا^2[(س - ص)/2] - 1 - 2 جتا^2[(س + ص)/2] + 1]

= جتا^2[(س - ص)/2] - جتا^2[(س + ص)/2] = الطرف الأيسر

أو

الطرف الأيسر = جتا^2[(س - ص)/2] - جتا^2[(س + ص)/2]

= [جتا[(س - ص)/2] - جتا[(س + ص)/2]][جتا[(س - ص)/2] + جتا[(س + ص)/2

= 2 جاس/2 جاص/2 * 2 جتاس/2 جتاص/2 =

= 2 جاس/2 جتاس/2 *2 جاص/2 جتاص/2 = جاس جاص = الطرف الأيمن