[Weierstrass-Casorati]

في المثلث ABC
نفرض أن الضلع الأكبر هو AC
G نقطة تلاقي متوسطات المثلث
AC > AB
والمطلوب اثبات أن BE < CD

المثلثان ΔABF و ΔACF
فيهما BF = CF و AF ضلع مشترك
وبما أن AC > AB
يكون قياس الزاوية AFC > قياس الزاوية AFB

والمثلثان ΔGBF و ΔGCF
فيهما BF = CF و GF ضلع مشترك
وقياس زاوية AFC > قياس زاوية AFB
إذاً طول GC > GB
وبالتالي GD > GE (لأن GE = نصف GB و DG = نصف GC)
بجمع المتباينتين
GC+GD > GB+GE
أي أن BE < CD وهو المطلوب ،،

**ويمكن بطريقة مماثلة إثبات أن BE < AF أيضاً
وبالتالي يكون المتوسط الأقصر (BE) في المثلث هو المقابل للضلع الأكبر (AC)

[مهند الزهراني]

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Weierstrass-Casorati في المثلث ABC نفرض أن الضلع الأكبر هو AC G نقطة تلاقي متوسطات المثلث AC > AB والمطلوب اثبات أن BE < CD المثلثان ΔABF و ΔACF فيهما BF = CF و AF ضلع مشترك وبما أن AC > AB يكون قياس الزاوية AFC > قياس الزاوية AFB والمثلثان ΔGBF و ΔGCF فيهما BF = CF و GF ضلع مشترك وقياس زاوية AFC > قياس زاوية AFB إذاً طول GC > GB وبالتالي GD > GE (لأن GE = نصف GB و DG = نصف GC) بجمع المتباينتين GC+GD > GB+GE أي أن BE < CD وهو المطلوب ،، **ويمكن بطريقة مماثلة إثبات أن BE < AF أيضاً وبالتالي يكون المتوسط الأقصر (BE) في المثلث هو المقابل للضلع الأكبر (AC)

في اعتقادي الحل به مشكلة بسيطة ...

الآن أنت أثبتت أن BE<CD و BE < AF ولكن يمكن AF=CD أو AF<CD وبالتالي يجب اثبات أنه لا تتحقق سوى الحالة الوحيدة وهي أن المتوسط المقابل للأكبر هو الاصغر على الاطلاق...

ننتظرك ...