" المسابقة الرياضية الكبرى "

Weierstrass-Casorati · #11 26-07-2010, 17:34

طييييييب دام مهند مو هنا معناه ان الأسئلة تاخذ وقت أكبر مشان حلول تانية

وهو اللي جايب متباينة تدوووووخ
بس جيبت الحل كنت متاكد إنها لها حل بـ AM-GM
لكن للأمانة استاذي عطاني مساعدة يعني الحل مو كامل لإلي

باستخدام AM-GM
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

$\frac{1}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

بتكعيب الطرفين
$abc\leq \frac{1}{27}$

من Titu's Lemma
$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}$
$=\frac{a^2}{a+abc}+\frac{b^2}{b+abc}+\frac{c^2}{1+abc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)+3abc}$
$\Rightarrow \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq \frac{1}{1+3abc}$

ولكن(هاد قالها الاستاذ وما كنت عارف أوصل تيتو لـ AM-GM من غيرها

)
$abc\leq \frac{1}{27}\Leftrightarrow 3abc\leq \frac{1}{9}$

بإضافة 1 إلى الطرفين
$1+3abc\leq \frac{10}{9}$
$\frac{1}{1+3abc}\geq \frac{9}{10}$

وبالتالي
$\150dpi \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq \frac{9}{10}$

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)

حسابٌ واحد لجميع خدماتنا !